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河北省唐山一中2015届高三上学期期中考试数学理试题及答案


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唐山一中 2014—2015 学年度第一学期期中考试

高三年级数学试卷(理)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的) . 1.已知集合 A={x|y= 2 ? x }, B={y|y= 2 ? x },则 A∩B= ( A.? B.R C.(-∞,2 ] )

D.[0,2] )

2. “ a =2”是“ ?x ? (0, ??), ax ? A.充分不必要条件 C.充要条件

1 ? 1 ”的( 8x

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
10

3.已知 i 是虚数单位,(1+2i)z1=-1+3i,z2=1+ (1 ? i ) ,z1、z2 在复平面上对应的点分别为 A、B,O 为坐标原点,则 OA ? OB = ( A.33 B.-33 C.32 ) D.-32

4. 已知实数 x ??1,9? ,执行如右图所示的流程图, 则输出的 x 不小于 55 的概率为( A. ) D.

5 8

B.

3 8

C.

2 3

1 3

5.在各项均为正数的等比数列 {an } , 若

am?1 ? am?1 ? 2am (m ? 2) ,数列 {a } 的前 n 项积为 T ,若 n n

T2m?1 ? 512 ,则 m 的值为
A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知点 P 是△ABC 的内心(三个内角平分线交点) 、外心(三条边的中垂线交点) 、 重心(三条中线交点) 、垂心(三个高的交点)之一,且满足 2 AP · BC ? AC ? AB , 则点 P 一定是△ABC 的( ) A.内心 B.外心 7.对于函数 f(x)=x cos3(x+
3

2

2

C.重心

D.垂心

π ),下列说法正确的是 ( ) 6 π π π π A.f(x)是奇函数且在( ? , )上递减 B. f(x)是奇函数且在( ? , )上递增 6 6 6 6 π π C. f(x)是偶函数且在( 0, )上递减 D.f(x)是偶函数且在( 0, )上递增 6 6
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8.一个圆锥被过顶点的平面截去了较小的一部分几何体,余下的几何体的三视图(如图所示) ,则 余下部分的几何体的表面积为

3 3? ? 5 +1 2 3 3? ? 5 C. 3? ? 2
A. ? ?

3 2

B. ? ? 3 3? ? 2 5 +1 D. 3? ? 3 3? ? 2 5 两点,

3 2

9.若直线 y ? kx ? 1 与圆 x 2 ? y 2 ? kx ? my ? 4 ? 0 交于 M , N 且 M , N 关于直线 x ? y ? 0 对称,动点 P ?a, b ? 在不等式组
? kx ? y ? 2 ? 0 b?2 ? ? kx ? my ? 0 表示的平面区域内部及边界上运动,则 w ? a ? 1 ? ?y ? 0

的取值

范围是(

) B. (??,?2] C. [?2,2] D. (??,?2] ? [2,??)

A. [2,??)

10.已知P是抛物线 x2 ? 4 y 上的一个动点,则点P到直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 7 ? 0 和 l2 : y ? 2 ? 0 的距离 之和的最小值是( ) A.1 B.2 11.函数的 f ( x) ? 围是 3 A. a ? ? C.3 D.4

1 3 1 2 ax ? ax ? 2ax ? 2a ? 1 图像经过四个象限,则实数 a 的取值范 3 2
? 6 3 ?a?? C. 5 16
( )

16

B.

a??
b

6 D. 5
b a

?

6 3 ?a?? 5 16

12.已知 a ? b ,若函数 f ? x ? , g ? x ? 满足 ① f ? x ? ? 2 x , g ? x ? ? x ? 1; ③ f ? x? ? 1? x , g ? x? ?
2

?

a

f ? x ? dx ?? g ? x ? dx ,则称 f ? x ? , g ? x ? 为区间 ? a, b? 上

的一组“等积分”函数,给出四组函数: ② f ? x ? ? sin x, g ? x ? ? cos x ;

3 2 ?x ; 4

④函数 f ? x ? , g ? x ? 分别是定义在 ??1,1? 上的奇函数且积分值存在. 其中为区间 ??1,1? 上的“等积分”函数的组数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) . 13. 已知 ( x ? m)7 ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ?

? a7 x7 的展开式中 x 4 的系数是-35,
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则 a1 ? a2 ? a3 ?

? a7 =

.

14. 已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2, BC ? 2 AD , 直线 AD 与底面 BCD 所成 角为

? ,则此时三棱锥外接球的表面积为 3



15. 已知 F1 , F2 分别为双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点, P 为双曲线左支上的一点,若 a2 b2


PF2 PF1

2

? 8a ,则双曲线的离心率的取值范围是
b (a, b ? R) ,有下列五个命题 x

16. 已知函数 f ( x) ? ax ?

①不论 a, b 为什么值,函数 y ? f ( x) 的图象关于原点对称; ②若 a ? b ? 0 ,函数 f ( x) 的极小值是 2a ,极大值是 ?2a ; ③若 ab ? 0 ,则函数 y ? f ( x) 的图象上任意一点的切线都不可能经过原点; ④当 ab ? 0 时,函数 y ? f ( x) 图象上任意一点的切线与直线 y ? ax 及 y 轴所围成的三角形的面积是 定值.其中正确的命题是 _________ (填上你认为正确的所有命题的序号) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) . 17. (本小题满分 12 分) 在数列 {an } 中,已知 a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? n ? 1, n ? N .
*

(1)求证: {an ? n} 是等比数列; (2)令 bn ?

an , S n 为数列 {bn } 的前 n 项和,求 Sn 的表达式. 2n

18.(本题满分 12 分) 某市 A, B, C , D 四所中学报名参加某高校今年自主招生的学生人数如下表所示: 中学 人数

A 30

B 40

C 20

D 10

为了了解参加考试的学生的学习状况,该高校采用分层抽样的方法从报名参加考试的四所中学的学 生当中随机抽取 50 名参加问卷调查.
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(1)问 A, B, C , D 四所中学各抽取多少名学生? (2)从参加问卷调查的 50 名学生中随机抽取两名学生,求这两名学生来自同一所中学的概率; (3)在参加问卷调查的 50 名学生中,从来自 A, C 两所中学的学生当中随机抽取两名学生,用 ? 表 示抽得 A 中学的学生人数,求 ? 的分布列. 19. (本题满分 12 分) 在如图所示的几何体中, 四边形 ABCD 是等腰梯形,AB ∥ CD ,?ABC ? 600 ,AB ? 2CB ? 2 . 在 梯形 ACEF 中, EF ∥ AC ,且 AC =2EF , EC ⊥平面 ABCD . (1)求证: BC ? AF ; (2)若二面角 D ? AF ? C 为 45 ,求 CE 的长.
0

20. (本小题满分 12 分) 2 2 已知圆 C:(x-1) +(y-1) =2 经过椭圆 Γ ∶

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) (a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B. a2 b2

(1)求椭圆 Γ 的方程; (2)如图,过原点 O 的射线 l 与椭圆 Γ 在第一象限的交点为 Q,与 圆 C 的交点为 P,M 为 OP 的中点, 求 OM ? OQ 的最大值.

21. (本小题满分 12 分) 已知函数错误!未找到引用源。其中 e 是自然数的底数,错误!未找到引用源。. (1)当错误!未找到引用源。时,解不等式错误!未找到引用源。; (2)若错误!未找到引用源。上是单调增函数,求 a 的取值范围; (3)当 a ? 0 ,求使方程错误!未找到引用源。上有解的所有整数 k 的值. 22. (本小题满分 10 分) 在直角坐标系 xoy 中,直线 l 经过点 P ? ?1, 0 ? ,其倾斜角为 ? ,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴 为极轴,与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,建立极坐标系,设曲线 C 的极坐标方程为

? 2 ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 .
(1)若直线 l 与曲线 C 有公共点,求 a 的取值范围:
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(2)设 M ? x, y ? 为曲线 C 上任意一点,求 x ? y 的取值范围.

答案及解析:1-5 13.1 14. 8?

DAABB

6-10 BCADC 16. ①③④

11-12 DC

15. (1,3]

17.解:(Ⅰ)证明:由 a1 ? ?1, an?1 ? 2an ? n ? 1, n ? N 可得 an?1 ? (n ? 1) ? 2(an ? n), a1 ? 1 ? ?2 ? 0

*

所以数列 {an ? n} 以是-2 为首项,以 2 为公比的等比数列

(Ⅱ) 由(Ⅰ)得: an ? n ? ?2 ? 2

n?1

? ?2 ,所以 an ? n ? 2 ,
n
n

bn ?

n ?1 2n ? n )?n 2n

所以

Sn ? b1 ? b2 ?

1 2 ? bn ? ( ? 1) ? ( 2 ?1) ? 2 2 ? n 1 1 2 Tn ? 2 ? 3 ? n 2 ,则 2 2 2 ?

?(

n 1 2 ?1) ? ( ? 2 ? n 2 2 2

1 2 Tn ? ? 2 ? 2 2 令

n 2n?1 ,

1 1 1 1 Tn ? ? 2 ? 3 ? 2 2 2 两式相减得 2 Tn ? 2 ?

1 n 1 n ? n?1 ? 1 ? n ? n ?1 n 2 2 2 2 ,

所以

n?2 n?2 Sn ? 2 ? n ? n n 2 ,即 2

18.解: (1)由题意知,四所中学报名参加该高校今年自主招生的学生总人数为 100 名,

抽取的样本容量与总体个数的比值为 ∴应从

. . ????? 4 分

四所中学抽取的学生人数分别为

(2)设“从 50 名学生中随机抽取两名学生,这两名学生来自同一所中学”为事件 M , 从 50 名学生中随机抽取两名学生的取法共有 C50 ? 1225 种,? 5 分
2

来自同一所中学的取法共有 C15 ? C20 ? C10 ? C5 ? 350 . ????? 6 分
2 2 2 2

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∴ P(M ) ?

350 2 ? . 1225 7 2 . ? 7分 7

答:从 50 名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为

(3)由(1)知, 50 名学生中,来自 A, C 两所中学的学生人数分别为 15,10 . 依题意得, ? 的可能取值为 0,1, 2 , ???? 8 分

P(? ? 0) ?

2 1 1 2 C10 C15 C10 C15 3 1 7 , , .?? 11 分 ? P ( ? ? 1) ? ? P ( ? ? 2) ? ? 2 2 2 C25 20 C25 2 C25 20

∴ ? 的分布列为: ?

12 分

19.

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20.

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21(Ⅰ)∵e >0,∴当 f(x)>0 时即 ax +x>0, 又∵a<0,∴原不等式可化为 x(x+
2 x

x

2

1 1 )<0,∴f(x)>0 的解集为(0,- ); a a
x 2 x 2 x

(Ⅱ)∵f(x)=(ax +x)e ,∴f,(x)=(2ax+1)e +(ax +x)e =[ax +(2a+1)x+1]e , ①当 a=0 时,f,(x)=(x+1)e ,∵f,(x)≥0 在[-1,1]上恒成立,当且仅当 x=-1 时取“=”, ∴a=0 满足条件; ②当 a≠0 时,令 g(x)=ax +(2a+1)x+1, ∵△=(2a+1) -4a=4a +1>0, ∴g(x)=0 有两个不等的实根 x1、x2, 不妨设 x1>x2,因此 f(x)有极大值和极小值; 若 a>0,∵g(-1)?g(0)=-a<0,∴f(x)在(-1,1)内有极值点,∴f(x)在[-1,1]上不单 调;
·9 ·
2 2 2 x

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若 a<0,则 x1>0>x2,∵g(x)的图象开口向下,要使 f(x)在[-1,1]单调递增,由 g(0)=1> 0, ∴?

? g (1) ? 0 ?3a ? 2 ? 0 2 2 即? ,∴- ≤a≤0;综上可知,a 的取值范围是[- ,0]; 3 3 ? g (?1) ? 0 ? ?a ? 0
x

(Ⅲ)当 a=0 时,方程 f(x)=x+2 为 xe =x+2, ∵e >0,∴x=0 不是原方程的解, ∴原方程可化为 e 令 h(x)=e x x x

2 -1=0; x

2 x 2 -1,∵h,(x)=e + >0 在 x∈(-∞0)∪(0+∞)时恒成立, x x
2

∴h(x)在(-∞,0)和(0,+∞)上是单调增函数;又 h(1)=e-3<0,h(2)=e -2>0, h(-3)=e
-3

1 -2 <0,h(-2)=e >0, 3

∴方程 f(x)=x+2 有且只有两个实根,且分别在区间[1,2]和[-3,-2]上, 所以,整数 k 的所有值为{-3,1}. 22.解析:(I)将曲线 C 的极坐标方程 ? ? 6 ? cos ? ? 5 ? 0 化为直角坐标方程为 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0
2 2 2

直线 l 的参数方程为 ?

? x ? ?1 ? t cos ? ? x ? ?1 ? t cos ? 2 2 t为参数 ? 将 ? 代入 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 整理 ? ? y ? t sin ? ? y ? t sin ?
直线 l 与曲线 C 有公共点,

得 t 2 ? 8t cos ? ? 12 ? 0

?? ? 64 cos 2 ? ? 48 ? 0 ? cos ? ?

3 3 或 cos ? ? ? 2 2

? [0, ? ) ?? 的取值范围是

? ? ? ? 5? ? 0, ? ? ? ,? ? ? ? 6? ? 6 ?
(II)曲线 C 的方程 x ? y ? 6 x ? 5 ? 0 可化为 ? x ? 3? ? y ? 4 其参数方程为
2 2
2 2

? x ? 3 ? 2 cos ? ?? 为参数 ? ? ? y ? 2sin ?

M ? x, y ? 为曲线上任意一点,

?? ? 3 ? 2 2,3 ? 2 2 ? ? x ? y ? 3 ? 2 cos ? ? 2sin ? ? 3 ? 2sin ? ? ? ? ? x ? y 的取值范围是 ? ? ? 4 ? ?
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