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河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教A版选修4-1


河北省唐山市开滦第二中学高中数学 2.1 圆周角定理学案 新人教 A 版选修 4-1
【学习目标】 1. 探究圆周角定理,并理解圆周角的证明过程; 2. 理解圆心角定理以及圆周角的推论; 3. 能利用圆 周角定理及其推论解决相关的几何问题. 【重点难点】 1.圆周角定理的证明; 2.圆周角定理的推论的应用. 【课前预习】 阅读课本 P24-P26 页的内容,完成课前预习内容。 一、问题导学 问题 1. 圆周角、 圆心角定义?观察课本 24 页图 2-1 在⊙O 中, 度量 ?BAC 和 ?BOC 的度 数,它们之间有什么关系?自己用尺规作不同的圆,观察圆周角与圆 心角的大小之间的关 系?

问题 2. 结合问题 1 不改变 B,C 的位置,让点 A 在圆上运动, ?BAC 的大小会发生变化 ?BAC 和 ?BOC 的这种关系发生变化了吗? 吗?改变 B,C 的位置, 让点 A 在圆上运动, 问题 3. 1、圆周 角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的__ ___.

2、圆心角定理 圆心角的度数等于______________. 推论 1 同弧或等弧所对的圆周角_____;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也______. 推论 2 半圆(或直径)所对的圆周角是_____;90°的圆周角所对的弦是______. 【课内探究】 例 1、 证明:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.(圆周角定理证明)

例 2、如图,OA,OB,OC 都是⊙O 的 半径, ?AOB ? 2?BOC ,求证: ?ACB ? 2?BAC

O A B
1

C

、 例 3、如图 AD 是△ ABC 的高, AE 是△ ABC 的外接圆直径。求证: AB ? AC ? AE ? AD

A

O B E D C

例 4、圆 O 的两条相交弦 AB, CD 相交于园内一点 P . 求证: 弧 AD 与弧 BC 的度数和一半等于 ? APD 的度数

【当堂检测】 1.下列说法中:(1)直径相等的两个圆是等圆;(2)长度相同的两条弧是等弧;(3)圆中最长 的弦是通过圆心 的弦;(4)一条弦把圆分成两条弧,这两条弧不可能是等弧,正确的 个数有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

2 如图,⊙O 中,弦 BC 平行于半径 OA,AC 交 OB 于点 M, ?C ? 20 ,则 ?AMB ? ( )
?

A. 60 C. 40

?

B. 50

?

?

D. 30

?

A B M

O C
是圆 O 上的点,且 AB=4,∠ ________.

3、 (09·广东)如图 所示,点 A、B、C ACB = 45 ° , 则 圆 O 的 面 积 等 于

4、如图 OA 是圆 O 的半径,以 OA 为直 于点 D,求证:D 是 AB 的中点。
D A C O B

径的圆 C 与圆 O 的弦 AB 相交

2

5、圆的直径 AB=13,C 为圆上一点, CD ? AB ,垂足为 D,且 CD=6,求 AD 的长。

6、如图: BC 为圆 O 的直径, AD ? BC ,垂足为 D ,弧 AB =弧 AF , BF 和 AD 相交于 E。 A 求证: AE ? BE F
E B D O C

【课后作业】 1 圆 O 的两条相交弦 BA, CD 的延 长线相交于点 P .求证: 弧 BC 与弧 AD 的度数差的一半 等于 ? APD 的度数。 2.如图一, 在⊙O 中, 弦 AB 与 CD 相交 于点 P,?B ? 30 , ?APD ? 50 , 则 ?A ? (
? ?



A. 10

?

B. 20

?

C. 40

?

D. 80

?

? 3.如图二,AB 是⊙O 的直径, ?C ? 30 ,则 ? ABD ?

A. 30

?

B. 40

?

C. 50
A

?

D. 60

?

C
O D

D P

D A C B

C

B

A

O

B

图一

图二

图三

4.如图三,已 知 AB 是半圆 O 的直径,弦 AD、BC 相交于点 P,若 ?DPB ? ? ,那么

CD ? AB

1 tan ? 5.如图四, ?APC ? ?CPB ? 60? ,则 ?ABC 是
A. sin ? B. cos ? C. tan ? D. A.等腰三角形 B.等边三角 形





3

C.等腰直角三角形

D.直角三角形

6.已知半径为 5 的⊙O 中,弦 AB ? 5 2 ,弦 AC ? 5 ,则 ?BAC ? A. 15 ? B. 210? C. 105 或15?
?

D. 210 或30?
?

7.如图五,在⊙O 中,弦 BC 平行于半径 OA,AC 交 OB 于点 M, ?C ? 20? ,则 ?AMB ? ( ) A. 60
?

B. 50

?

C. 40

?

D. 30

?

8.如图六,弦 AB 和 CD 相交于点 P, ?B ? 30? , ?APD ? 80? ,则 ? A ? A.
A P B O C

30?
?

B. 50
C P D A

?

C. 70

?

D. 100

B

A

O B M C





图五 9.如图七, 正三角形 A、B 重合,则 ?BPC ? A. 30
?

图六 ABC 内接于⊙O, 动点 P 在圆周的劣弧 AB 上,且不与

B. 60

?

C. 90

?

D. 45

?

? 10.如图八,四边形 ABCD 内接于⊙O,若 ?BOD ? 140 ,则 ?BCD ?

A. 140
C
B A

?

B. 110 D. 20
?

?

C A
D

C. 70

?

A P

O B

O C

D

B
图 图 七 八

图九 二、填空题 11.如图九,AB 为⊙O 的直径,弦 AC ? 4cm, BC ? 3cm

CD ? AB 于点 D,则 CD ?

cm
?

12.如图十,在⊙O 中,已知 ?ACB ? ?CDB ? 60 , AC ? 3 ,则 ?ABC 的周长是 13.如图十一,AB 为⊙O 的直径,C、D 是圆上两点, ?AOC ? 100 ,则 ?D ?
?

. .

? 14.如图十二, ?ABC 内接于⊙O, ?BAC ? 120 , AB ? AC, BD 为⊙O 的直径,AD=6,则

4

BC=

A O

D

D O A

D O C B
C

B

C

B

A

图十 图十一 图十二 15.如图所示,已知 AB 为⊙O 的 直径,AC 为弦, OD / / BC ,交 AC 于点 D,BC=4cm, (1)试判断 OD 与 AC 的关系; C (2)求 OD 的长; D (3)若 2sin A ? 1 ? 0 , 求⊙O 的直径. A B O

16、如图, ?ABC 的三个顶点都在⊙O 上, ?BAC 的平分线与 BC 边和⊙O 分别交于点 D、 E. (1)指出图中相似的三角形,并说明理由; A (2)若 EC ? 4, DE ? 2 ,求 AD 的长.
B O D E C

5


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