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人教版A版高中数学必修5知识点


高中数学必修 5 知识点
1 、 正 弦 定 理 : 在 ??? C 中 , a 、 b 、 c 分 别 为 角 ? 、 ? 、 C 的 对 边 , R 为 ???C 的 外 接 圆 的 半 径 , 则 有

a b c ? ? ? 2R . sin ? sin ? sin C 2、正弦定理的变形公式:① a ? 2R sin ? , b ? 2R sin ? , c ? 2R sin C ; a b c ② sin ? ? , sin ? ? , sin C ? ; 2R 2R 2R ③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; a?b?c a b c ④ . ? ? ? sin ? ? sin ? ? sin C sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S???C ? bc sin ? ? ab sin C ? ac sin ? . 2 2 2
4、余弦定理:在 ???C 中,有 a ? b ? c ? 2bc cos ? , b ? a ? c ? 2ac cos ? , c ? a ? b ? 2ab cos C .
2 2 2 2 2 2 2 2 2

5、余弦定理的推论: cos ? ?

b2 ? c2 ? a 2 a 2 ? b2 ? c2 a 2 ? c2 ? b2 , cos ? ? , cos C ? . 2bc 2ab 2ac
2 2 2 ?

6、设 a 、 b 、 c 是 ???C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 ? 2 2 2 ?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ?an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为等差数列,这个常数称为等差 数列的公差. 18、由三个数 a , ? ,b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的等差中项.若 b ? 为 a 与 c 的等差中项.

a?c ,则称 b 2

19、若等差数列

?an ? 的首项是 a ,公差是 d ,则 a
1

n

? a1 ? ? n ? 1? d .

20、通项公式的变形:① an

? am ? ? n ? m ? d ;② a1 ? an ? ? n ? 1? d ;③ d ?

*

an ? a1 n ?1



④n ?

an ? am an ? a1 ? 1 ;⑤ d ? n?m d

21、 若 ?an ? 是等差数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、p 、q ? ? ) , 则 am (n 、 p 、q?? ) ,则 2an
*

? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等差数列, 且 2n ? p ? q

? a p ? aq .
? n ? a1 ? an ? 2
;② S n

22、等差数列的前 n 项和的公式:① Sn

? na1 ?

n ? n ? 1? 2

d.

* 23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则 S 2 n

?

?

? n ? an ? an?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an an ?1



②若项数为 2n ? 1 n ? ?

?

*

? ,则 S

2 n ?1

S n ? ? 2n ? 1? an , a n, 奇 ? 且 S奇 ?S 偶 ? (其中 S奇 ? nan ,S偶 ? ? n ? 1? an ) . S偶 n ? 1

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为等比数列,这个常数称为等比 数列的公比. 25、在 a 与 b 中间插入一个数 G ,使 a ,G ,b 成等比数列,则 G 称为 a 与 b 的等比中项.若 G ? ab ,则称 G 为 a 与 b
2

的等比中项. 26、若等比数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 27、通项公式的变形:① an
n ?1

. ;③ q n ?1 ?

? am q n ? m ;② a1 ? an q

?? n ?1?

a n?m an ? n . ;④ q am a1

* 28、 若 ?an ? 是等比数列, 且 m ? n ? p ? q( m 、n 、 p 、q ? ? ) , 则 am ? an ? a p ? aq ; 若 ?an ? 是等比数列, 且 2n ? p ? q

(n 、 p 、q?? ) ,则 an
*

2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 29、等比数列 ?an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
* 30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2n n ? ? ,则

?

?

S偶 S奇

?q.

② Sn ? m

? Sn ? q n ? Sm .

③ S n , S 2 n ? S n , S3n ? S2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ;② a ? b, b ? c ? a ? c ;③ a ? b ? a ? c ? b ? c ; ④ a ? b, c ? 0 ? ac ? bc , a ? b, c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b, c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ? ?, n ? 1? ;

⑧a ?b ? 0?

n

a ? n b ? n ? ?, n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4ac
2

??0

??0

??0

y ? ax 2 ? bx ? c
图 象

有 一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0
2

两个相异实数根

x1,2 ?

? a ? 0 ? 的根
ax2 ? bx ? c ? 0
一元二次 不等式的解集

?b ? ? 2a

有两个相等实数根

x1 ? x2 ? ?

? x1 ? x2 ?

b 2a

没有实数根

? a ? 0?
ax 2 ? bx ? c ? 0

? x x ? x 或x ? x ?
1 2

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

? a ? 0?

?x x

1

? x ? x2 ?

?

?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、 二元一次不等式 (组) 的解集: 满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对 ? x, y ? , 所有这样的有序数对 ? x, y ? 构成的集合.

38、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x0 , y0 ? . ①若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ?x0 ? ?y0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x0 , y0 ? 在直线 ?x ? ?y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ?x ? ?y ? C ? 0 . ①若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方 的区域. ②若 ? ? 0 ,则 ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 下方的区域; ?x ? ?y ? C ? 0 表示直线 ?x ? ?y ? C ? 0 上方 的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x, y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解.

a?b 称为正数 a 、 b 的算术平均数, ab 称为正数 a 、 b 的几何平均数. 2 a?b 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 ab ,即 ? ab . 2
41、设 a 、 b 是两个正数,则 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2ab ? a, b ? R ? ;② ab ?
2 2
2 2

a 2 ? b2 ? a, b ? R ? ; 2

a 2 ? b2 ? a ? b ? ? a?b? a ? 0, b ? 0 ?? ③ ab ? ? ;④ ? ? ? ? ? a, b ? R ? . 2 ? 2 ? ? 2 ?
44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 xy 取得最大值

s2 . 4

⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2 p .



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