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2015-2016学年高中数学 2.4渐开线与摆线课件 新人教A版选修4-4


2.4 渐开线与摆线

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1.了解圆的渐开线的参数方程,了解摆线的生 成过程及它的参数方程. 2.掌握用向量知识推导运动轨迹曲线的方法和 步骤.

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题型一 解

圆的渐开线、摆线的参数方程理

例 1 已知圆的渐开线的参数方程为:
? ?x=3cos φ +3φsin φ , ? (φ 为参数). ?y=3sin φ -3φcos φ ?

根据参数方程可以看出该渐开线的基圆半径是__________, 当参 π 数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是________. 2 分析:本题考查对渐开线参数方程的理解.对照一般情况下基圆半径
? ?x=r(cos 为 r 的渐开线的参数方程? ? ?y=r(sin

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φ+φsin φ), φ-φcos φ)

(φ 为参数)可求

π r 的值,然后把 φ= 代入方程,即得对应的点的坐标. 2

解析:所给的圆的渐开线的参数方程可化为
? ?x=3(cos ? ?y=3(sin ?

φ+φsin φ), φ-φcos φ),
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π 所以基圆半径 r=3.把 φ= 代入方程,可得 2 3π ? ? ?x= 2 , ? ? π π π? 即? y=3. ?sin - cos ?, ? ? y = 3 ? ? 2 2 2?
? π π π? ? x=3 cos + sin ?, 2 2 2? ? ?3π ? π 所以当参数 φ 取 时对应的曲线上的点的坐标是? ,3?. 2 ? 2 ? ?3π ? 答案:3 ? ,3? ? 2 ?

例 2 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数 方程. 解析:由 y=0 知,r(1-cos φ)=0, ∵r≠0,∴cos φ=1,∴φ=2kπ(k∈Z). 代入 x=r(φ-sin φ)=1,得 2kπr=1(k∈Z). 1 由于 r 表示圆的半径,故 r>0,∴r= (k∈N*) 2kπ
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? 故所求摆线的参数方程为? 1 y= ? 2kπ(1-cos φ)
x= φ 为参数,其中 k∈N*).

1 (φ-sin φ), 2kπ

?变式训练 1.已知圆的渐开线的参数方程是
? ?x=cos φ +φsin φ , ? (φ 为参数),则此渐开线对应的基圆的直 栏 ? ?y=sin φ -φcos φ

π 径 是 ________ , 当 参 数 φ = 时 对 应 的 曲 线 上 的 点 的 坐 标 为 4 __________________.
? 2 2π 2 2π ? ? 1 ? + , - 8 2 8 ? ?2

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题二

渐开线、摆线参数方程的应用

? ?x=t-sin t, 例 3 设摆线? (t 为参数,0≤t≤2π )与直线 y=1 ? ?y=1-cos t

相交与 A,B 两点,求 A,B 两点间的距离. 解析:由 y=1 及 y=1-cos t 得 cos t=0, 又 0≤t≤2π, π 3π π ∴t1= ,t2= .当 t1= 时, 2 2 2 π π π π x= -sin = -1,y=1-cos =1. 2 2 2 2

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?π ? 3π ∴A? -1,1?.当 t2= 时, 2 ?2 ?

3π 3π 3π x= -sin = +1, 2 2 2
?3π ? 3π y=1-cos =1,∴B? +1,1?. 2 ? 2 ?
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故 A,B 两点间的距离为 |AB|=
??3π ? ?π ??2 ?? +1?-? -1?? +(1-1)2= (π+2)2=π+2. ?? 2 ? ? 2 ??

?变式训练
? ?x=3cos φ , 2.已知一个圆的参数方程为? (φ 为参数),那么圆 ? ?y=3sin φ ?3π ? π 的摆线方程中与参数 φ= 对应的点 A 与点 B? ,2?之间的距离为 2 ? 2 ? 栏

( C ) π A. -1 2 C. 10 B. 2 D. 3π -1 2

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析疑难 提 能 力
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例 1 关于渐开线与摆线的叙述,正确的是( A.只有圆才有渐开线

)

B.渐开线和摆线的定义是一样的,只是绘图的方法不一样,所 以才能得到不同的图形 C.正方形也可以有渐开线 D.对于同一个圆,如果建立的直角坐标系的位置不同,那么画 出的渐开线形状就不同

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分析:本题容易错选 A.渐开线不是圆独有的.其他图形,例如 椭圆、正方形也有.渐开线和摆线的定义虽然在字面上有相似之处, 但是它们的实质是完全不一样的,因此得出的图形也不相同.对于同 一个圆,不论在什么地方建立直角坐标系,画出的渐开线的大小和形 状都是一样的,只是方程的形式及图形在坐标系中的位置可能不同. 答案:C
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易错点:对圆的渐开线和摆线的概念理解不透导致错误 【易错点辨析】渐开线和摆线的概念虽有相似之处,但它们的本 质完全不同,渐开线的本质是直线在圆上滚动时直线上定点的轨迹, 摆线的本质是一个圆沿着一条定直线无滑动的滚动时圆周上一个定 点的轨迹,在运用时往往因理解不透导致判断错误.
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例 2 半径为 2 的圆的渐开线的参数方程是(
? ?x=2(cos θ -θsin θ ), A.? (θ 为参数) ?y=2(sin θ +θcos θ ) ? ? ?x=2(cos θ +θsin θ ), B.? (θ 为参数) ? ?y=2(sin θ +θcos θ ) ? ?x=2(cos θ +θcos θ ), C.? (θ 为参数) ? ?y=2(sin θ +θsin θ ) ? ?x=2(cos θ +θsin θ ), D.? (θ 为参数) ? ?y=2(sin θ -θcos θ )

)

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分析:本题容易错选 A.参数方程中 x,y 的表达式中的正负号要
? ?x=a(cos 记忆准确.将 a = 2 代入参数方程 ? ? ?y=a(sin ? ?x=2(cos ? ? ?y=2(sin

θ+θsin θ), θ-θcos θ)



θ+θsin θ), (θ 为参数). θ-θcos θ)
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答案:D 易错点:对圆的渐开线和摆线的参数方程记忆不清导致错误 【 易 错 点 解 析 】 圆 的 渐 开 线 的 参 数 方 程 为
? ?x=a(cos θ +θsin θ ), ? (θ 为 参 数 ) , 摆 线 的 参 数 方 程 为 ? ?y=a(sin θ -θcos θ ) ? ?x=a(θ-sin θ ), ? (θ 为参数),具体应用时.往往因记忆不清导 ?y=a(1-cos θ ) ?

致错误.


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