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浙江专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线


(浙江专用) 2018 版高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.6 双曲线教师用书

1.双曲线定义 平面内与两个定点 F1, F2 的距离的差的绝对值等于常数( 小于 |F1F2|)的点的轨迹叫做双曲 线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<|F1F2|时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=|F1F2|时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>|F1F2|时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1 (a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性 渐近线 质 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R
对称轴:坐标轴

x∈R,y≤-a 或 y≥a
对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲

实虚轴 线的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双

1

曲线的虚半轴长

a、b、c 的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

【知识拓展】 巧设双曲线方程

x2 y2 x2 y2 (1)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t(t≠0). a b a b
(2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1(mn<0). 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)平面内到点 F1(0,4), F2(0, -4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线. ( ? )

x2 y2 m n

x2 y2 (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ? ) m n x2 y2 x2 y2 x y (3)双曲线方程 2- 2=λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( √ ) m n m n m n
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √
2 2 2 2

)

x y x y 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2= a b b a e1 e2
1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )

x2 y2 1.(教材改编)若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双 a b
曲线的离心率为( A. 5 C. 2 答案 A 解析 由题意得 b=2a,又 a +b =c ,∴5a =c .
2 2 2 2 2

) B.5 D.2

c2 ∴e = 2=5,∴e= 5. a
2

2.等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于 A,B 两点, |AB|=4 3,则 C 的实轴长为( A. 2 B.2 2 C.4 D.8 )

2

答案 C
2

解析 设 C: 2- 2=1. ∵抛物线 y =16x 的准线为 x=-4,联立 2- 2=1 和 x=-4,得 A(-4, 16-a ),B(-4, - 16-a ), ∴|AB|=2 16-a =4 3, ∴a=2,∴2a=4. ∴C 的实轴长为 4. 3.(2015?安徽)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4 答案 C 解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在 y 1 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C. 2 4. (2016?浙江)设双曲线 x - =1 的左, 右焦点分别为 F1, F2.若点 P 在双曲线上, 且△F1PF2 3 为锐角三角形,则|PF1|+|PF2|的取值范围是________. 答案 (2 7,8) 解析 由已知 a=1,b= 3,c=2,则 e= =2, 设 P(x,y)是双曲线上任一点, 由对称性不妨设 P 在右支上, 则 1<x<2,|PF1|=2x+1,|PF2|=2x-1, 又∠F1PF2 为锐角,则|PF1| +|PF2| >|F1F2| , 即(2x+1) +(2x-1) >4 ,解得 x> 所以
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a a

x2 y2 a a

2

)

y2
2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x2

2

y2

x2

y2

c a

7 , 2

7 <x<2,|PF1|+|PF2|=4x∈(2 7,8). 2

题型一 双曲线的定义及标准方程
3

命题点 1 利用定义求轨迹方程 例 1 已知圆 C1: (x+3) +y =1 和圆 C2: (x-3) +y =9, 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 答案 x - =1(x≤-1) 8 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.
2 2 2 2 2

y2

根据两圆外切的条件, 得|MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|, 因为|MA|=|MB|, 所以|MC1|-|AC1|= |MC2|-|BC2|, 即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于|C1C2|=6. 又根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大, 与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b =8. 故点 M 的轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 8 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为
2 2

y2

x2 y2 y2 x2 - = 1 或 - =1(a>0,b>0). a2 b2 a2 b2 c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4
4

∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b =c -a =25. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx -ny =1(mn>0). 1 m=- , ? ? 75 解得? 1 n=- . ? ? 25
2 2 2 2 2

x2

y2

y2

x2

y2

x2

?9m-28n=1, ? ∴? ? ?72m-49n=1,

∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 例 3 已知 F1,F2 为双曲线 C:x -y =2 的左,右焦点,点 P 在 C 上,|PF1|=2|PF2|,则 cos ∠F1PF2=________. 答案 3 4
2 2

y2

x2

解析 ∵由双曲线的定义有|PF1|-|PF2| =|PF2|=2a=2 2, ∴|PF1|=2|PF2|=4 2, |PF1| +|PF2| -|F1F2| 则 cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| = ?4 2? +?2 2? -4 2?4 2?2 2
2 2 2 2 2 2

3 = . 4

引申探究 1.本例中若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则|PF1|-|PF2|=2a=2 2, 在△F1PF2 中,由余弦定理,得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| 1 = ,所以|PF1|?|PF2|=8, 2
5
2 2 2

1 所以 S? F1PF2 = |PF1|?|PF2|sin 60°=2 3. 2 → → 2.本例中若将条件“|PF1|=2|PF2|”改为“PF1?PF2=0”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上,则|PF1|-|PF2|=2a=2 2, → → → → 由于PF1?PF2=0,所以PF1⊥PF2, 所以在△F1PF2 中,有|PF1| +|PF2| =|F1F2| , 即|PF1| +|PF2| =16, 所以|PF1|?|PF2|=4, 1 所以 S? F1PF2 = |PF1|?|PF2|=2. 2 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线, 进而根据要 求可求出双曲线方程; (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合||PF1|-|PF2||=2a,运用 平方的方法,建立与|PF1|?|PF2|的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式, 然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方 程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ ≠0),再由条件 求出 λ 的值即可. (1)已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 5 4 在双曲线上,则|AP|+|AF2|的最小值为( A. 37+4 C. 37-2 5 )
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2

B. 37-4 D. 37+2 5

(2)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,双曲线上存在一点 P 使得|PF1| 9 +|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 A. C. 4 3 9 4 B. 5 3 )

x a

2

y b

2

D.3

答案 (1)C (2)B 解析 (1)由题意知,|AP|+|AF2|=|AP|+|AF1|-2a,

6

要求|AP|+|AF2|的最小值,只需求|AP|+|AF1|的最小值, 当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值, 则|AP|+|AF1|=|PF1|= 37, ∴|AP|+|AF2|的最小值为|AP|+|AF1|-2a= 37-2 5. 故选 C. (2)不妨设 P 为双曲线右支上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2.根据双曲线的定义,得 r1-r2=2a, 3b+2a 3b-2a 又 r1+r2=3b,故 r1= ,r2= . 2 2 9 3b+2a 3b-2a 9 又 r1?r2= ab,所以 ? = ab, 4 2 2 4

b 4 解得 = (负值舍去), a 3
故 e= = 故选 B. 题型二 双曲线的几何性质 例 4 (1)(2016?浙江)已知椭圆 C1: 2+y =1(m>1)与双曲线 C2: 2-y =1(n>0)的焦点重 合,e1,e2 分别为 C1,C2 的离心率,则( A.m>n 且 e1e2>1 C.m<n 且 e1e2>1 )

c a

a2+b2 = a2

? ? +1

b a

2

4 2 5 ? ? +1= , 3 3

x2 m

2

x2 n

2

B.m>n 且 e1e2<1 D.m<n 且 e1e2<1

(2)(2015?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛 物线 C2: x =2py(p>0)交于点 O, A, B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为________. 3 答案 (1)A (2) 2 解析 (1)由题意可得 m -1=n +1,即 m =n +2, 又∵m>0,n>0,故 m>n. 又∵e1?e2=
2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

m2-1 n2+1 n2+1 n2+1 n4+2n2+1 1 ? 2 = 4 >1,∴e1?e2>1. 2 ? 2 = 2 2 =1+ 4 m n n +2 n n +2n n +2n2 b a b a

(2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,直线 OB 的方程为 y=- x.

b ? ?y= x, 由? a ?x2=2py, ?

得 x =2p ? x,

2

b a

7

2 2pb 2pb ?2pb,2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? 2 ?.

2

a

a

? a

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? - a 2 ∴kAF= . 2pb
2

?

a ? p?

2pb

2

p

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1, - 2 ? b? b2 5 ∴ ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a? 2pb
2

p

a2

a
设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 3 ∴e= . 2
2

c2 a2+b2 5 9 =1+ = . 2 a a 4 4

x2 y2 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) a b
中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e =1+k . (2016?全国甲卷)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左,右焦点,点 M 在 E 1 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 3 B. C. 3 2 D.2 )

b a

2

2

x2 y2 a b

答案 A |F1F2| |F1F2| sin ∠F1MF2 解析 离心率 e= ,由正弦定理得 e= = = |MF2|-|MF1| |MF2|-|MF1| sin∠MF1F2-sin∠MF2F1 2 2 3 = 2.故选 A. 1 1- 3 题型三 直线与双曲线的综合问题 例 5 (2016?兰州模拟)已知椭圆 C1 的方程为 +y =1,双曲线 C2 的左,右焦点分别是 C1 4 的左,右顶点,而 C2 的左,右顶点分别是 C1 的左,右焦点. (1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且OA?OB>2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围.
8

x2

2

解 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 则 a =4-1=3,c =4, 再由 a +b =c ,得 b =1. 故 C2 的方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1, 3 得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 由直线 l 与双曲线 C2 交于不同的两点,得
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

?1-3k ≠0, ? ?Δ =?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 2 2 ∴k ≠ 且 k <1.① 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k -9 则 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1-3k 1-3k ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2 = 3k +7 . 2 3k -1
2 2

2

→ → 又∵OA?OB>2,得 x1x2+y1y2>2, 3k +7 -3k +9 ∴ 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 2 解得 <k <3,② 3 1 2 由①②得 <k <1. 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3
2 2

思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元, 得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时,直线与双曲线相交于某支上一点, 这时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点,且与 C 的一条对称轴垂直,l 与 C 交于 A,B 两点,|AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为( )
9

A. 2 C.2 答案 B

B. 3 D.3

解析 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0). ∵直线 l 过双曲线的焦点且与对称轴垂直, ∴直线 l 的方程为 x=c 或 x=-c. 将其代入 2- 2=1, 求得 y =b ( 2-1)= 2,∴y=± , 2b 2b ∴|AB|= .依题意,得 =4a,
2 2 2 2

x2 y2 a b

x2 y2 a b c2 a

b4 a

b2 a

a

a



c -a 2 =2,即 e -1=2,∴e= 3. a2

2

2

11.直线与圆锥曲线的交点

典例 已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A,B 两点,且 2 点 P 是线段 AB 的中点? 错解展示

2

y2

10

现场纠错 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k.

y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 2 ?
得(2-k )x -2k(1-k)x-(1-k) -2=0(2-k ≠0).① ∴x0=
2 2 2 2

x1+x2 k?1-k? = . 2 2 2-k k?1-k? =1,解得 k=2. 2 2-k
2

由题意,得

当 k=2 时,方程①可化为 2x -4x+3=0. Δ =16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件. (2)“判别式 Δ ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.

11

1.(2016?广州联考)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的一 条渐近线上,则 C 的方程为( A. - =1 20 5 C. - =1 80 20 答案 A ) B. - =1 5 20 D. - =1 20 80

x2 y2 a b

x

2

y

2

x2

y2

x2

y2

x2

y2

a +b =25, ? ? 解析 依题意? b 1= ?2, ? ? a

2

2

?a =20, ? 解得? 2 ?b =5, ?

2

∴双曲线 C 的方程为 - =1. 20 5

x2

y2

y2 2.(2016?全国乙卷)已知方程 2 - 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 m +n 3m -n
4,则 n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) 答案 A 解析 ∵方程
2

x2

) B.(-1, 3) D.(0, 3)

- =1 表示双曲线, m +n 3m2-n
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

∴(m +n)?(3m -n)>0,解得-m <n<3m ,由双曲线性质,知 c =(m +n)+(3m -n)=4m (其 中 c 是半焦距), ∴焦距 2c=2?2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3,故选 A. 3.(2016?佛山模拟)已知双曲线 - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双 16 9 曲线的右支交于 A,B 两点,若|AB|=5,则△ABF1 的周长为( A.16 B.20 C.21 答案 D 解析 由双曲线 - =1,知 a=4. 16 9 由双曲线定义|AF1|-|AF2|=|BF1|-|BF2|=2a=8, ∴|AF1|+|BF1|=|AF2|+|BF2|+16=21, ∴△ABF1 的周长为|AF1|+|BF1|+|AB|=21+5=26.故选 D.
12

x2

y2

)

D.26

x2

y2

4.(2016?江西联考)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,若在双曲 → → → → → 线的右支上存在一点 M,使得(OM+OF2)?F2M=0(其中 O 为坐标原点),且|MF1|= 3|MF2|, 则双曲线的离心率为( A. 5-1 C. 5+1 2 ) B. 3+1 2

x2 y2 a b

D. 3+1

答案 D → → → 解析 ∵F2M=OM-OF2, → → → → → → → ∴(OM+OF2)?F2M=(OM+OF2)?(OM-OF2)=0, →2 → 2 → → 即OM -OF2 =0,∴|OF2|=|OM|=c, → → 在△MF1F2 中,边 F1F2 上的中线等于|F1F2|的一半,可得MF1⊥MF2. → → ∵|MF1|= 3|MF2|, → → ∴可设|MF2|=λ (λ >0),|MF1|= 3λ , 得( 3λ ) +λ =4c ,解得 λ =c, → → ∴|MF1|= 3c,|MF2|=c, → → ∴根据双曲线定义得 2a=|MF1|-|MF2|=( 3-1)c, 2c ∴双曲线的离心率 e= = 3+1. 2a 5.(2016?绍兴质量检测二)已知直线 l 与双曲线 C:x -y =2 的两条渐近线分别交于 A,B 两点.若 AB 的中点在该双曲线上,O 为坐标原点,则△AOB 的面积为( A. 1 2 B.1 D.4 )
2 2 2 2 2

C.2 答案 C

解析 由题意,得双曲线的两条渐近线方程为 y=±x. 设 A(x1,x1),B(x2,-x2), ∴AB 的中点为(

x1+x2 x1-x2
2 , 2

),

13

∴(

x1+x2
2

) -(

2

x1-x2
2

) =2? x1x2=2,

2

1 1 ∴S△AOB= |OA|?|OB|= | 2x1|?| 2x2|=x1x2=2. 2 2 6.(2016?安徽庐江第二中学月考)已知椭圆 2+ 2=1(a1>b1>0)的长轴长、短轴长、焦距成 等比数列,离心率为 e1;双曲线 2- 2=1(a2>0,b2>0)的实轴长、虚轴长、焦距也成等比数 列,离心率为 e2,则 e1e2 等于( A. 2 2 B.1 C. 3 D.2 )

x2 y 2 a1 b1

x2 y2 a2 b2

答案 B 解析 由 b1=a1c1,得 a1-c1=a1c1,∴e1= = 由 b2=a2c2,得 c2-a2=a2c2,∴e2= = ∴e1e2= 5-1 5+1 ? =1. 2 2
2 2 2 2 2 2

c1 a1

5-1 . 2

c2 a2

5+1 . 2

7.(2015?课标全国Ⅰ)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦 2 → → 点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( 3 3? ? , ? 3? ? 3 ? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3 A.?- 答案 A 解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 ∵MF1?MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ -y0=1,即 x0=2+2y0, 2 ∴2+2y0-3+y0<0,∴-
2 2 2 2

x2

2

)

3 3? ? , ? 6? ? 6 ? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3 B.?-

x2 0

2

2

2

3 3 <y0< .故选 A. 3 3

8.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂 直于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的
14

x2 y2 a b

取值范围是( A.(1,+∞) C.(1,1+ 2) 答案 B

) B.(1,2) D.(2,1+ 2)

解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, ),B(-c,- ),E(a,0), → → ∵△ABE 是锐角三角形,∴EA?EB>0,

b2 a

b2 a

b b → → 即EA?EB=(-c-a, )?(-c-a,- )>0, a a
整理得 3e +2e>e ,∴e(e -3e-3+1)<0, ∴e(e+1) (e-2)<0,解得 e∈(0,2),又 e>1, ∴e∈(1,2),故选 B. 9.(2016?北京)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线为 2x+y=0,一个焦点为 ( 5,0),则 a=________;b=________. 答案 1 2
2 2 4 3

2

2

x2 y2 a b

解析 由 2x+y=0,得 y=-2x,所以 =2. 又 c= 5,a +b =c ,解得 a=1,b=2. 10.(2016?杭州模拟)已知点 A,B 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右顶点,点
2 2 2

b a

x2 y2 a b

P 是双曲线 C 上异于 A,B 的另外一点,且△ABP 是顶点为 120°的等腰三角形,则该双曲线
的渐近线方程为________. 答案 x±y=0 解析 如图所示,过点 P 作 PC⊥x 轴,

因为|AB|=|BP|=2a, 所以∠PBC=60°,BC=a,

yP=|PC|= 3a,点 P(2a, 3a),
将 P(2a, 3a)代入 2- 2=1,得 a=b,
15

x2 y2 a b

所以其渐近线方程为 x±y=0. 11.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上, 且|PF1|=4|PF2|,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________. 答案 5 3

x2 y2 a b

解析 由定义,知|PF1|-|PF2|=2a. 8 2 又|PF1|=4|PF2|,∴|PF1|= a,|PF2|= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理, 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 2 得 cos∠F1PF2= = - e. 8 2 8 8 2? a? a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 12.(2015?课标全国Ⅰ)已知 F 是双曲线 C:x - =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点, 8
2

y2

A(0,6 6).当△APF 的周长最小时,该三角形的面积为________.
答案 12 6 解析 设左焦点为 F1,|PF|-|PF1|=2a=2, ∴|PF|=2+|PF1|,△APF 的周长为|AF|+|AP|+|PF|=|AF|+|AP|+2+|PF1|,△APF 周长 最小即为|AP|+|PF1|最小,当 A、P、F1 在一条直线时最小,过 AF1 的直线方程为
2

+ = -3 6 6

x

y

1,与 x - =1 联立,解得 P 点坐标为(-2,2 6),此时 S△APF= S? AF1F - S? F1PF =12 6. 8 13.中心在原点,焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且|F1F2|=2 13, 椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为 4,离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程; (2)若 P 为这两曲线的一个交点,求 cos∠F1PF2 的值. 解 (1)由已知 c= 13,设椭圆长半轴长,短半轴长分别为 a,b, 双曲线实半轴长,虚半轴长分别为 m,n,

y2

16

a-m=4, ? ? 则? 13 13 7? =3? , ? a m ?
解得 a=7,m=3.∴b=6,n=2. ∴椭圆方程为 + =1, 49 36 双曲线方程为 - =1. 9 4 (2)不妨设 F1,F2 分别为左,右焦点,P 是第一象限的一个交点, 则|PF1|+|PF2|=14,|PF1|-|PF2|=6, ∴|PF1|=10,|PF2|=4.又|F1F2|=2 13, |PF1| +|PF2| -|F1F2| ∴cos∠F1PF2= 2|PF1|?|PF2| = 10 +4 -?2 13? 4 = . 2?10?4 5
2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

17



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