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辽宁省师大附中2016届高三上学期期中考试数学(文)试卷


2015—2016 学年度上学期 高三期中考试数学试题(文科)
(满分:150 分 考试时间:120 分钟) 命题:杨悦
一.选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是最符合题目要求的.) 1、对任意的实数 k ,直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? 2 的位置关系一定是( A.相离 B.相切 C.相交但直线不过圆心 D.相交且直线过圆心 2、已知直线 m、l 和平面 α、β ,则 α⊥β 的充分条件是( ) A.m⊥l,m //α,l//β B.m⊥l,α∩β =m,l ? α C.m // l,m⊥α,l⊥β D.m // l,l⊥β ,m ? α
2 2



3、设 S n 是等差数列 {an } 的前 n 项和,若

S3 1 S = ,则 6 =( S6 3 S12
1 8
D.



A.

3 10

B.

1 3

C.

1 9

4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字 外完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率 是( A. ) B.

1 1 1 C. D. 5 10 12 2 2 2 5、已知直线 (2 ? m ? m ) x ? (4 ? m ) y ? m ? 4 ? 0 的斜率不存在,则 m 的值是( 1 3 A. 2 B. 2 或 ? C. ?2 D. 2 4
6. 已知双曲线

3 10



x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的一条渐近线的斜率为 2 ,且 a2 b2


右焦点与

抛物线 y 2 ? 4 3 x 的焦点重合,则该双曲线的方程为(

A.

x2 y 2 x2 y 2 x2 y2 ? ? 1 B. ? ? 1 C. ? y 2 ? 1 D. x 2 ? ?1 4 2 3 2 2 2

7.ABCD 为长方形,AB=2,BC=1,O 为 AB 的中点,在长方形 ABCD 内随机取一点, 取到的点到 O 的距离大于 1 的概率为( A. )

?
4

4 8 8 8. 设 l 、 m 是两条不同的直线, ? 、 ? 是两个不同的平面,则下列命题正确的是( A. 若 m ? ? , l ? m ,则 l // ? B. 若 ? // ? , l ? ? , m // ? ,则 l ? m C. 若 ? // ? , l // ? , m ? ? ,则 l // m

B. 1 ?

?

C.

?

D. 1 ?

?
)

D. 若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? l ,则 m ? ?
2 9. 等 比 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 已 知 am ?1 ? am ?1 ? am ? 0 , S 2 m ?1 ? 38 , 则 m ?



) .A.38

B.20

C.10

D. 9
2 2

10. A 为直线 3 x ? 4 y ? 10 上的一动点,过 A 作圆 x ? y ? 1 的两条切线,切点分别为 P, Q , 则四边形 OPAQ 的面积的最小值是 ( ) A. 3 B. 2 3 C. 2 D. 4 ) 11.在数列 ?an ? 中,已知 an ?1 ? an ? A.2477 12.双曲线 B.2427

n ,且 a1 ? 2 ,则 a99 的值为( 2
C.2427.5 D.2477.5

x2 y 2 = 1(a > 0, b > 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 为双曲线右支上一点, a 2 b2 ) PF2 与圆 x 2 + y 2 = b 2 切于点 G ,且 G 为 PF2 的中点,则该双曲线的离心率为(
D. 6

A. 3 B. 5 C. 7 二.填空题:(本题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.) 13.若三棱锥的三视图如图, 则其表面积为 .
4

2

3

4

14. A 是圆上固定的一点,在圆上其

他 位置任取一

点 A? ,连接 AA? ,它是一条弦,它的长度小于或等于半径长度的概率是_______. 15. 过圆 x ? y ? 4 外一点 P (4, 2) 作圆的两条切线,切点为 A, B ,则 ?ABP 的外接圆的 方程是_________.
2 2

16. 在等差数列 {an } 中 a1 ? 0 ,公差 d ? 0, a5 ? 3a7 ,前 n 项和为 S n ,若 S n 取得最大值, 则n ? . 三.解答题:(本题共 6 道大题,共 70 分.) 17.(本题满分 10 分) 如图,四棱锥 P ? ABCD 中, PD ? 平面ABCD ,PD ? DC ? BC ? 1 ,

P

AB ? 2
D A C



AB / / DC , ?BCD ? 90? .
(Ⅰ) 求证: PC ? BC ; (Ⅱ) 求点 A 到平面 PBC 的距离. 18.(本小题满分 12 分)

B

袋内装有 6 个球, 这些球依次被编号为 1、 2、 3、 4、 5、 6, 设编号为 n 的球重 位:克),这些球等可能地从袋里取出(不受重量、编号的影响). (Ⅰ) 从袋子中任意取出一个球,求其重量大于其编号的概率; (Ⅱ) 如果不放回地任意取出 2 个球,求它们重量相等的概率.

n 2 ? 6n ? 12 (单

19. (本小题满分 12 分) 各项均为正数的数列{ an }的前 n 项和为 S n ,且点 (an , S n ) 在函数 y ? 象上, (Ⅰ) 求数列{ an }的通项公式; (Ⅱ) 记 bn ? nan (n ? N * ), 求证:

1 2 1 x ? x ? 3 的图 2 2

1 1 1 3 ? ??? ? . b1 b2 bn 4

20 . 已 知 过 抛 物 线 y ? 2 px
2

? p ? 0? 的 焦 点 , 斜 率 为 2

2 的直线交抛物线于

A ? x1 , y2 ? , B ? x2 , y2 ? ( x1 ? x2 )两点,且 AB ? 9 .
(Ⅰ)求该抛物线的方程; (Ⅱ) O 为坐标原点, C 为抛物线上一点,若 OC ? OA ? ? OB , 求 ? 的值.

21. (本小题满分 12 分) 如图甲,在平面四边形 ABCD 中,已知: ?A ? 45? , ?C ? 90? , ?ADC ? 105? , AB ? BD ,现将四边形 ABCD 沿 BD 折起,使平面 ABD ? 平面 BDC(如图 乙) ,设点 E、F 分别为棱 AC、AD 的中点. (Ⅰ)求证:DC ? 平面 ABC; (Ⅱ)设 CD ? a , 求三棱锥 A-BFE 的体积.
F E
D B A

A

D
C 甲

B C 乙

22.(本小题满分 12 分)

已知椭圆 G :

x2 ? y 2 ? 1 .过点 ? m, 0 ? 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线 l 交椭圆 G 于 A, B 两点. 4

(I)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (II)将 AB 表示为 m 的函数,并求 AB 的最大值.

2015—2016 学年度上学期 高三期中考试数学试题(文科)(答案)
一. 选择题:CDAAC DCBCA CB 二.填空题:13. 30+6 5 三.解答题: 17. 17.【解】 (Ⅰ) 因为 PD ? 平面ABCD , 所以 PD ? BC ,又 BC ? CD , 14.

1 3

15. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 5
2 2

16. 7 或 8

PD ? CD ? D ,所以 BC ? 平面PCD ,
因为 BC ? 平面PCD ,所以 BC ? PC . (Ⅱ) 设 点 A 到 平 面 PBC 的 距 离 为 h , 因 为 AB / / DC , ?BCD ? 90? , 所 以

?ABC ? 90? ,

? ABC 为直角三角形.又因为 AB ? 2, BC ? 1 ,所以 S? ABC ?
因为 PD ? 平面ABCD ,所以三棱锥 P ? ABC 的高为 PD ? 1 .

1 AB ? BC ? 1 . 2

1 1 VP ? ABC ? S ? ABC ? PD ? .又由(Ⅰ) PC ? BC , 3 3
则 ? PBC 为直角三角形. 由 PD ? DC ? 1 及 PD ? DC , 则

PC ? 2 , S ?PBC ?

1 2 BC ? PC ? 2 2

. 因 为 VA? PBC ? V P? ABC , 则

1 2 1 1 1 ?h ? ,h ? 2 . S ?PBC ? h ? VP ? ABC ? ,即 ? 3 2 3 3 3
所以点 A 到平面 PBC 的距离为 2 . 18. 答案: (1) 19.

2 2 ; (2) 3 15

.

20. 【解】(Ⅰ)

抛物线 y ? 2 px 的焦点为 ?
2

?p ? ,0? , ?2 ?

所以直线 AB 的方程为 y ? 2 2 ? x ?

? ?

p? ?, 2?

? p? ? ?y ? 2 2 ? x ? ?, 由? 2 ? 消去 y 得 4 x 2 ? 5 px ? p 2 ? 0 . ? ? y 2 ? 2 px, ?
所以 x1 ? x2 ?

5p , 4

由抛物线定义得 AB ? x1 ? x2 ? p ? 9 ,即 所以抛物线方程为 y ? 8 x .
2

5p ? p ? 9 ,所以 p ? 4 . 4

(Ⅱ)由 p ? 4 ,方程 4 x ? 5 px ? p ? 0 化为 x 2 ? 5 x ? 4 ? 0 .
2 2

解得 x1 ? 1, x2 ? 4 , y1 ? ?2 2 , y2 ? 4 2 .

? ? ???? ??? ? ??? ? 则 OC ? OA ? ? OB ? ?1, ?2 2 ? ? ? ? 4, 4 2 ? ? ?1 ? 4? , ?2
所以 A 1, ?2 2 , B 4, 4 2 . 因为 C 为抛物线上一点,所以 ?2 2 ? 4 2? 整理得 ? 2 ? 2? ? 0 ,所以 ? ? 0, 或? ? 2 .

?

?

2 ? 4 2? ,

?

?

?

2

? 8 ?1 ? 4? ? ,

21. (Ⅰ)证明:在图甲中∵ AB ? BD 且 ?A ? 45? ∴ ?ADB ? 45? , ?ABD ? 90? 即 AB ? BD 在图乙中,∵平面 ABD ? 平面 BDC , 且平面 ABD ? 平面 BDC=BD A ∴AB⊥底面 BDC,∴AB⊥CD. 又 ?DCB ? 90? ,∴DC⊥BC,且 AB ? BC ? B F E ∴DC ? 平面 ABC. (Ⅱ)解:∵E、F 分别为 AC、AD 的中点 ∴EF//CD,又由(Ⅰ)知,DC ? 平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC, B D 1 ∴ VA? BFE ? VF ? AEB ? S?AEB ? FE C 3 乙 ? ? ? 在图甲中,∵ ?ADC ? 105 , ∴ ?BDC ? 60 , ?DBC ? 30 1 1 由 CD ? a 得 BD ? 2a, BC ? 3a , EF ? CD ? a 2 2 3 2 1 1 ∴ S?ABC ? AB ? BC ? ? 2a ? 3a ? 3a 2 ∴ S?AEB ? a 2 2 2 1 3 2 1 3 3 ∴ VA? BFE ? ? a ? a? a . 3 2 2 12 22.解: (Ⅰ)由已知得 a ? 2, b ? 1 , 所以 c ?

a 2 ? b 2 ? 3 .所以椭圆 G 的焦点坐标为 ? 3, 0 ,

?

??

3, 0 .离心率为

?

e?

c 3 . ? a 2

(Ⅱ)由题意知, m ? 1 . 当 m ? 1 时,切线 l 的方程 x ? 1 ,点 A, B 的坐标分别为 ? 1, 时 AB ?

? ? ?

3? ? 3? ,此 , 1, ? ? ? ? ? ? 2 ? 2 ? ? ?

3 . 当 m ? ?1 时,同理可得 AB ? 3 .
当 m ? 1 时,设切线 l 的方程为 y ? k ( x ? m) .

? y ? k ( x ? m), ? 由 ? x2 得 ?1 ? 4k 2 ? x 2 ? 8k 2 mx ? 4k 2 m 2 ? 4 ? 0 . 2 ? ? y ? 1. ?4

设 A, B 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ), ( x2 , y2 ) ,则 x1 ? x2 ? 又 由 l 与 圆 x2 ? y 2 ? 1 相 切 得

8k 2 m 4k 2 m 2 ? 4 , . x x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

| km | k ?1
2

? 1 , 即 m2 k 2 ? k 2 ? 1 . 所 以

? ? 64k 4 m ? 4(4k 2 m 2 ? 4) ? 4 3 m ? AB ? ( x2 ? x1 ) ? ( y2 ? y1 ) ? ?1 ? k ? . ? ? ? ?1 ? 4k 2 ?2 1 ? 4k 2 ? m 2 ? 3 ? ?
2 2
2

由于当 m ? ?3 时, AB ?

3, 所以 AB ?

4 3m ., m ? ? ??, ?1? ? ?1, ?? ? . m2 ? 3

因为 AB ?

4 3m m ?3
2

?

4 3 ? 2 .且当 m ? ? 3 时, AB ? 2 , 3 m? m

所以 AB 的最大值为 2 ..


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