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直线与圆2


24.2.2 直线和圆的位置关系

(第2课时)

如图,在⊙O中经过半径OA的外端点A 作直线l⊥OA,则圆心O到直线 l 的距离 是多少? 直线 l 和⊙O有什么位置关系? A 这时圆心O到直线 l 的距离就是⊙O的半径. l

o

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由d=r

直线 l 是⊙O的切线.

切线的判断定理:

经过半径的外端并且垂直于这条半径的 直线是圆的切线.

问题: 1. 当你在下雨天,快速转动雨伞时水飞出的方向是什么方向? 2. 砂轮打磨工件飞出火星的方向是什么方向?

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下雨天当你快速转动雨伞时飞出的水,在砂轮上打磨工件飞

出的火星,都是沿着圆的切线的方向飞出的.

将上页思考中的问题反过来,如图, 如果直线l是⊙O的切线,切点为A,那 么半径OA与直线 l 是不是一定垂直呢?

O

A

l

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我们有切线的性质定理:

圆 的 切 线 垂 直 过 切 点 的 半 径.

可以用反 证法证明 这个结论

例1 如下图,△ABC为等腰三角形,O是底边 BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D.求证:AC是 ⊙O的切线. D

A

E O C

证明:如图,过点O作OE⊥AC,于E, 连接OD、OA。
∵ ⊙O与AB相切于点D ,

B

∴OD⊥AB 又∵ △ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点

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∴OA是∠BAC的平分线
∴OE = OD

∴ AC是⊙O的切线.

练习
1.如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT 是⊙O的 切线. 证明: ∵ ∠ABT = 45°, AT=AB, ∴ ∠ATB = ∠ABT=45 °. ∴ ∠TAB = 180°-∠ATB-∠ABT = 90°. B O · T A

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∴ TA⊥OA. ∵ OA是⊙O的半径, ∴ AT是⊙O的切线.

2. 如图,AB是⊙O的直径,直线l1、l2是⊙O的切线,A、B是切点, l1、l2有怎样的关系?证明你的结论.

l1 ∥ l2
证明:
∵ l1是⊙O切线, ∴

l1

A

l1⊥OA. l ⊥OB.
2

O ·

∵ l2是⊙O切线,

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∴ ∴

l1 ∥ l2 .

l2

B



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