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人教A版数学必修五 第三章不等式 《一元二次不等式及其解法》学习过程


3、2 一元二次不等式及其解法 学习过程 知识点 1、一元 二次 不等式的定义: 象 x ? 5x ? 0 这样,只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元 2 二次不等式 探究:二次方程的根与二次函数的零点的关系 容易知道:二次方程的有两个实数根: x1 ? 0, x2 ? 5 二次函数有两个零点: x1 ? 0, x2 ? 5 于是,我们得到:二次方程的根就是二次函数的零点。 知识点 2、一般的一元二次不等式的解法 一元二次不等式 ax ? bx ? c ? 0 或 ax ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的解集: 2 2 设 相应的一元二次方程 ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两根为 x1, x2 且 x ? x2 , ? ? b ? 4ac ,则 2 不等式的解的各种情况如下表: ??0 ??0 ??0 y ? ax2 ? bx ? c 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c y ? ax2 ? bx ? c ( a ? 0 )的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 ?a ? 0?的根 ax ? bx ? c ? 0 2 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) x1 ? x2 ? ? b 2a 无实根 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ax 2 ? bx ? c ? 0 ( a ? 0)的解集 ?x x ? x 或x ? x ? 1 2 ? b? ?x x ? ? ? 2a ? ? ? ? R ?x x 1 ? x ?x 2 ? 知识点 3 、解一元二次不等式的步骤: ① 将 二次项系数化为“+” :A= ax ? bx ? c ? 0 (或<0)(a>0) 2 ② 计算判别式 ? ,分析不等式的解的情况,根据上表得出答案。 学习结论: (1)一元二次不等式的定义 (2)一元二次不等式的解法及步骤 典型例题 例题 1、求不等式 4 x ? 4 x ? 1 ? 0 的解集. 2 答案: ? x / x ? ? ? 1? ? 2? 1 2 解析:因为 ? ? 0 .则方程的根为 x1 ? x2 ? 所以,原不等式的解集是 ? x / x ? ? ? 1? ? 2? 例题 2、某种牌号的汽车在水泥路面上的刹车距离 s m 和汽车的速度 x km/h 有如下的关系: s? 1 1 2 x? x 20 180 在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于 39 .5m,那么这辆汽车刹车前的速度 是多 少?(精确到 0.01km/h) 答案:这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/ h. 解析:设这辆汽车刹车前的速度至少为 x km/h,根据题意,我们得 到 移项整理得: x ? 9 x ? 7110 ? 0 2 2 x ? ?88.94, x2 ? 79.94 。 显然 ? ? 0 ,方程 x ? 9 x ? 7110 ? 0 有两个实数根,即 1 1 1 2 x? x ? 39.5 20 180 所以不等式的解集为 x / x ? ?88.94或x ? 79.94? 在这个实际问题中, x> 0,所 以这辆汽车刹车前的车速至少为 79.94km/h. 例题 3、某商场在促销期间规定:商场内所有商品按标价的 80%出售;同时,当顾客在该商 场内消费满一定金额后,按如下方案获得相应金额的奖券: 消费金额(元)的范 围 获得奖券的金额 (元) [2

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