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《创新设计》2014届高考数学人教版A版(文科)第一轮复习方案课时作业:第9讲 指数函数、对数函数、幂函数


课时作业(九) [第 9 讲 指数函数、对数函数、幂函数]

(时间:45 分钟 分值:100 分)

基础热身 1.[2012· 西安质检] 已知 a= 3 ,函数 f(x)=ax,若实数 m,n 满足 f(m)>f(n),则 m,n 2

满足的关系为( ) A.m+n<0 B.m+n>0 C.m>n D.m<n 2.[2012· 梅州中学月考] 若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经 过点( a,a),则 f(x)=( ) 1 A.log2x B.log x 2 1 C. x D.x2 2 3.[2012· 四川卷] 函数 y=ax-a(a>0,且 a≠1)的图象可能是( )

图 K9-1 1 2 α 4.[2012· 南通模拟] 已知幂函数 f(x)=k· 的图象过点? , ?,则 k+α=________. x ?2 2 ?

能力提升 5.[2012· 汕头测评] 下列各式中错误的是( .. 3 A.0.8 >0.73 B.log0.50.4>log0.50.6 - C.0.75 0.1<0.750.1 D.lg1.6>lg1.4 1 6.若集合 A={y|y=x ,-1≤x≤1},B=y 3 A.(-∞,1) B.[-1,1] C.? D.{1} 7.[2012· 南昌调研] 函数 f(x)=log2 A.[1,+∞) B.(0,1] C.(-∞,1] D.(-∞,1)

)

1 x ? ?)y=?2? ,x≤0,则 A∩B=( ? ? ?

)

2 的值域为( x2+1

)

1 8.[2012· 三明联考] 已知函数 y=f(x)是奇函数,当 x>0 时,f(x)=lgx,则 f?f?100??的值 ? ? ?? 等于( ) 1 1 A. B.- lg2 lg2 C.lg2 D.-lg2

1 9.[2012· 全国卷] 已知 x=lnπ ,y=log52,z=e- ,则( ) 2 A.x<y<z B.z<x<y C.z<y<x D.y<z<x ?log3x,x>0, ? 1 10.已知函数 f(x)=? x 则满足 f(a)< 的 a 的取值范围是________. 3 ? ?3 ,x<0, 1 - 11. 若函数 f(x)=a|2x 4|(a>0, a≠1), 且 满足 f(1)= , f(x)的单调递减区间是________. 则 9 ? ?log2x,(x>0), 12.[2013· 河北五校联盟调研] 已知函数 f(x)=? x 且关于 x 的方程 f(x)+ ? ?2 ,(x≤0) x-a=0 有且只有一个实根,则实数 a 的取值范围是________. x2+1 13.[2012· 长春外国语学校月考] 关于函数 f(x)=lg (x≠0),有下列命题: |x| ①其图象关于 y 轴对称; ②f(x)的最小值是 lg2; ③当 x>0 时,f(x)是增函数;当 x<0 时,f(x)是减函数; ④f(x)在区间(-1,0),(2,+∞)上是增函数; ⑤f(x)无最大值,也无最小值. 其中所有正确结论的序号是________. ex a 14.(10 分)设 a>0,f(x)= + x是 R 上的偶函数. a e (1)求 a 的值; (2)证明 f(x)在(0,+∞)上是增函数; (3)解方程 f(x)=2.

15.(13 分)已知函数 f(x)=loga(x+1)(a>1),且函数 y=g(x)图象上任意一点 P 关于原点 的对称点 Q 的轨迹恰好是函数 f(x)的图象. (1)写出函数 g(x)的解析式; (2)当 x∈[0,1)时总有 f(x)+g(x)≥m 成立,求 m 的取值范围.

难点突破 16.(12 分)已知函数 f(x)=log4(ax2+2x+3). (1)若 f(1)=1,求 f(x)的单调区间; (2)是否存在实数 a,使 f(x)的最小值为 0?若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由.

课时作业(九) 【基础热身】 3x 是 R 上的减函数,实数 m,n 满足 f(m)>f(n),故 m<n.故选 D. 2 1 2.B [解析] 由题知 f(x)=logax,∵点( a,a)在其图象上,∴a=loga a,即 aa=a , 2 1 1 解得 a= ,∴f(x)=log x.故选 B. 2 2 3.C [解析] 由 f(1)=0 可知选 C. 3 1 1 2 α 4. [解析] f(x)=k· 是幂函数, x 所以 k=1, 由幂函数 f(x)的图象过点? , ?, α= , 得 2 2 ?2 2 ? 3 则 k+α= . 2 【能力提升】 5.C [解析] 对于 A,构造幂函数 y=x3,为增函数,故 A 对;对于 B,D,构造对数 函数 y=log0.5x,为减函数,y=lgx 为增函数,所以 B,D 都对;对于 C,构造指数函数 y= 0.75x,为减函数,故 C 错. 1 1 6.D [解析] y=x 在-1≤x≤1 时,有-1≤y≤1;y= x,在 x≤0 时,有 y≥1,所以 3 2 A∩B={1}.故选 D. 2 2 7.C [解析] 因为 x2+1≥1,所以 2 ≤2,所以 log2 2 ≤log22=1,所以函数的值 x +1 x +1 域为(-∞,1],选 C. 1 1 1 8.D [解析] 当 x>0 时,f(x)=lgx,所以 f =lg =-2,ff =f(-2).又 y=f(x) 100 100 100 是奇函数,所以 f(-x)=-f(x),故 f(-2)=-f(2)=-lg2. 1 1 1 1 1 1 9.D [解析] x=lnπ >lne=1,0<log52<log42=log44 = ,1=e0>e- = > = , 2 2 2 e 4 2 1.D [解析] f(x)= ∴y<z<x,故选 D.

?a>0, ?a<0, ? ? 3 10.(-∞,-1)∪(0, 3) [解析] 由? 1或? a 1 解得 0<a< 3或 a<-1. ? ? ?log3a<3 ?3 <3,
3 1 1 1 1 - 11.[2,+∞) [解析] 由 f(1)= ,得 a2= ,于是 a= ,因此 f(x)= |2x 4|.因为 g(x)=|2x 9 9 3 3 -4|在[2,+∞)上单调递增,所以 f(x)的单调递减区间是[2,+∞). 12.(1,+∞) [解析] 构造函数 y=f(x),y=-x+a,当这两个函数的图象只有一个交 点时, 方程 f(x)+x-a=0 只有一个实数根. 如图, a>1 时, 当 两个函数图象只有一个交点. 所 以实数 a 的取值范围是(1,+∞).

13.①②④ [解析] 因为定义域关于原点对称,且 f(-x)=f(x),所以①正确;因为 g(x) x +1 1 = =|x|+ ≥2,且 y=lgx 为增函数,所以 f(x)≥lg2,即②正确,而⑤不正确;因为 g(x) |x| |x| 1 =|x|+ 的递增区间为(-1,0)和(1,+∞),所以 f(x)在(-1,0)和(2,+∞)上是增函数,即 |x| ④正确,而③不正确. 14.解:(1)因为 f(x)为偶函数,
2

e x a ex a 所以 f(-x)=f(x)恒成立,即 + -x= + x恒成立. a e a e 2 2x 整理,得(a -1)(e -1)=0 对任意实数 x 恒成立, 故 a2-1=0.又 a>0,所以 a=1. 1 (2)证明:由(1)知 f(x)=ex+ x. e 在(0,+∞)上任意取 x1,x2,设 0<x1<x2, 1 1 f(x1)-f(x2)=ex1-ex2+ - ex1 ex2 1 1-ex2+x1 =(ex2-ex1)?ex +x -1?=ex1(ex2-x1-1)· , ? 1 2 ? ex2+x1 由 x1>0,x2>0,x2-x1>0, 得 x1+x2>0,ex2-x1-1>0,1-ex2+x1<0, 所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x)在(0,+∞)上是增函数. 1 (3)由 f(x)=2,得 ex+ x=2,即 e2x-2ex+1=0. e 所以 ex=1=e0.所以 x=0. 故方程 f(x)=2 的根为 x=0. 15.解:(1)设 P(x,y)为 g(x)图象上任意一点,则 Q(-x,-y)是点 P 关于原点的对称点, 因为 Q(-x,-y)在 f(x)的图象上, 所以-y=loga(-x+1),即 y=g(x)=-loga(1-x)(a>1). x+1 (2)f(x)+g(x)≥m,即 loga ≥m. 1-x 1+x 设 F(x)=loga ,x∈[0,1)(a>1), 1-x 由题意知,只要 F(x)min≥m 即可. 因为 F(x)在[0,1)上是增函数, 所以 F(x)min=F(0)=0.故 m≤0 即为所求. 【难点突破】 16.解:(1)因为 f(1)=1, 所以 log4(a+5)=1,因此 a+5=4,a=-1, 这时 f(x)=log4(-x2+2x+3). 由-x2+2x+3>0 得-1<x<3,函数定义域为(-1,3). 令 g(x)=-x2+2x+3. 则 g(x)在(-1,1)上递增,在(1,3)上递减, 又 y=log4x 在(0,+∞)上递增, 所以 f(x)的单调递增区间是(-1,1),递减区间是(1,3). (2)假设存在实数 a 使 f(x)的最小值为 0, 则 h(x)=ax2+2x+3 应有最小值 1, ?a>0, ? 1 因此应有?3a-1 解得 a= . 2 ? a =1, ? 1 故存在实数 a= 使 f(x)的最小值等于 0. 2




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