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1.6定积分基本定理15年1月17日


定积分基本定理

如果f ? x ? 是区间? a , b ? 上的连续函数, 并且F ? x ? ? f ? x ? , 则 牛顿—莱布尼兹公式
'

微积分基本定理

?F ? x ?叫做 f ? x ?的原函数, f ? x ?叫做 F? x ?的导函数 ?
牛顿-莱布尼茨公式沟通了导数与积分之间的关系. 求定积分问题转化为求原函数的问题.

? f ? x ?dx ? F ? b? ? F ? a ? 或? f ? x ?dx ? F ? x ? ? F ? b ? ? F ? a ?
b a b

a

b a

1.判一判 (1)微积分基本定理中,被积函数f(x)是原函数F(x)的导数. (2)应用微积分基本定理求定积分的值时,为了计算方便通 常取原函数的常数项为0. (3)应用微积分基本定理求定积分的值时,被积函数在积分 区间上必须是连续函数. 2.计算下列定积分
2 3 1 (1) ? dx        (2) ? 2 xdx 1 x 1 3 ? 1 (3) ? ( ? 2 )dx      (4) ? cosxdx 1 0 x

?1? ?0 ? ?3t
1

练习1:

2

3 2? ? ln 2 1? ? 2 ? ?1 ? x ? ?dx ? ____________ 2
? x?

1 ? 2 ?dt ? _________

? 3 ? ??1 ? 3 x
2

2

? 2 x ? 1?dx ? _________ 9
2

? 4 ? ?1 ? e
2

x

? 1?dx ? ____________ e ? e ?1

回顾:基本初等函数的导数公式
函数 f(x)

c x
0 nx

n

sin x cos x
x

a

x

e

x

loga x ln x

导函数 f′(x)

n ?1

cos x ? sin x a ln a

e

x

1 x ln a

1 x

新知:基本初等函数的原函数公式
被积 函数f(x)

c cx

x

n

sin x cos x

a

x
x

e e

x

1 x
ln | x |

一个原 函数F(x)

a 1 n ?1 x ? cos x sin x n ?1 ln a

x

定积分与其他函数知识综合举例

1、已知f ( x)是一次函数,其图象过点(3,4), 且

?

1

0

f ( x)dx ? 1, 求f ( x)的解析式

2、已知f (a) ? ? (2ax ? a x)dx, 求f (a)的最大值。
2 2 0

1

练一练:已知f(x)=ax? +bx+c,且f(-1)=2,f’(0)=0,

?

1

0

f ( x)dx ? ?2, 求a, b, c的值

例1

求 ? ( 2 cos x ? sin x ? 1)dx .
0
?
2

? 2

? 原式 ? (2sin x ? cos x ? x) |0 ? 3 ? . 2 2 ?2 x 0 ? x ? 1 f ( x )dx 例2 设 f ( x ) ? ? ,求 ? 0 1? x ? 2 ?5 .



?0

2

f ( x )dx ? ?0 f ( x )dx ? ?1 f ( x )dx

1

2

y

在[1,2]上规定当 x ? 1时, f ( x ) ? 5 ,

原式 ? ? 2 xdx ? ? 5dx ? 6.
0 1

1

2

o

1

2

x

【题型示范】
类型一 定积分求法 【典例1】 (1)(2014· 陕西高考)定积分 (2x+ex)dx的值 为( ) A.e+2 B.e+1 C.e D.e-1 (2)f(x)= 求 f(x)dx.



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