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两角和与差的三角函数公式的证明


两角和与差的三角函数公式的证明
利用单位圆方法证明 sin(α +β )= … 与 cos(α +β )= …,是进一步证明大

部分三角函数公式的基础。 1、sin(α +β )=sinα cosβ + cosα sinβ 在笛卡尔坐标系中以原点 O 为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:

如图中所示,容易看出: sin(α +β )=CF;sinα =AB;cosα =OB; sinβ =CD;cosβ =OD 则:

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平面几何的证明方法:如图所示,过程见下面的【评论】中新浪网友的提示 (非常感谢这位网友的提示, 让我们看到了证明一个定理的多种途径,真是妙不 可言!)

---------------------------------------------------------------------------------附:如何证明托勒密定理? 见 http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式, 托勒密定理实质上 是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法详见数学目录下的博文,来自网友的提供!)

思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两 条线段 DE 和 BE。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二 步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB; 只有这两对相似的三角形出 来了才能得到结论。
证明:以 AB 为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC; 在 ΔABE 和 ΔACD 中, ∵ ∠BAE=∠DAC; ∠ABE=∠ACD; ∴ △ABE∽△ACD; ∴ AB· DC=BE· AC ∵ ∠BAE=∠DAC; ∴ ∠DAE=∠CAB; 在 ΔADE 和 ΔACB 中, ∵ ∠ADE=∠ACB; ∠DAE=∠CAB; ∴ △ADE∽△ACB; ∴ AD· BC=DE· AC ∴ ①+②得: AB· DC+ AD· BC= BE· AC+ DE· AC=(BE+DE)· AC=BD· AC。 ② ①

结论:该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,叫做托勒 密定理。 “当你遇到 AB· DC+AD· BC=AC· BD 这样的等积式时, 如果等式左边可以合二为一, 则考虑证一对三角形相似,否则,在 AC、BD 的其中一条线段上找到一个分点,构造两个 三角形相似。”


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