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含参数不等式的解法(课件)


含参数不等式的解法

例1.解关于x的不等式 ax ? b ? 0
分析:
参变数可分为三种情况,即 a ? 0 , a ? 0 和 a ? 0 , 分别解出当 a ? 0 , a ? 0 和 a ? 0 时的解集即可。 原不等式可化为:ax ? b
b a

解:

当 a ? 0 时,则 x ?

当 a ? 0 时,则 x ?

b a

当 a ? 0 时,则原不等式变为: 0 ? b
若 b ? 0 , 则原不等式的解集为 ?

若 b ? 0, 则原不等式的解集为
综上所述原不等式的解 集为 :

R

当 a ? 0时 , 解集为 { x | x ?
当 a ? 0时 , 解集为 { x | x ?

b a
b a

}
}

当 a ? 0 且 b ? 0时 , 解集为 ?
当 a ? 0 且 b ? 0时 , 解集为 R

例2.解关于x的不等式
x
2

? (a ? a ) x ? a
2

3

? 0(a ? R )
2

分析:

原不等式可化为: ( x ? a )( x ? a ) ? 0

则原不等式的解集应a , a 2 之外,但是a , a 2 谁大? 需要讨论.而a 2 ? a ? a ( a ? 1) ,
当 a ? 0、 时 ,   有 a 1
2

? a

当 0 ? a ? 1时 , 有 a ? a
2

当 a ? 0、a ? 1时 , 有 a ? a
2

解: 原不等式可化为:
( x ? a )( x ? a ) ? 0
2

? 当 a ? 0时 , 则 a ? a , 原不等式的解集为
2

{x | x ? a或 x ? a }
2

当 a ? 0时 , 则 a ? a ? 0 , 原不等式的解集为
2

{ x | x ? 0}
2

当 0 ? a ? 1时 , 则 a
2

2

? a , 原不等式的解集为

{ x | x ? a 或 x ? a}

当 a ? 1时 , 则 a ? a ? 1, 原不等式的解集为
当 a ? 1时 , 则 a ? a , 原不等式的解集为
2

{ x | x ? 1}
2

{x | x ? a或 x ? a }

例3. 解关于x的不等式
ax
2

? ( a ? 1) x ? 1 ? 0

(a ? R )

分析:原不等式可转化为:( x ? 1)( ax ? 1) ? 0 先分 a ? 0 或 a ? 0 或 a ? 0 三种情况再具体分析 解:原不等式可转化为: x ? 1)( ax ? 1) ? 0 ( 当 a ? 0 时,则不等式可化为: x ? 1)( x ? (

1 a

)? 0

?

1 a

?1

? 1? ? 原不等式的解集为:? x x ? 1或 x ? ? a? ?

当 a ? 0 时,则不等式可转化为:( ? 1)( x ? 1) ? 0 ? 原不等式的解集为 ?x x ? 1?
当 a ? 0 时,则原不等式可化为: ( x ? 1)( x ?
若 0 ? a ? 1, 则不等式的解集为 :{x |1 ? x ? 1 a }

1 a

)? 0

若 a ? 1, 则不等式的解集为

:?

若 a ? 1, 则不等式的解集为

:{x |

1 a

? x ? 1}

例4.解关于x的不等式
log a (1 ? 1 x )?1

分析: 因为a作为对数的底数,故a的取值为
a ? 1或 0 ? a ? 1

所以要分成

a ? 1或 0 ? a ? 1

两种情况进行讨论.

1 解: 原不等式可化为: log a (1 ? ) ? log x
当 a ? 1 时,原不等式等到价于不等式组:
? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1 x 1 x ? a ? 0 , 因为 1 x ? 1 ? a ? 0 , 所以 x ? 0 , 故有 1 1? a

a

a

? x? 0

当 0 ? a ? 1 时,原不等式等价于不等式组:
? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1 x 1 x ? a ? 0 , 因为 1 x 1 1? a

? 1 ? a ? 0 , 所以 x ? 1, 故有 1 ? x ?

综上所述,当a ? 1 时,不等式的解集为:

当0?

a ?1

1 ? ? ? x ? 0? ?x | ? 1? a ? 时,不等式的解为:
1 ? ? ?x |1 ? x ? ? 1? a ? ?

课堂练习:

解下列关于 (1)

x的不等式

:

56 x ? ax ? a ? 0
2 2

a a? ? 1 .当 a ? 0时 , 解集为 ? x | ? x ? ? ? 8 7? ? 当 a ? 0时 , 解集为 ? a a? ? 当 a ? 0时 , 解集为 ? x | ? ? x ? ? 7 8? ?

(2) ax ? ( 2 a ? 1) x ? 2 ? 0
2

1 ? ? 当 a ? 0时 , 解集为 ? x | ? x ? 2 ? a ? ? 当 a ? 0时 , 解集为 1

?x | x | x ? 2 ?

1 ? ? 当 0 ? a ? 时 , 解集为 ? x | x ? 或 x ? 2 ? 2 a ? ? 当a ? 1 2 1 时 , 解集为

?x | x

? 2?

1? ? 当 a ? 时 , 解集为 ? x | x ? 2 或 x ? ? 2 a? ?

小结: 1、解含参数的不等式,往往要对参数的取值进 行分类讨论,分类讨论要做到不重、不漏。 2、不等式的解集按参数的分类写出,千万不 可合并

作业:
满足 3 ? x ? x ? 1的 x 的集合为 A , 满足 x ? ( a ? 1) x ? a ? 0
2

的 x 的集合为 B . (1) 若 A ? B , 求 a 的取值范围 ( 2 ) 若 A ? B , 求 a 的取值范围 ( 3 ) 若 A ? B 为仅含一个元素的集合 , 求 a 的值


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