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高中数学(新人教A版选修1-1)典型例题:第3章 3.1数系的扩充和复数的概念


3. 1 数系的扩充和复数的概念
典型例题: 1.设 z=

a?5 ? (a 2 ? 2a ? 15)i 为实数时,实数 a 的值是( A ) a ? 4a ? 5
2

A.3 C.3 或-5

B.-5 D.-3 或 5

2 . 设 关 于 x 的 方 程 x2 ? ( t a n ? ? i ) x ? (2 ? i ) ? 0 , 若 方 程 有 实 数 根 , 则 锐 角 ? 和 实 数 根 ______________________________________. 解: 原方程可化为 x 2 ? x tan? ? 2 ? ( x ? 1)i ? 0 ,

? x 2 ? x tan? ? 2 ? 0 ? 解得x ? ?1,? ? k? ? ? 4 ?x ? 1 ? 0
3.设复数 Z ? lg(m 2 ? 2m ? 2) ? (m 2 ? 3m ? 2)i ,试求 m 取何值时 (1)Z 是实数; (2)Z 是纯虚数; (3)Z 对应的点位于复平面的第一象限 2 m ? 2 m ? 2 ?0 解: (1)? 。 ? 解得m ? ?2或- 1。即m ? ?2或- 1时,Z是实数
? 2 ? ?m ? 3m ? 2 ? 0
2 ? ?m ? 2m ? 2=1 (2)? 2 解得m ? 3。即m ? 3时,Z是纯虚数 。 ? m ? 3 m ? 2 ? 0 ?
2 ? ?m ? 2m ? 2 ? 1 Z (3)? 2 解得m ? 3或m ? -2。即m ?? 3或m ? -2时, ? ?m ? 3m ? 2 ? 0

对应的点位于复平面的第一象限。

练习: 一.选择题: 1.复平面上的正方形的三个顶点表示的复数有三个为 1 ? 2i,?2 ? i,?1 ? 2i, 那么第四 个顶点对应的复数是( ) (A) 1 ? 2i (B) 2 ? i (C) 2 ? i (D) ? 1 ? 2i 2 2 2.若复数(m -3m-4)+(m -5m-6) i 是虚数,则实数 m 满足 ( (A)m≠-1 (B)m≠6 (C) m≠-1 或 m≠6 (D) m≠-1 且 m≠6 3.下列命题中,假命题是( ) (A)两个复数不可以比较大小 ( B)两个实数可以比较大小 ( C )两个虚数不可以比较大小 ( D )一虚数和一实数不可以比较大小 二.填空题: 4.复数 (a
2



? a ? 2) ? ( a ?1 ?1)i
2

(a ? R) 不是纯虚数,则有__________________.

5.已知复数 z 与 (z +2) -8i 均是纯虚数,则 z = 三.解答题: 6.已知复数 Z1 , Z 2 满足 10Z1 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 ,且 Z1 ? 2Z 2 为纯虚数,求证: 3Z1 ? Z 2 为实
2 2

数。

7.已知关于 x , y 的方程组 ?

?(2 x ? 1) ? i ? y ? (3 ? y)i, 有实数,求 a ,b 的值。 ?(2 x ? ay) ? (4 x ? y ? b)i ? 9 ? 8i

3.1.1 1.C 2. D

数系的扩充和复数的概念参考答案 3.A 4.a ≠ 0 且 a ≠ 2 5.

Z ? ?2i

6.

2 解:由题意可设 Z1 ? 2Z 2 ? Ki ( K为实数)则Z1 ? Ki ? 2Z 2 , 代入10Z12 ? 5Z 2 ? 2Z1 Z 2 2 2 得: 10 (Ki ? 2Z 2 ) 2 ? 5 z 2 ? 2( Ki ? 2Z 2 ) Z 2 , 化简可得: 49Z 2 ? 42KiZ 2 ? 10K 2 i 2

解得:Z 2 ?
7. a=1, b=2

42Ki ? 14K 14Ki ? 28K , Z1 ? ? 3Z1 ? Z 2 ? ? K ? 3Z1 ? Z 2为实数。 98 98


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