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1.1


(1)集合的含义与表示 了解集合的含义、元素与集合的 “属于”关系.能选择自然语言、 图形语言、集合语言(列举法或描述 法)描述不同的具体问题. (2)集合的基本关系 理解集合之间包含与相等的含义 ,能识别给定集合的子集.在具体 情景中,了解全集与空集的含义. .

(3)集合的基本运算 理解两个集合的并集与交集的含 义,会求两个简单集合的并集与 交集. (4)理解给定集合中一个子集的补 集的含义,会求给定子集的补集.能 用韦恩(Venn)图表达集合的关系及运

算.

§1.1 集合的概念及其基本运算 基础知识 自主学习
要点梳理
1.集合与元素
互异性 确定性 (1)集合元素的三个特征:_________、________、 无序性 _________. 属于 不属于 (2)元素与集合的关系是______或________关系,

? 用符号____或_____表示. ?

(3)常见集合的符号表示

数集
符号

自然数集 正整数集 整数集 有理数集
N N*或N+ Z Q

实数集
R

(4)集合的表示法:列举法、描述法、Venn图法. 1)任何一个对象都能确定它是不是某一集合的元素, 这是集合的最基本特征.没有确定性就不能成为集合,例如“很小的 数”“个子较高的同学”都不能构成集合. (2)在同一个集合里,通常不考虑元素之间的顺序,如集合{a,b,c}

与集合{b,c,a}是相同集合.
(3)集合中任何两个元素都是不同对象,即在同一集合里不能重复出现 相同元素.如方程(x-1)2(x-2)=0的解集不能写成{1,1,2},而应写成

{1,2}.

2.集合的基本关系
表 示
关 系 相等 子集 真子集 集合A与集合B中的所有元素都相同 A中任意一个元素均为B中的元素 A中任意一个元素均为B中的元素,且B 中至少有一个元素不是A中的元素 空集是任何集合的子集,是任何非空 集合的真子集
A?B且B?A?A=B

文字语言

符号语言

A?B或B?A

A ? B或B ? A

空集

? ? A且? ? B( B ? ? )

基础知识梳理

?、{0}、{?}三者之间的关系?

注意:集合与元素的相对性

(1)子集与真子集的区别与联系:集合A的真子集一 定是其子集,而集合A的子集不一定是其真子集;若集 合A有n个元素 则其子集个数为2n 真子集个数为2n-1.

(2)全集是一个相对概念,一个全集又可以是另一
个集合的子集或真子集,它是我们为研究集合间的关 系而临时选定的一个集合.

3.集合的基本运算

1.(2009年山东卷)集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B= {0,1,2,4,16},则a的值为 …………………………………( A.0 B.1 )

C.2
【解析】

D.4
∵A={0,2,a},B={1,a2},A∪B ={0,1,2,4,16},

【答案】 D

4.集合的运算性质 (1)若A?B,B?A,则A=B;若A?B,B?C,则 A?C. (2)??A (3)A∩A=A,A∩?=?. (4)A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪?=A. (5)A∩?UA=?,A∪?UA=U. (6)A∩B?A?A∪B. (7)若A?B,则A∩B?A∪B,A∩B=A,A∪B=B.

3.设全集U=R,A={x|x(-x-3)>0},B={x|y=ln(-x-1)} 则图中阴影部分表示的集合为……………………………( )

A.{x|x>0} C.{x|-3<x<-1} 【解析】

B.{x|-3<x<0} D.{x|x<-1}

A={x|-3<x<0},B={x|x<-1},阴影部分表示

的集合为A∩B={x|-3<x<-1}. 【答案】 C

集合的基本概念

现有三个实数的集合,既可以表示为 表示为{a2,a+b,0},则a2010+b2010=________.

,也可

【思路点拨】 由两集合相等,得相应元素对应相等,则只
有 =0. 由已知得 =0及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即

【解析】

a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去, 因此a=-1,故a2010+b2010=(-1)2010=1.

【答案】 1

课堂互动讲练
考点二 集合间的基本关系

判断集合与集合的关系,基本 方法是归纳为判断元素与集合的关 系.对于用描述法表示的集合,要 紧紧抓住代表元素和它的属性,可 将元素列举出来或通过元素特性,

课堂互动讲练

求同存异,定性分析.解决这类问 题应做到意义化(分清集合的种类 ,包括数集、点集、图形、定义域 、值域、方程或不等式的解等)、 具体化(具体求出相关的集合并化 简)、直观化(借助数轴、Venn图、 函数图象等,即数形结合的思想) .

集合间的基本关系 设集合A={x|x=a2+2a+4},B={y|y=b2-4b+7}. (1)若a∈R,b∈R,试确定集合A与B的关系; (2)若a∈N,b∈R,试确定集合A与B的的关系.

【解析】 (1)若a∈R.b∈R.
则x=(a+1)2+3≥3,y=(b-2)2+3≥3, 此时集合A、B都是大于或等于3的实数的集合, ∴A=B.

(2)若a∈N、b∈R,则对于任意的x0∈A,有x0=(a0+1)2+3,其中
a0∈N, 令b0=a0+3,则b0∈N, 且(a0+1)2+3=(b0-2)2+3∈B. 而当b0=2时,y0=3?A,从而可知A ?B. ≠

集合间的基本关系

若集合A={x|x2-2x-8<0},B={x|x-m<0}.

(1)若m=3,全集U=A∪B,试求A∩(?UB);
(2)若A∩B=?,求实数m的取值范围; (3)若A∩B=A,求实数m的取值范围. 【解析】 (1)由x2-2x-8<0,得-2<x<4, ∴A={x|-2<x<4}.

当m=3时,由x-m<0,得x<3,∴B={x|x<3}, ∴U=A∪B={x|x<4},?UB={x|3≤x<4}. ∴A∩(?UB)={x|3≤x<4}. (2)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 又A∩B=?,∴m≤-2. (3)∵A={x|-2<x<4},B={x|x<m}, 由A∩B=A,得A?B,∴m≥4.

(1)判断两个集合之间的子集、真子集关系可以比照两实数 间的关系: ①A ≠ B?A?B且A≠B,类比于a<b?a≤b且a≠b; ②A?B?A ≠ B或A=B,类比于a≤b?a<b或a=b; ③A=B?A?B且B?A,类比于a=b?a≤b且a≥b.也可以用

韦恩图直观地表示上述各种关系.
(2)注意集合{?}与空集?的区别与联系:??{?},?∈{?}.

1.已知函数f(x)=x2+x-1,集合M={x|x=f(x)},N={y|y =f(x)}, 则…………………………… ( )
≠ ≠

A.M=N
C.M∩N=?
【解析】 x2-1=0,x=±1,M={-1,1}. y=f(x)=x2+x-1= 故 【答案】 D ,故M ≠ N. 由f(x)=x2+x-1,x=f(x)得

B.M
D.M

N
N

题型四集合间的基本关系

对任意两个正整数m、n,定义某种运算
? m ? n, m与n奇偶性相同, ? ?: m? n ? ? ? mn, m与n奇偶性不同, ?

则集合P={(a,b)|a? b=8,a ,b∈N*}中元素的个数为(C)
A.5 B.7 C.9 D.11

解析
=4+4.

当a,b奇偶性相同时,a ? b=a+b=1+7=2+6=3+5

当a、b奇偶性不同时,a ? b=ab=1×8,由于(a,b)有
序,故共有元素4×2+1=9个.

在进行集合运算时要注意:

(1)两个结论
①若A∩B=A,则A?B,反之也成立;

②若A∪B=B,则A?B,反之也成立.应用这两个
结论时一定要注意不要忘记集合A=?这一个特例.

(2)可以借助韦恩图或数轴来辅助理解两个集合的交
集与并集的特征并用来解题.

2.已知A={x||x+a|≥a},B={x|x2+mx+n<0}.

(1)若a=2,m=4,n=-5,求A∩B,A∪B;
(2)若a>0,A∩B={x|-3<x≤-1},A∪B=R,求a,m,n的值. 【解析】 (1)由a=2,

知A={x||x+2|≥2}={x|x≤-4,或x≥0}, 由m=4,n=-5知 B={x|x2+4x-5<0}={x|-5<x<1}. ∴A∩B={x|-5<x≤-4,或0≤x<1}, A∪B={x|x≤-4,或x≥0,或-5<x<1}=R.

(2)∵a>0,

∴A={x||x+a|≥a}={x|x≤-2a,或x≥0}.
又∵A∩B={x|-3<x≤-1},A∪B=R, ∴B={x|-3<x<0},且-2a=-1,

∴a= ,且-3,0是方程x2+mx+n=0的两根,
∴m=3,n=0, 故a= ,m=3,n=0.

1.(2009年江西卷)已知全集U=A∪B中有m个元素,(?UA)∪(?UB) 中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为……………( A.mn C.n-m B.m+n D.m-n )

【解析】

∵(?UA)∪(?UB)中有n个元素,如右图所示阴影部分,

又∵U=A∪B中有m个元素,故A∩B中有m-n个元素.

【答案】 D

2.(2009全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},

全集U=A∪B,则集合?U(A∩B)中的元素共有…… (
A.3个 C.5个 B.4个 D.6个

)

【解析】 A∩B={4,7,9},A∪B={3,4,5,7,8,9}, ?U(A∩B)={3,5,8},故选A.

【答案】 A

失误与防范

1.空集在解题时有特殊地位,它是任何集合的子集,
是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,

防止漏掉.
2.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属 关系;二是集合与集合的包含关系. 3.解答集合题目,认清集合元素的属性(是点集、数 集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决 条件.

4.韦恩图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运 算的常用方法,其中运用数轴图示法要特别注意端点
是实心还是空心.
? 5.要注意A?B、A∩B=A、A∪B=B、

这五个关系式的等价性.


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