3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

两角和与差的三角函数公式的证明


两角和与差的三角函数公式的证明
利用单位圆方法证明 sin(α +β )= … 与 cos(α +β )= …,是进一步证明大

部分三角函数公式的基础。 1、sin(α +β )=sinα cosβ + cosα sinβ 在笛卡尔坐标系中以原点 O 为圆心作单位圆,在单位圆中作以下线段:

如图中所示,容易看出: sin(α +β )=CF;sinα =AB;cosα =OB; sinβ =CD;cosβ =OD 则:

----------------------------------------------------------------------------------------------

平面几何的证明方法:如图所示,过程见下面的【评论】中新浪网友的提示 (非常感谢这位网友的提示, 让我们看到了证明一个定理的多种途径,真是妙不 可言!)

---------------------------------------------------------------------------------附:如何证明托勒密定理? 见 http://hyz0.blog.sohu.com/69610635.html http://iask.sina.com.cn/b/2459822.html
托勒密(Ptolemy)定理指出,圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。 原文:圆内接四边形中,两对角线所包矩形的面积等于 一组对边所包矩形的面积与另一组 对边所包矩形的面积之和。 从这个定理可以推出正弦、 余弦的和差公式及一系列的三角恒等式, 托勒密定理实质上 是关于共圆性的基本性质.(具体的推导方法详见数学目录下的博文,来自网友的提供!)

思路:托勒密定理在平面几何中赫赫有名,其难点在于:把一条对角线分割成两 条线段 DE 和 BE。第一步证明一对旋转的三角形相似:△ABE∽△ACD;第二 步还需要证一对旋转的三角形相似△ADE∽△ACB; 只有这两对相似的三角形出 来了才能得到结论。
证明:以 AB 为边,作一个角等于已知角:即∠BAE=∠DAC; 在 ΔABE 和 ΔACD 中, ∵ ∠BAE=∠DAC; ∠ABE=∠ACD; ∴ △ABE∽△ACD; ∴ AB· DC=BE· AC ∵ ∠BAE=∠DAC; ∴ ∠DAE=∠CAB; 在 ΔADE 和 ΔACB 中, ∵ ∠ADE=∠ACB; ∠DAE=∠CAB; ∴ △ADE∽△ACB; ∴ AD· BC=DE· AC ∴ ①+②得: AB· DC+ AD· BC= BE· AC+ DE· AC=(BE+DE)· AC=BD· AC。 ② ①

结论:该命题对于圆内接的任意四边形都成立。最初是由数学家托勒密想出来的,叫做托勒 密定理。 “当你遇到 AB· DC+AD· BC=AC· BD 这样的等积式时, 如果等式左边可以合二为一, 则考虑证一对三角形相似,否则,在 AC、BD 的其中一条线段上找到一个分点,构造两个 三角形相似。”


推荐相关:

三角函数两角和与差,以及万能公式的推导_初二数学_数学_初中教育_教育专区。很多人对这两类公式的推导较为陌生,现传上,以供大家参考。...


两角和与差的三角函数的经典证明(几何法)_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的三角函数的经典证明(几何法)两角和与差的正弦余弦证明利用...


由角 , 的三角函数值表示 的正弦或余弦值 , 这正是两角和差的正余弦公 式的功能。 换言之 , 要推导两角和差的正余弦公式 , 就是希望能得到一个等式或...


两角和与差的余弦公式的五种推导方法之对比两角和与差的余弦公式是三角函数恒等变换的基础,其他三角函数公式都是在此公式基础上变形得到的,因此 两角和与差的余弦...


两角和与差的三角函数公式知识点_高一数学_数学_高中教育_教育专区。新希望教育...2 ? 3 4 4 (一)两角和差的余弦公式推导: . 首先在单位圆上任取两点 A ...


两角和与差的三角函数公式_数学_高中教育_教育专区。尊重·乐学·博识 学员授课...若能,请加以证明;若不能,请说明理由. 课前审批 课后审核 归档时间 第3页 ...


两角和与差的三角函数公式(文)_高三数学_数学_高中教育_教育专区。安吉振民高级中学高三数学复习学案 主备人:李琳 审核: 两角和与差的三角函数公式学号: 姓名: ...


两角和差的三角函数(教案)_数学_高中教育_教育专区。两角和差教案 两角和与差的正弦、余弦、和正切公式教案(一) 教学目标 ? 知识与技能:理解利用向量推导两角和...


两角和与差的三角函数公式_高一数学_数学_高中教育_教育专区。两角和与差的三角函数公式 sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ sin(α-β)=sinαcosβ-cosα...


北京四中撰稿:李静编审:安东明 责编:张杨 两角和与差的三角函数 [本周重点]两角和与差的正弦、余弦、正切公式 [本周难点]余弦和角公式的推导 [知识结构] 1....

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com