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【创新设计】2015-2016学年高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1合情推理课时作业 新人教A版选修1-2


2.1.1
明目标、 知重点 推理在数学发现中的作用.

合情推理

1.了解合情推理的含义, 能利用归纳和类比等进行简单的推理.2.了解合情

1.归纳推理和类比推理 定义 由某类事物的部分对象具有某些特征, 归纳 推理 推出该类事物的全部对象都具有这些特 征的推理,或者由个别事实概括出一般 结论的推理 类比 推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一 类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理 类比推理是由特殊到特殊的推理 归纳推理是由部分到整体,由个别到一般 的推理 特征

2.合情推理 (1)含义 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类 比,然后提出猜想的推理,我们把它们统称为合情推理. (2)合情推理的过程 从具体问题出发 → 观察、分析、比较、联想 → 归纳、类比 → 提出猜想

[情境导学] 佛教《百喻经》中有这样一则故事.从前有一位富翁想吃芒果,打发他的仆人到果园去买, 并告诉他:“要甜的,好吃的,你才买.”仆人拿好钱就去了.到了果园,园主说:“我这 里树上的芒果个个都是甜的,你尝一个看.”仆人说:“我尝一个怎能知道全体呢?我应当 个个都尝过,尝一个买一个,这样最可靠.”仆人于是自己动手摘芒果,摘一个尝一口,甜 的就都买回去.带回家去,富翁见了,觉得非常恶心,一齐都扔了. 想一想:故事中仆人的做法实际吗?换作你,你会怎么做?学习了下面的知识,你将清楚是
-1-

何道理.

探究点一 归纳推理

思考 1 在日常生活中我们常常遇到这样一些问题:看到天空乌云密布,燕子低飞,蚂蚁搬家 等现象时,我们会得出一个判断——天要下雨了;张三今天没来上课,我们会推断——张三 一定生病了;谚语说:“八月十五云遮月,来年正月十五雪打灯”等,像上面的思维方式就 是推理,请问你认为什么是推理? 答 根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就叫做推理. 思考 2 观察下面两个推理,回答后面的两个问题: (1)哥德巴赫猜想: 6=3+3 8=3+5 10=5+5 12=5+7 14=7+7 16=5+11 ?? 1 000=29+971 1 002=139+863 ?? 猜想:任何一个不小于 6 的偶数都等于两个奇质数之和. (2)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电,猜想:一切金属都能导电. 问题: ①以上两个推理在思维方式上有什么共同特点? ②其结论一定正确吗? 答 ①共同特点:部分推出整体,个别推出一般.(这种推理称为归纳推理) ②其结论不一定正确.

反思与感悟

归纳推理定义:由某类事物的部分对象具有某些特征,推出该类事物的全部对

象都具有这些特征的推理,或者由个别事实概括出一般结论的推理,称为归纳推理 (简称归 纳). 例1 已知数列{an}的第 1 项 a1=1,且 an+1= (n=1,2,3,?),试归纳出这个数列的通 1+an

an

项公式.

-2-

解 当 n=1 时,a1=1; 1 1 当 n=2 时,a2= = ; 1+1 2 1 当 n=3 时,a3= = ; 1 3 1+ 2 1 当 n=4 时,a4= = . 1 4 1+ 3 1 通过观察可得:数列的前四项都等于相应序号的倒数,由此归纳出 an= . 1 3 1 2

n

反思与感悟

归纳推理的一般步骤:①通过观察个别情况发现某些相同性质;②从已知的相

同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想). 归纳推理在数列中应用广泛,我们可以从数列的前几项找出数列项的规律,归纳数列的通项 公式或探求数列的前 n 项和公式. 跟踪训练 1 已知数列{an}满足 a1=1,an+1=2an+1(n=1,2,3,?), (1)求 a2,a3,a4,a5; (2)归纳猜想通项公式 an. 解 (1)当 n=1 时,知 a1=1, 由 an+1=2an+1 得 a2=3,

a3=7,a4=15,a5=31.
(2)由 a1=1=2 -1,a2=3=2 -1,
1 2

a3=7=23-1,a4=15=24-1,a5=31=25-1,
可归纳猜想出 an=2 -1(n∈N ). 例2 在法国巴黎举行的第 52 届世乒赛期间, 某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正
n
*

三棱锥”形的展品,其中第 1 堆只有一层,就一个球;第 2,3,4,?堆最底层(第一层)分别按 图所示方式固定摆放,从第二层开始,每层的小球自然垒放在下一层之上,第 n 堆第 n 层就 放一个乒乓球,以 f(n)表示第 n 堆的乒乓球总数,则 f(3)=______;f(n)=______(答案用 含 n 的代数式表示).

答案 10 解析

n?n+1??n+2?
6

观察图形可知:f(1)=1,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=20,?,故下一堆的个数是上
-3-

一堆个数加上下一堆第一层的个数, 即 f(2)=f(1)+3; f(3)=f(2)+6; f(4)=f(3)+10; ?;

n?n+1? f(n)=f(n-1)+ .
2 将以上(n-1)个式子相加可得

n?n+1? f(n)=f(1)+3+6+10+?+
2 1 2 2 2 = [(1 +2 +?+n )+(1+2+3+?+n)] 2 1 1 n?n+1? = [ n(n+1)(2n+1)+ ] 2 6 2 =

n?n+1??n+2?
6

.

反思与感悟

解本例的关键在于寻找递推关系式: f(n)=f(n-1)+

n?n+1?
2

,然后用“叠加

法”求通项,而第一层的变化规律,结合图利用不完全归纳法可得,即为正整数前 n 项和的 变化规律. 跟踪训练 2 在平面内观察: 凸四边形有 2 条对角线, 凸五边形有 5 条对角线, 凸六边形有 9 条对角线, ? 由此猜想凸 n(n≥4 且 n∈N )边形有几条对角线? 解 凸四边形有 2 条对角线, 凸五边形有 5 条对角线,比凸四边形多 3 条, 凸六边形有 9 条对角线,比凸五边形多 4 条, ?? 于是猜想凸 n 边形比凸(n-1)边形多(n-2)条对角线. 因此凸 n 边形的对角线条数为 2+3+4 1 * +5+?+(n-2)= n(n-3)(n≥4 且 n∈N ). 2 探究点二 类比推理 阅读下面的推理,回答后面提出的问题: 1.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似的特征:(1)火星也是绕太阳运行、 绕轴自转的行星; (2)有大气层,在一年中也有季节变更; (3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物的生存等等.科学家猜想:火星上也可 能有生命存在.
-4*

2.根据等式的性质猜想不等式的性质. 等式的性质: 猜想不等式的性质:

(1)a=b? a+c=b+c; (1)a>b? a+c>b+c; (2)a=b? ac=bc; (2)a>b? ac>bc; (3)a=b? a =b 等等. (3)a>b? a >b 等等. 思考 1 这两个推理实例在思维方式上有什么共同特点? 答 类比推理的定义:这种由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,
2 2 2 2

推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比). 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 思考 2 猜想正确吗? 答 不一定正确. 思考 3 类比圆的特征,填写下表中球的有关特征 圆的概念和性质 圆的周长 圆的面积 圆心与弦(非直径)中点的连线垂直于弦 球的类似概念和性质 球的表面积 球的体积 球心与截面圆(不经过球心的截面圆)圆心的 连线垂直于截面圆 与球心距离相等的两个截面圆面积相等;与 球心距离不等的两个截面圆面积不等,距球 心较近的截面圆面积较大 以点 P(x0,y0,z0)为球心,r 为半径的球的方 程为(x-x0) +(y-y0) +(z-z0) =r
2 2 2 2

与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不 等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 以点 P(x0,y0)为圆心,r 为半径的圆的方程 为(x-x0) +(y-y0) =r 小结
2 2 2

在进行类比推理时要注意对应关系:平面图形中的“线”对应空间图形的“面”;平

面图形中的“面”对应空间图形的“体”;平面图形中的“边长”对应空间图形的“面积”; 平面图形中的“面积”对应空间图形的“体积”;

例 3 在平面几何里, 有勾股定理: “设△ABC 的两边 AB、 AC 互相垂直, 则 AB +AC =BC ”. 拓 展到空间(如图),类比平面几何的勾股定理,研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的结论是______________________________________________________. 答案 设三棱锥 A—BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两互相垂直,则 S△ABC+S△ACD+S△ADB=S△BCD
2 2 2 2

2

2

2

-5-

解析 类比条件: 平面→空间、边垂直→面垂直 两边 AB、AC 互相垂直 ― ― → 侧面 ABC、ACD、ADB 互相垂直. 结论:AB +AC =BC
2 2 2

边长→面积 2 2 2 2 ― ― → S△ABC+S△ACD+S△ADB=S△BCD.

反思与感悟 类比推理的一般步骤:①找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性); ②用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个明确的命题(猜想).

跟踪训练 3 (1)如图所示,在△ABC 中,射影定理可表示为 a=b?cos C+c?cos B,其中 a,

b,c 分别为角 A,B,C 的对边,类比上述定理,写出对空间四面体性质的猜想.
解 如图所示,在四面体 P-ABC 中,设 S1,S2,S3,S 分别表示△PAB,△PBC,△PCA,△ABC 的面积,α ,β ,γ 依次表示面 PAB,面 PB

C,面 PCA 与底面 ABC 所成二面角的大小.
我们猜想射影定理类比推理到三维空间,其表现形式应为: S = S1?cos α + S2?cos β +

S3?cos γ .
(2)已知在 Rt△ABC 中, AB⊥AC,AD⊥BC 于 D,有 1

AD2 AB2 AC2



1



1

成立.那么在四面体 A-BCD 中,

类比上述结论,你能得到怎样的猜想,说明猜想是否正确并给出理由.

解 类比 AB⊥AC,AD⊥BC,可以猜想四面体 A-BCD 中,AB,AC,AD 两两垂直,AE⊥平面 BCD. 则 1

AE

2



1

AB

2



1

AC

2



1

AD2

.猜想正确.

如图所示,连接 BE,并延长交 CD 于 F,连接 AF. ∵AB⊥AC,AB⊥AD,∴AB⊥平面 ACD. 而 AF? 平面 ACD,∴AB⊥AF. 在 Rt△ABF 中,AE⊥BF,∴ 在 Rt△ACD 中,AF⊥CD,∴ 1 1

AE2 AB2 AF2 AF
2

= =

1 1

+ +

1 1

. .

AC

2

AD2

-6-



1

AE

2



1

AB

2



1

AC

2



1

AD2

,故猜想正确.

1.下列说法正确的是(

)

A.由合情推理得出的结论一定是正确的 B.合情推理必须有前提有结论 C.合情推理不能猜想 D.合情推理得出的结论不能判断正误 答案 B 解析 根据合情推理可知,合情推理必须有前提有结论. 2.下图为一串白黑相间排列的珠子,按这种规律往下排起来,那么第 36 颗珠子应是什么颜 色( )

A.白色 C.白色可能性大 答案 A D.黑色可能性大

B.黑色

解析 由图知:三白二黑周而复始相继排列,36÷5=7 余 1.∴第 36 颗珠子的颜色为白色. 3.将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 7 5 6 8 9 10

11 12 13 14 15 ???????? 按照以上排列的规律,第 n 行(n≥3)从左向右的第 3 个数为________. 答案

n2-n+6
2

解析 前 n-1 行共有正整数 1+2+?+(n-1)个, 即

n2-n
2

个,因此第 n 行第 3 个数是全体正整数中第

n2-n
2

+3 个,即为

n2-n+6
2

.

4.古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数,如三角形数 1,3,6,10,?,第 n 个 三角形数为

n?n+1? 1
2

1 2 = n + n,记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3),以下列出了部分 k 边形 2 2

-7-

数中第 n 个数的表达式: 三角形数

N(n,3)= n2+ n,
2

1 2

1 2

正方形数 N(n,4)=n , 3 2 1 五边形数 N(n,5)= n - n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n -n ??????????????? 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=____________. 答案 1 000 解析 由 N(n,4)=n ,N(n,6)=2n -n,可以推测:当 k 为偶数时,N(n,k)= 24-2 4-24 ∴N(10,24)= ?100+ ?10 2 2 =1 100-100=1 000. [呈重点、现规律] 1.合情推理主要包括归纳推理和类比推理.数学研究中,在得到一个新结论前,合情推理能 帮助猜测和发现结论,在证明一个数学结论之前,合情推理常常能为证明提供思路与方向. 2.合情推理的过程概括为 从具体问题出发 ― → 观察、分析、比较、联想 ― → 归纳、类比 ― → 提出猜想
2 2 2

k-2 2 4-k n+ n,
2 2

一、基础过关 1.数列 5,9,17,33,x,?中的 x 等于( A.47 C.63 答案 B 解析 5=2 +1,9=2 +1,17=2 +1,33=2 +1,归纳可得:x=2 +1=65. 2.根据给出的数塔猜测 123 456?9+7 等于( )
2 3 4 5 6

)

B.65 D.128

1?9+2=11 12?9+3=111 123?9+4=1 111 1 234?9+5=11 111 12 345?9+6=111 111
-8-

? A.1 111 110 C.1 111 112 答案 B 解析 由数塔猜测应是各位都是 1 的七位数, 即 1 111 111. 3.观察(x )′=2x,(x )′=4x ,(cos x)′=-sin x,由归纳推理可得:若定义在 R 上的 函数 f(x)满足 f(-x)=f(x),记 g(x)为 f(x)的导函数,则 g(-x)等于( A.f(x) C.g(x) 答案 D 解析 由所给函数及其导数知,偶函数的导函数为奇函数.因此当 f(x)是偶函数时,其导函 数应为奇函数, 故 g(-x)=-g(x). 4.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四面体各 正三角形的( ) B.-f(x) D.-g(x) )
2 4 3

B.1 111 111 D.1 111 113

A.一条中线上的点,但不是中心 B.一条垂线上的点,但不是垂心 C.一条角平分线上的点,但不是内心 D.中心 答案 D 解析 由正四面体的内切球可知,内切球切于四个侧面的中心. 5.设△ABC 的三边长分别为 a、b、c,△ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 2S , a+b+c

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、S4,内切球半径为 r, 四面体 S-ABC 的体积为 V,则 r 等于( A. C. )

V S1+S2+S3+S4

B.

2V S1+S2+S3+S4

3V 4V D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4

答案 C 解析 设四面体的内切球的球心为 O,则球心 O 到四个面的距离都是 R,所以四面体的体积等 于以 O 为顶点,分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和. 1 则四面体的体积为 V 四面体 A-BCD= (S1+S2+S3+S4)R, 3

-9-

∴R=

3V . S1+S2+S3+S4

6.观察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ? 照此规律,第 n 个等式为__________________________. 答案 n+(n+1)+?+(3n-2)=(2n-1)
2 2

7.在△ABC 中,若∠C=90°,则 cos A+cos B=1,用类比的方法,猜想三棱锥的类似性质, 并证明你的猜想. 解 由平面类比到空间,有如下猜想:“在三棱锥 P-ABC 中,三个侧面 PAB,PBC,PCA 两两 垂直,且与底面所成的角分别为 α ,β ,γ ,则 cos α +cos β +cos γ =1”. 证明:设 P 在平面 ABC 的射影为 O,延长 CO 交 AB 于 M,记 PO=h, 由 PC⊥PA,PC⊥PB,得 PC⊥面 PAB,从而 PC⊥PM,又∠PMC=α , cos α =sin∠PCO= ,cos β = ,cos γ = . 1 1 1 ∵VP-ABC= PA?PB?PC= ( PA?PBcos α + 6 3 2 1 1 PB?PCcos β + PC?PA cos γ )?h, 2 2 cos α cos β cos γ 2 2 2 ∴( + + )h=1,即 cos α +cos β +cos γ =1.
2 2 2

2

h PC

h PA

h PB

PC

PA

PB

二、能力提升 8.把下面在平面内成立的结论类比地推广到空间,结论仍然正确的是( A.如果一条直线与两条平行线中的一条相交,则也与另一条相交 B.如果一条直线与两条平行线中的一条垂直,则也与另一条垂直 C.如果两条直线同时与第三条直线相交,则这两条直线相交或平行 D.如果两条直线同时与第三条直线垂直,则这两条直线平行 答案 B 解析 推广到空间以后,对于 A、C、D 均有可能异面,故选 B. 9.在等差数列{an}中,若 a10=0,则有等式 a1+a2+?+an=a1+a2+?+a19-n(n<19,n∈N )成 立.类比上述性质,相应地在等比数列{bn}中,若 b9=1,则成立的等式是( )
*

)

- 10 -

A.b1?b2???bn=b1?b2???b17-n(n<17,n∈N ) B.b1?b2???bn=b1?b2???b18-n(n<18,n∈N ) C.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b17-n(n<17,n∈N ) D.b1+b2+?+bn=b1+b2+?+b18-n(n<18,n∈N ) 答案 A 解析 在等差数列{an}中,由 a10=0,得 a1+a19=a2+a18=?=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0, ∴a1+a2+?+an+?+a19=0, 即 a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1, 又∵a1=-a19,a2=-a18,?,a19-n=-an+1 ∴a1+a2+?+an=-a19-a18-?-an+1 =a1+a2+?+a19-n. 若 a9=0,同理可得
* * *

*

a1+a2+?+an=a1+a2+?+a17-n.
相应地,等比数列{bn}中有:

b1b2?bn=b1b2?b17-n(n<17,n∈N*).
10.观察下列等式 1 =1 1 -2 =-3 1 -2 +3 =6 1 -2 +3 -4 =-10 ?? 照此规律,第 n 个等式可为________. 答案 1 -2 +3 -4 +?+(-1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

n+1 2

n?n+1? n =(-1)n+1?
2

解析 观察等式左边的式子,每次增加一项,故第 n 个等式左边有 n 项,指数都是 2,且正、 负相间,所以等式左边的通项为(-1)
n+1 2

n .等式右边的值的符号也是正、负相间,其绝对值分

别为 1,3,6,10,15,21, ?.设此数列为{an}, 则 a2-a1=2, a3-a2=3, a4-a3=4, a5-a4=5, ?,

n?n+1? an-an-1=n,各式相加得 an-a1=2+3+4+?+n,即 an=1+2+3+?+n= .所以第
2

n 个等式为 12-22+32-42+?+(-1)n+1n2=(-1)n+1

n?n+1?
2

.

11.根据下列条件,写出数列的前 4 项,并归纳猜想它的通项公式. (1)a1=a,an+1= 1 ; 2-an
*

(2)对一切的 n∈N ,an>0,且 2 Sn=an+1.
- 11 -

解 (1)由已知可得 a1=a,

a2=

1 1 1 2-a 1 3-2a = ,a3= = ,a4= = . 2-a1 2-a 2-a2 3-2a 2-a3 4-3a

?n-1?-?n-2?a * 猜想 an= (n∈N ). n-?n-1?a (2)∵2 Sn=an+1,∴2 S1=a1+1,即 2 a1=a1+1, ∴a1=1.又 2 S2=a2+1, ∴2 a1+a2=a2+1,∴a2-2a2-3=0, ∵对一切的 n∈N ,an>0,∴a2=3. 同理可求得 a3=5,a4=7, 猜想出 an=2n-1(n∈N ).
* * 2

x2 y2 12. (1)椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是椭圆 C 上异于 A、B 的任意一 a b
→ → 2 2 点,直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N,求证:AN?BM为定值 b -a . (2)类比(1)可得如下真命题:双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 x 轴交于 A、B 两点,点 P 是双曲 → → 线 C 上异于 A、B 的任意一点,直线 PA、PB 分别与 y 轴交于点 M、N,求证:AN?BM为定值, 请写出这个定值(不要求写出解题过程). 解 (1)证明如下:设点 P(x0,y0),(x0≠±a). 依题意,得 A(-a,0),B(a,0), 所以直线 PA 的方程为 y= 令 x=0,得 yM= 所以 yMyN=

x2 y2 a b

y0 (x+a), x0+a

ay0 ay0 .同理得 yN=- . x0+a x0-a

a2y2 0 . a2-x2 0 x2 y2 0 0 a b

又点 P(x0,y0)在椭圆上,所以 2+ 2=1, 因此 y0= 2(a -x0).
2

b2 a

2

2

a2y2 0 2 所以 yMyN= 2 2=b . a -x0
→ → 因为AN={a,yN},BM=(-a,yM), → → 2 2 2 所以AN?BM=-a +yMyN=b -a . (2)-(a +b ).
2 2

- 12 -

三、探究与拓展 13.

如图,在长方形 ABCD 中,对角线 AC 与两邻边所成的角分别为 α 、β ,则 cos α +cos β =1, 则在立体几何中,给出类比猜想. 解 在长方形 ABCD 中,cos α +cos β =( ) +( ) =
2 2

2

2

a c

2

b c

2

a2+b2 c2 = 2=1. c2 c

于是类比到长方体中,猜想其体对角线与共顶点的三条棱所成的角分别为 α 、β 、γ ,如图.

则 cos α +cos β +cos γ =1.

2

2

2

m 2 n 2 g 2 m2+n2+g2 l2 证明如下:cos α +cos β +cos γ =( ) +( ) +( ) = = 2=1. l l l l2 l
2 2 2

- 13 -


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