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1.2.2组合(3)排列组合中的分组分配


排列组合中的分组分配问题
ab ac ad bc bd cd

cd bd bc
ad ac ab

情景引入
? 六本不同的书,分为三组,求在下列条件 下各有多少种不同的分配方法?
(1)每组两本(均分三堆) 15 (2)一组一本,一组二本,一组三本 (3)一组四本,另外两组各一本 (4)平均分给甲乙丙三人
90
60

15

难点分解
1 把abcd分成平均两组 有_____多少种分法? 2 C4 ab ac ad bc bd cd cd bd bc ad ac ab 2 C2 2 A2

3

这两个在分组时只能算一个

记住:
平均分成的组,不管 它们的顺序如何,都 是一种情况,所以分 组后要除以Amm,其中
m表示组数。

基本的分组问题

例1 六本不同的书,分为三组,求在下
列条件下各有多少种不同的分配方法?

(1)每组两本(均分三堆)15
(2)一组一本,一组二本,一组三本60

(3)一组四本,另外两组各一本15
(4)平均分给甲乙丙三人90

分析: (1)分组与顺序无关,是组合问题。分组数是C62C42C22=90(种) 这90种分组实际上重复了6次。 考察以下两种分法:(1,2)(3,4)(5,6)与(3,4)(1,2)(5,6), 由于书是均匀分组的,三组的本数一样,又与顺序无关,所以这两 种分法是同一种分法。以上的分组方法实际上加入了组的顺序,因 此还应取消分组的顺序,即除以组数的全排列数A33=6,所以分法 是 90/6=15(种)。 (2)先分组,方法是C61C52C33=60,那么还要不要除以A33? 我们发现,由于每组的书的本数是不一样的,因此不会出现相同的 分法,即共有 60(种) 分法。 (3)分组方法是C64*C21*C11=30(种) 其中有没有重复的分法?我们发现,其中两组的书的本数都是 一本,因此这两组有了顺序,而与四本书的那一组,由于书的本数 不一样,不可能重复。所以实际分法是C64*C21*C11/ A22=15(种)。

基本的分配的问题 1定向分配问题

例2 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配方 法? (1) 甲两本、乙两本、丙两本. (2) 甲一本、乙两本、丙三本. (3) 甲四本、乙一本、丙一本.

分析:由于分配给三人,每人分几本是 一定的,属分配问题中的定向分配问题, 由分布计数原理不难解出: (1)C62*C42*C22=90(种) (2)C61*C52*C33=60(种) (3)C64*C21*C11=30(种)。

基本的分配的问题 2不定向分配问题

例3 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 求在下列条件下各有多少种不同的分配法? (1) 每人两本 (2) 一人一本、一人两本、一人三本 (3) 一人四本、一人一本、一人一本

(结论)解不定向分配题的一般原则:先分组后排列。

例4 六本不同的书,分给甲、乙、丙三人, 每人至少一本,有多少种分法?
分析:六本书和甲、乙、丙三人都有“归宿”,即 书要分完,人不能空手。因此,考虑先分组,后排 列。先分组,六本书怎么分为三组呢?有三类分法 (1)每组两本(2)分别为一本、二本、三本(3)两组各 一本,另一组四本。所以根据加法原理,分组法是 90(种)。再考虑排列。所以一共有540种不同的分 法。

基础探究
一:均分无分配对象的问题
例1:12本不同的书 (1)按4∶4∶4平均分成三堆有多少种不同的分法? (2)按2∶2∶2∶6分成四堆有多少种不同的分法? 4 4 4 C C C 8 4 12 (1) 3 A3 2 6 2 2 C C C C 8 10 6 12 (2) 3 A3

12! 4!· 8!


8! 4!· 4!

1 3!

5775

2 2 2 6 C 12C 6 C 4 C 2 3 A3

二:均分有分配对象的问题
例2:6本不同的书按2∶2∶2平均分给甲、乙、 丙三个人,有多少种不同的分法? 方法:先分再排法。分成的组数看成元 素的个数· (1)均分的三组看成是三个元素在三 个位置上作排列
2 C 6 (1)
2 2 C4 C2 3 A3 3 A3 2 2 2 C6 C4 C2

三:部分均分有分配对象的问题
例3 12支笔按3:3:2:2:2分给A、B、C、D、 E五个人有多少种不同的分法? 方法:先分再排法。分成的组数看成元素的个数· (2)均分的五组看成是五个元素在五个位置上作 排列 2 3 2 2 3 C C 9 C6 C4 C2 12 (2) 3 2 A3 A2

5 A5

三:部分均分无分配对象的问题

例4 六本不同的书分成3组一组4本其余各1本有多少种分法

C64C21C11 A22

四.非均分组无分配对象问题
例5 6本不同的书按1∶2∶3分成三堆有多少种 不同的分法?

C61C52C33

注意:非均分问题无分配对象只要按比例分完再用 乘法原理作积

五.非均分组分配对象确定问题

例6 六本不同的书按1∶2∶3分给甲、乙、丙三个人 有多少种不同的分法?

C61C52C33

五非均分组分配对象不固定问题
例7 六本不同的书分给甲、乙、丙3人,1人1本,1人2 本,1人3本有多少种分法?

C61C52C33 A33

练习1
12本不同的书平均分成四组有多少 种不同分法?

C CCC 4 A4

3 12

3 9

3 6

3 3

练习2
2:10本不同的书
(1)按2∶2∶2∶4分成 四堆有多少种不同的 分法? (2)按2∶2∶2∶4分给 甲、乙、丙、丁四个 人有多少种不同的分 法?

(1) ( 2)

C CC C 3 A3 C C C C
2 10 2 8 2 6

2 10

2 8

2 6

4 4

4 4

3 有六本不同的书分给甲、乙、丙三名同学,按下条 件,各有多少种不同的分法? (1)每人各得两本; (2)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (3)一人一本,一人两本,一人三本; (4)甲得四本,乙得一本,丙得一本; (5)一人四本,另两人各一本·

(1)

2 2 2 C6C4 C2 (2) C 1 C 2 C 3 6 5 3 1 2 3 (3) C 6 C5 C3

3 A3

4 (4) C 6 1 (5) A 3

1 C2

1 C1

4 C6

1 C2

1 C1

二.元素相同问题隔板策略
例3.有10个运动员名额,再分给7个班,每 班至少一个,有多少种分配方案?

解:因为10个名额没有差别,把它们排成 一排。相邻名额之间形成9个空隙。 在9个空档中选6个位置插个隔板, 可把名额分成7份,对应地分给7个 班级,每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 将n个相同的元素分成 n,m为正整数),每 C9 m份( 份至少一个元素,可以用m-1块隔板,插入n个元素 m ?1 排成一排的n-1个空隙中,所有分法数为 C n ?1
一 班 二 班

三 班

四 班

五 班

六 班

七 班

三.多面手问题
例4 :有12名划船运动员,其中3人只会划左舷,4人只会划右 舷,其余5人既会划左舷也会划右舷。现在要从这12名运动员 中选出6人平均分在左、右舷划船参加比赛,有多少种不同的 选法? 分析:设集合A={只会划左舷的3个人},B={只会划右舷的4个 人},C={既会划左舷又会划右舷的5个人} 先分类,以集合A为基准,划左舷的3个人中,有以下几类情 况:①A中有3人;②A中有2人;C中有1人;③A中有1人,C 中有2人;④C中有3人。 第①类,划左舷的人已选定,划右舷的人可以在B,C中选3人, 有 C3 种 ,以下类同
9

C C ? C C C ? C C C ? C C C ? 2174
3 3 3 9 2 1 3 3 5 8 1 2 3 3 5 7 0 3 3 3 5 6

【综合演练】
1.对某种产品的6只不同正品和4只不同次品一一测试,若所 有次品恰好在第六次测试时被全部发现,这样的测试方法有多 少种? 3 2 5

C4C6A5 ? 7200

2.把10名同学平均分成两个小组,每组5人,每组里选出正、 副组长各一人,再分配到两个不同的地方去做社会调查,一共 5 5 有多少种不同的方法? C C

3.车队有车7辆,现要调出4辆车按顺序去执行任务,要求A、 B两车必须出车参加,并且A车要在B车之前出发,那么不同的 2 4 调度方法有多少种? CA
5 4

10 5 2 2

A

2 2 2 A5 A5A2 ? 100800

2

? 120

4: 从7名男生5名女生中,选出5人,分别求符合下列条件的选 法种数有多少种? 3 (1)A 、B必须当选;C10 ? 120 5 (2)A 、B 都不当选; C10 ? 252 1 4 5 C C ? C ? 672 或? (3)A、B不全当选; 2 10 10 5 5 1 4 C ? C ? C C ? 596 (4)至少有2名女生当选; 12 7 5 7 (5)选出5名同学,让他们分别担任体育委员、文娱委员等5 种不同工作,但体育委员由男生担任,文娱委员由女生担任.
1 3 C1 C A ? 25200 7 5 10

变式练习
按下列条件,从12人中选出5人,有多少种不同选法? 3 2 (1)甲、乙、丙三人必须当选; C3 C9 ? 36 0 5 (2)甲、乙、丙三人不能当选; C3 C9 ? 126 (3)甲必须当选,乙、丙不能当选;C11C94 ? 126 (4)甲、乙、丙三人只有一人当选; C1C 4 ? 378 3 9 (5)甲、乙、丙三人至多2人当选; (6)甲、乙、丙三人至少1人当选;
3 1 4 5 (5)方法一:C32C9 ? C3 C9 ? C30C9 ? 756

方法二:C ? C C ? 756 1 4 (6)方法一:C C ? C C ? C3C9 ? 666 方法二:C ? C C ? 666
5 12 3 2 3 9 5 12 3 3 2 9 2 3 3 9 0 5 3 9


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