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(北师大版)必修五2.1.1《正弦定理》教案


教学设计 1.1 正弦定理
整体设计 教学分析 本节的主要任务是引入并证明正弦定理, 在课型上属于定理教学课. 做好正弦定理的教 学,不仅能复习巩固旧知识,使学生掌握新的有用的知识,体会联系、发展等辩证观点,而 且能培养学生的应用意识和实践操作能力,以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力. 在初中学习过关于任意三角形中大边对大角, 小边对小角的边角关系, 本节内容是处理 三角形中的边角关系, 与初中学习的三角形的边与角的基本关系有密切的联系; 这里一个重 要的问题是,是否能得到这个边、角关系准确量化的表示.由于涉及边角之间的数量关系, 就比较自然地引导到三角函数上去. 让学生从已有的几何知识出发, 提出探究性问题“在任 意三角形中有大边对大角,小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确 量化的表示呢?”在引入正弦定理内容时, 提出探究性问题“如果已知三角形的两角及某一 角的对边,根据三角形全等的判定方法,这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们 仍然从量化的角度来研究这个问题, 也就是研究如何从已知的两角和边计算出三角形的另一 角和两条边的问题”.这样,用联系的观点,从新的角度看过去的问题,使学生对于过去的 知识有了新的认识,同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上,形成良好的知识结构.在 学法上主要指导学生掌握“观察—猜想—证明—应用”这一思维方法, 逐步培养学生发现问 题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力. 本节课以及后面的解三角形中涉及计算器的使用与近似计算,这是一种基本运算能力, 学生基本 上已经掌握了.若在解题中出现了错误,则应及时纠正,若没出现问题就顺其自 然,不必花费过多的时间. 三维目标 1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理的内容及其证明方法,会 运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题. 2.通过正弦定理的探究学习,培养学生探索数学规律的思维能力,培养学生用数学的 方法去解决实际问题的能力.通过学生的积极参与和亲身实践,并成功解决实际问题. 3.通过本节学习,激发学生对数学学习的热情,培养学生独立思考和勇于探索的创新 精神. 重点难点 教学重点:正弦定理的证明及其基本运用. 教学难点:正弦定理的探索和证明;已知两边和其中一边的对角解三角形时,判断解的 个数. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(特例导入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式,如 Rt△ABC 中的边角关系,若 C 为直角,则有 a=csin A,b=csin B,这两个等式间存在关系 a b 吗?学生可以得到 = ,进一步提问,等式能否与边 c 和∠C 建立联系?从而展开正 sin A sin B 弦定理的探究. 思路 2.(情境导入)如图 1,某农场为了及时发现火情,在林场中设立了两个观测点 A 和 B, 某日两个观测点的林场人员分别测到 C 处出现火情. 在 A 处测到火情在北偏西 40° 方向, 而在 B 处观测到火情在北偏西 60° 方向, 已知 B 在 A 的正东方向 10 km 处. 现在要确定火场
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C 距 A,B 多远?将此问题转化为数学问题,即“在△ABC 中,已知∠CAB=130° ,∠CBA =30° ,AB=10 km,求 AC 与 BC 的长”.这就是一个解三角形的问题.为此我们需要学习 一些解三角形的必要知识, 今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理, 由此 展开新课的探究学习.

图1 推进新课 新知探究 提出问题 ①阅读本章引言,明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题? ②回忆初中学习过的任意三角形中的边角关系, 根据三角函数的定义, 能否得到直角三 角形中边、角量化的准确表示? ③由②得到的关系式,对于锐角三角形和钝角三角形是否仍然成立? ④正弦定理的内容是什么,你能用文字语言叙述它吗?你能用哪些方法证明它? ⑤利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形 问题呢? 活动: 教师引导学生阅读本章引言, 通过台风问题点出本章数学知识的某些重要的实际 背景及其实际需要, 使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性. 如教师可提出以下问题: 怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离?怎样测出海上航行的轮船的航速和航向? 怎样测量底部不可到达的建筑物的高度?怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海 拔高度?这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识, 让 学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理, 并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中 的一些问题. 关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系,教师引导学生探究其数量关 系.先观察特殊的直角三角形. 如图 2,在 Rt△ABC 中,设 BC=a,AC=b,AB=c,
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图2 根据锐角三角函数中正弦函数的定义,有 a b =sin A, =sin B, c c c a b c 又 sin C=1= ,则 = = =c. c sin A sin B sin C a b c 从而在 Rt△ABC 中, = = . sin A sin B sin C 那么对于任意的三角形,以上关系式是否仍然成立呢?教师引导学生画图讨论分析. 如图 3,当△ABC 是锐角三角形时,设边 AB 上的高是 CD,根据任意角三角函数的定

a b 义,有 CD=asin B=bsin A,则 = . sin A sin B c b 同理,可得 = . sin C sin B a b c 从而 = = . sin A sin B sin C

图3 (当△ABC 是钝 角三角形时,解法类似锐角三角形的情况,由学生自己完成.) 通过上面的讨论和探究,我们知道在任意三角形中,上述等 式都成立.这就是我们今 天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理. 正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等,即 a b c = = . sin A sin B sin C 上述的探究过程就是正弦定理的证明方法,即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形 三种情况进行证明. 教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想, 同时点拨学生 观察正弦定理的特征. 它指出了任意三角形中, 各边与其对应角的正弦之间的一个关系式. 正 弦定理的重要性在于非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系, 描述了任意三角 形中大边对大角的一种准确的数量关系.因为如果∠A<∠B,由三角形性质,得 a<b.当∠ π? A,∠B 都是锐角,由正弦函数在区间? ?0,2?上的单调性,可知 sin A<sin B.当∠A 是锐角, π ? ∠B 是钝角时,由于∠A+∠B<π,因此∠B<π-∠A,由正弦函数在区间? ?2,π?上的单调 性,可知 sin B>sin(π-A)=sin A,所以仍有 sin A<sin B. 正弦定理的证明方法很多, 除了上述的证明方法以外, 教师点拨学生也可以借助于向量 方法或利用初中所学的平面几何知识证明正弦定理. 平面几何法: 如图 4,在△ABC 中,已知 BC=a,AC=b,AB=c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心, 连接 BO 并延长交圆于 C′,设 BC′=2R,则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对 的圆周角相等可以得到∠BAC′=90° ,∠C=∠C′,

图4 c ∴sin C=sin C′= . 2R c ∴ =2R. sin C a b 同理,可得 =2R, =2R. sin A sin B



a b c = = =2R. sin A sin B sin C

a b 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式 = = sin A sin B c . sin C 这种证明方法简洁明快. 在巩固平面几何知识的同时, 将任意三角形与其外接圆联系在 a b c 一起, 且引入了外接圆半径 R, 得到 = = =2R 这一等式, 其变式为 a=2Rsin A, sin A sin B sin C b=2Rsin B,c=2Rsin C,可以更快捷地实现边角互化.特别是可以更直观看出正弦定理描 述的三角形中大边对大角的准确数量关系,为正弦定理的应用带来更多的便利. 向量法证明: 教师可引导学生回忆思考向量知识,向量的主要作用之一是讨论几何度量问题,例如, 长度和角度问题,从向量数量积的定义:a· b=|a||b|cos θ,其中 θ 为两向量的夹角.我们知 道两个向量的数量积与它们之间夹角的余弦值有联系. 向量的方法为我们探索三角函数提供 了一种非常重要的思想方法,我们曾用它推导了两角差的余弦公式.如用它推导正弦定理, 首先需考虑通过三角函数的诱导公式 sin θ=cos (90° -θ)将正、余弦转化,这一转化产生了 新角 90° -θ,这就为辅助向量 j 的添加提供了线索. 证明过程如下: → → (1)如图 5,△ABC 为锐角三角形,过点 A 作单位向量 j 垂直于AC,则 j 与AB的夹角为 → 90° -A,j 与CB的夹角为 90° -C.

图5 → → → 由向量的加法原则可得AC+CB=AB, 为了与图 5 中有关角的三角函数建立联系, 我们在上面向量等式的两边同取与向量 j 的 → → → 数量积运算,得到 j· (AC+CB)=j· AB, → → → 由分配律可得 j· AC+j· CB=j· AB. → → → ∴|j||AC|cos 90° +|j||CB|cos (90° -C)=|j||AB|cos (90° -A). ∴asin C=csin A. a c ∴ = . sin A sin C c b 同理,可得 = . sin C sin B a b c ∴ = = . sin A sin B sin C → (2)如图 6,△ABC 为钝角三角形,不妨设 A>90° ,过点 A 作与AC垂直的单 位向量 j, → → 则 j 与AB的 夹角为 A-90° ,j 与CB的夹角为 90° -C .

图6 → → → → → → 由AC+CB=AB,得 j· AC+j· CB=j· AB, 即 a· cos (90° -C)=c· cos (A-90° ), ∴asin C=csin A. a c ∴ = . sin A sin C b c 同理,可得 = . sin B sin C a b c ∴ = = . sin A sin B sin C a b c (3)当△ABC 为直角三角形时, = = 显然成立. sin A sin B sin C 综上所述,正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立. 课本上用坐标法结合向量很巧妙地证出了正弦定理,过程如下: 如图 7 所示,以 A 为原点,以射线 AB 的方向为 x 轴正方向建立直角坐标系,C 点在 y 轴上的射影为 C′.
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图7 → → → 因为向量AC与BC在 y 轴上的射影均为|OC′|, → → 即|OC′|=|AC|cos (A-90° )=bsin A, → → |OC′|=|BC|sin B=asin B, 所以 asin B=bsin A, a b 即 = . sin A sin B a c 同理, = . sin A sin C a b c 所以 = = . sin A sin B sin C 若 A 为锐角或直角,也可以得到同样的结论. 分析正弦定理可知,应用正弦定理可解决两类解三角形问题: (1)已知三角形的任意两 个角与一边,由三角形内角和定理,可以计算出三角形的另一角,并由正弦定理计算出三角 形的另两边,即“两角一边问题”.这类问题的解是唯一的.(2)已知三角形的任意两边与 其中一边的对角, 可以计算出另一边的对角的正弦值, 进而确定这个角和三角形其他的边和 角,即“两边一对角问题”.这类问题的解有时不是唯一的,需根据实际情况分类讨论. 讨论结果:①~⑤略. 应用示例 例 1 某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩〔如图 8(1)〕 ,其一角已破损.现测得 如下数据:BC=2.57 cm,CE=3.57 cm,BD=4.38 cm,B=45° ,C=120° .为了复原,请计 算原玉佩两边的长(结果精确到 0.01 cm).

(2) 图8 活动:如图 8(2)所示,将 BD,CE 分别延长相交于一点 A.在△ABC 中,已知 BC 的长 及角 B 与 C,可以通过正弦定理求 AB,AC 的长. 解:将 BD,CE 分别延长相交于一点 A.在△ABC 中, BC=2.57 cm,B=45° ,C=120° , A=180° -(B+C)=180° -(45° +120° )=15° . BC AC 因为 = , sin A sin B BCsin B 2.57sin 45° 所以 AC= = . sin A sin 15° 利用计算器算得 AC≈7.02 cm. 同理,AB≈8.60 cm. 答:原玉佩两边的长分别约为 7.02 cm,8.60 cm. 点评:(1)此类问题结果为唯一解,学生较易掌握,如果已知两角及两角所夹的边,也 是先利用三角形内角和定理求出第三个角,再利用正弦定理. (2)解三角形的实际问题中,数字计算往往较烦琐,可借助计算器或其他的计算工具. 变式训练 在△ABC 中, (1)已知 c= 3,A=45° ,B=60° ,求 b; (2)已知 b=12,A=30° ,B=120° ,求 a.(结果保留两个有效数字) 解:(1)∵C=180° -(A+B)=180° -(45° +60° )=75° , b c csin B 3sin 60° = ,∴b= = ≈1.6. sin B sin C sin C sin 75° a b (2)∵ = , sin A sin B bsin A 12sin 30° ∴a= = ≈6.9. sin B sin 120° 点评:此题为正弦定理的直接应用,意在使学生熟悉正弦定理的内容,可以让数学成绩 较差的学生在黑板上解答,以增强其自信心. 例 2 台风中心位于某市正东方向 300 km 处,正以 40 km/h 的速度向西北方向移动, 距离台风中心 250 km 范围内将会受其影响.如果台风风速不变,那么该市从何时起要遭受 台风影响?这种影响持续多长时间(结果精确到 0.1 h)? 活动:这是本章章头引言提到的问题,教学时可引导学生先动手画图,加强直观感知, 明确两解的实际情况.这样学生在运用正弦定理求边或求角时,会感到目的明确,思路清晰 流畅. 如图 9 所示,设该市在点 A,台风中心从点 B 向西北方向移动,AB=300 km.在台风中 心移动过程中,当该中心到点 A 的距离不大于 250 km 时,该市受台风影响. 分析:如图 9 所示,台风沿着 BD 运动时,由于|AB|=300 km>250 km,所以开始台风
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(1)

影响不了城市 A ,由点 A 到台风移动路径 BD 最小距离 |AE| = |AB|· sin 45° = 300× ≈150×1.41=211.5(km)<250 km.所以台风在运动过程中肯定要影响城市 A.

2 2

图9 这就要在 BD 上求影响 A 的始点 C1 和终点 C2,然后根据台风的速度计算台风从 C1 到 C2 持续的时间. 解:设台风中心从点 B 向西北方向沿射线 BD 移动,该市位于点 B 正西方向 300 km 处 的点 A. 假设经过 t h,台风中心到达点 C,则在△ABC 中,AB=300 km,AC=250 km,BC= AC AB BC 40t km,B=45° ,由正弦定理 = = , sin B sin C sin A ABsin B 300sin 45° 3 知 sin C= = = 2≈0.848 5. AC 250 5 利用计算器算得角 C 有两个解: C1≈121.95° ,C2≈58.05° . 当 C1≈121.95° 时,A=180° -(B+C1)≈180° -(45° +121.95° )=13.05° , AC1sin A 250sin 13.05° 所以 BC1= = ≈79.83(km), sin B sin 45° BC1 79.83 t1= = ≈2.0(h). 40 40 同理,当 C2≈58.05° 时,BC2≈344.4 km,t2≈8.6 h. t2-t1≈8.6-2.0=6.6(h). 答:约 2 h 后将要遭受台风影响,持续约 6.6 h. 点评: 通过本例我们发现, 已知两边和其中一边的对角, 解三角形时会出现两解的情况. 变式训练 1.在△ABC 中,已知 a=60,b=50,A=38° ,求 B(精确到 1° )和 c(保留两个有效数字). 解:已知 b <a,∴B<A, 因此 B 也是锐角. bsin A 50sin 38° ∵sin B= = ≈0.513 1, a 60 ∴B≈31° . ∴C=180° -(A+B)=180° -(38° +31° )=111° . asin C 60sin 111° ∴c= = ≈91. sin A sin 38° 点评:同样是已知两边和一边对角,但可能出现不同结果,应强调学生注意解题的灵活 性. 对于本题, 如果没有考虑角 B 所受限制而求出角 B 的两个解, 进而求出边 c 的两个解. 此 题属于 a≥b 这一类情形,有一解,也可根据三角形内大角对大边、小角对小边这一边角关 系来排除 B 为钝角的情形.教师可点拨学生模仿例题,先画图观察. 2.在△ABC 中,已知 a=28,b=20,A=120° ,求 B(精确到 1° )和 c(保留两个有效数 字). bsin A 20sin 120° 解:∵sin B= = ≈0.618 6, a 28 ∴B≈38° 或 B≈142° (舍去).

∴C=180° -(A+B)=22° . asin C 28sin 22° ∴c= = ≈12. sin A sin 120° 点评:(1)此题要求学生注意考虑问题的全面性,对于角 B 为钝角的排除也可以结合三 角形小角对小边性质而得到.本题中 A 为钝角且 a>b,所以有一解,可让学生画图观察. (2)综合上述例题要求学生自我总结正弦定理的适用范围,已知两角一边或两边与其中 一边的对角解三角形. (3)对于已知两边及夹角解三角形这一类型,将通过下一节所学习的余弦定理来解. 例 3 在△ABC 中,A=45° ,B∶C=4∶5,最大边长为 10,求角 B,C,△ABC 的外 接圆半径及△ABC 的面积 S. 活动:教师引导学生分 析条件 B∶C=4∶5,由于 A+B+C=180° ,由此可求出 B,C, 这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形, 显然其解唯一, 结合正弦定理的平面 几何证法,由此可解三角形,教师让学生自己探究此题,对于思路有阻的学生可给予适当点 拨. 解:由 A+B+C=180° 及 B∶C=4∶5,可设 B=4k,C=5k, 则 9k=135° ,故 k=15° .那么 B=60° ,C=75° . 10 由正弦定理 R= =5( 6- 2), 2sin 75° 1 1 由面积公式 S= bc· sin A= c· 2Rsin B· sin A=75-25 3. 2 2 点评:求面积时,b 未知,但可转化为 b=2Rsin B,从而解决问题. 变式训练 1.在△ABC 中,(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C,则 △ABC 是( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:运用正弦定理 a=2Rsin A,b=2Rsin B 以及结论 sin 2A-sin 2B=sin(A+B)sin(A -B), ∵(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin C, ∴(sin 2A+sin 2B)sin(A-B)=(sin 2A-sin 2B)sin C=sin(A+B)· sin(A-B)· sin C. 若 sin(A-B)=0,则 A=B. 若 sin(A-B)≠0,则 sin 2A+sin 2B=sin 2C ? a2+b2=c2. ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选 D. 答案:D 2.在△ABC 中,若 acos A=bcos B,则△ABC 的形状是( ). A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案:D 3.已知△ABC 中,A∶B∶C=1∶2∶3,那么 a∶b∶c 等于( ). A.1∶2∶3 B.3∶2∶1 C.1∶ 3∶2 D.2∶ 3∶1 答案:C 1 → → 例 4 如图 10,在△ABC 中,AB=(x,y),AC=(u,v).求证:△ABC 的面积 S= |xv 2 -yu|.

图 10 活动:教师引导学生从三角形面积入手,借助向量的模的运算解决. 1→ → 证明:S= |AB|· |AC|sin A 2 1 →2 →2 2 = |AB| · |AC| sin A 2 1 →2 →2 = |AB| · |AC| ?1-cos 2A? 2 1 →2 →2 → → = |AB| · |AC| -?|AB|· |AC|cos A?2 2 1 → → 2 → → 2 = ?|AB|· |AC|? -?AB· AC? . 2 → → 因为AB=(x,y),AC=(u,v), 1 所以 S= ?x2+y2??u2+v2?-?xu+yv?2 2 1 = ?xv-yu?2 2 1 = |xv-yu|. 2 点评:通过本例体现三角与向量的交汇,突出向量的工具性. 知能训练 课本本节练习 1 和练习 2. 课堂小结 1.先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角 形需要注意的问题,特别是两解的情况应怎样理解. 2.我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想,以“直角三角形”作 为问题情境,由此展开问题的全面探究;同时结合平面几何知识,结合向量的数量积与三角 函数的关系, 我们又探究了正弦定理的另外两种证明方法. 要注意领悟这些证明方法的思想 内涵,并要求学生课下继续探究正弦定理的其他证明方法. 作业 1.课本习题 2—1 A 组 1,4. 2.预习下一节余弦定理. 设计感想 本教案设计思路是:立足于所创设的情境,通过学生自主探索、合作交流,让学生亲身 经历提出问题 、解决问题、应用反思的过程,使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造 者”,切身感受创造的快乐,知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实. 本教案的设计流程清晰流畅,环环相扣,课堂容量较大,时刻注意引导并鼓励学生提出 问题.一方面鼓励学生大胆地提出问题;另一方面注意妥善处理学生提出的问题,启发学生 抓住问题的数学实质,将问题逐步引向深入. 备课资料 一、知识扩展

1.判断三角形解的方法 “已知两边和其中一边的对角”解三角形, 这类问题分为一解、 两解和无解三种情况. 一 方面,我们可以利用课本上的几何图形加以理解,另一方面,也可以利用正弦函数的有界性 进行分析. 设已知 a,b,A,则利用正弦定理 bsin A sin B= . a 如果 sin B>1,则问题无解; 如果 sin B=1,则问题有一解; 如果求出的 sin B<1,则可得 B 的两个值,但要通过“三角形内角和定理”或“大边对 大角”等三角形有关性质进行判断. 2.利用三角形面积证明正弦定理 如图 11,已知△ABC,设 BC=a,CA=b,AB=c,作 AD⊥BC,垂足为 D.

图 11 AD 则 Rt△ADB 中,sin B= . AB ∴AD=AB· sin B =csin B. 1 1 ∴S△ABC= a· AD= acsin B. 2 2 1 1 同理,可证 S△ABC= absin C= bcsin A. 2 2 1 1 1 ∴S△ABC= absin C= bcsin A= acsin B. 2 2 2 ∴absin C=bcsin A=acsin B. sin C sin A sin B 在等式两端同除以 abc,可得 = = , c a b a b c 即 = = . sin A sin B sin C 3.利用正弦定理进行边角互换 对于三角形中的三角函数,在进行恒等变形时,常常将正弦定理写成 a b c a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C 或 sin A= ,sin B= ,sin C= (R 为△ABC 2R 2R 2R 外接圆半径). 这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换,我们将在以后具体应用. 二、备用习题 1.在△ABC 中,A=45° ,B=60° ,a=10,则 b 等于( ). 10 6 A.5 2 B.10 2 C. D.5 6 3 2.满足 a=4,b=3 和 A=45° 的△ABC 的个数为( ). A.0 B.1 C.2 D.无数多个 1 3 3.△ABC 中,A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 sin B= ,sin C= ,则 a∶b∶c 2 2 等于( ). A.1∶ 3∶2 B.1∶1∶ 3

C.1∶2∶ 3 D.2∶1∶ 3或 1∶1∶ 3 4.不解三角形,下列判断正确的是( ). A.a=7,b=14,A=30° ,有两解 B.a=30,b=25,A=150° ,有一解 C.a=6,b=9,A=45° ,有两解 D.b=9,c=10,B=60° ,无解 b 5.在锐角△ABC 中,a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边,且 B=2A,则 的取值范围 a 是( ). A.(-2,2) B.(0,2) C.(1, 3) D.( 2, 3) 6.在△ABC 中,若∠A=120° ,AB=5,BC=7,则△ABC 的面积为________. 7.在△ABC 中,A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,已知向量 m=(1,2sin A),n=(sin A,1+cos A),满足 m∥n,b+c= 3a. (1)求 A 的大小; π? (2)求 sin? ?B+6?的值. 8.已知△ABC 的三个内角 A,B,C 成等差数列,并且 tan A· tan C=2+ 3, (1)求 A,B,C 的度数;(2)若 AB 边上的高 CD=4 3,求三边 a,b,c 的长. 参考答案:1.D 2.B 3.D 4.B b sin B 5.解析:由正弦定理知 = ,又∵B=2A, a sin A b sin 2A ∴ = =2cos A. a sin A ∵△ABC 为锐角三角形, ∴0° <B<90° .∴0° <2A<90° . ∴0° <A<45° .又 ∵0° <C<90° , ∴A+B>90° .∴3A>90° . ∴A>30° .∴30° <A<45° . ∴ 2<2cos A< 3, b 即 2< < 3,故选 D. a 答案:D 15 3 6. 4 7.解:(1)由 m∥n 得 2sin 2A-1-cos A=0, 即 2cos 2A+cos A-1=0. 1 ∴cos A= 或 cos A=-1. 2 ∵A 是△ABC 的内角,cos A=-1(舍去), π ∴A= . 3 (2)∵b+c= 3a, 3 由正弦定理,sin B+sin C= 3sin A= , 2 2π ∵B+C= , 3

2π ? 3 ∴sin B+sin? ? 3 -B?=2. 3 3 3 ∴ cos B+ sin B= , 2 2 2 π? 3 即 sin? ?B+6?= 2 . 8.解:(1)由 2B=A+C,得 B=60° ,则 A+C=120° , sin A· sin C tan A· tan C=2+ 3 ? =2+ 3, cos A· cos C 即(2+ 3)cos A· cos C-sin A· sin C=0 cos C+ (cos A· cos C-sin A· sin C)=0 ?(1+ 3)cos A· 1 [cos (A+C)+cos (A-C)]+cos (A+C)=0 ?(1+ 3)· 2 1+ 3 1 ? ? 1? ? 2 ? ?-2+cos ?A-C??+?-2?=0. 3 ∴cos (A-C)= . 2 ∴|A-C|=30° . 又∵A+C=120° ,∴A=45° ,C=75° 或 A=75° ,C=45° . (2)若 A<B<C,由正弦定理得 a=8,b=4 6,c=bcos A+acos B=4( 3+1). 同理,若 A>B>C 时,则 a=4( 3+1),b=4 6,c=8. 点评:这类具有一定综合性的题目,恒等变形有一定的技巧.由三个角成等差数列,得 A+C=120° ,恒等变形的目标就是寻找 A 与 C 的关系,用 恒等变形的方法对条件等式进行 转化. 此题还可以由 tan A· tan C=2+ 3求出 tan A+tan C=3+ 3,运用韦达定理解出 tan A 和 tan C,这对综合能力的提升大有益处. (设计者:张学栋)
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