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高一数学《反函数、幂函数》知识点


高一数学《反函数、幂函数》知识点 高一数学《反函数、幂函数》知识点 1 反函数的定义 设函数=f(x)的定义域是 A,值域是.我们从式子=f(x)中解出 x 得到 式子 x=φ().如果对于在中的任何一个值,通过式子 x=φ(),x 在 A 中 都有唯一的值和它对应,那么式子 x=φ()叫函数=f(x)的反函数,记作 x=f-1(),习惯表示为=f-1(x).注意:函数=f(x)的定义域和值域,分别 是反函数=f-1(x)的值域和定义域, 例如:f(x)的定义域是[-1,+∞],值域是[0,+∞) ,它的反函数定义 域为[0,+∞) ,值域是[-1,+∞)。 2.反函数存在的条 按照函数定义,=f(x)定义域中的每一个元素 x,都唯一地对应着值 域中的元素, 如果值域中的每一个元素也有定义域中的唯一的一个元 素 x 和它相对应,即定义域中的元素 x 和值域中的元素,通过对应法 则=f(x)存在着一一对应关系, 那么函数=f(x)存在反函数, 否则不存在 反函数.例如:函数=x2,x∈R,定义域中的元素± 1,都对应着值域中 的同一个元素 1,所以,没有反函数.而=x2, x≥1 表示定义域到值域 的一一对应,因而存在反函数. 3.函数与数称为幂函数。 定义域和值域: 当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同情况如下:如果 a 为 任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0, 不过这时函数的定义域还必须根[据 q 的奇偶性确定, 即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定义域为不等于 0 的所有 实数。当 x 为不同的数值时,幂函数的值域的不同情况如下:在 x 大 于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的么我们就可以知道: 排除了为 0 与负数两种可能, 即对于 x>0, 则 a 可以是任意实数; 排除了为 0 这种可能,即对于 x<0 和 x>0 的所有实数,q 不能 是偶数; 排除了为负数这种可能,即对于 x 为大于且等于 0 的所有实数,a 就不能是负数。 总结起,就可以得到当 a 为不同的数值时,幂函数的定义域的不同 情况如下: 如果 a 为任意实数,则函数的定义域为大于 0 的所有实数; 如果 a 为负数,则 x 肯定不能为 0,不过这时函数的定义域还必须 根据 q 的奇偶性确定,即如果同时 q 为偶数,则 x 不能小于 0,这时 函数的定义域为大于 0 的所有实数;如果同时 q 为奇数,则函数的定 义域为不等于 0 的所有实数。 在 x 大于 0 时,函数的值域总是大于 0 的实数。 在 x 小于 0 时,则只有同时 q 为奇数,函数的值域为非零的实数。 而只有 a 为正数,0 才进入函数的值域。 由于 x 大于 0 是对 a 的任意取值都有意义的,因此下面给出幂函数 在第一象限的各自情况 可以看到: (1)所有的图形都通过(1,1)这点。 (2)当 a 大于 0 时,幂函数为单调递增的,而 a 小于 0 时,幂函数为 单调递减函数。 (3)当 a 大于 1 时,幂函数图形下凹;当 a 小于 1 大于 0 时,幂函数 图形上凸。 (4)当 a 小于 0 时,a 越小,图形倾斜程度越大。 ()a 大于 0,函数过(0,0);a 小于 0,函数不过(0,0)点。 (6)显然幂函数无界。 1 幂函数解析式的右端是个幂的形式


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