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重庆一中高2014级13-14学年(下)第一次月考——数学理


秘密★启用前

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 试 题 卷(理科)2014.3
特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题
给分。

一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只
有 一项是符合题目要求的)

(1)已知复数 z ? (A) i

2i ( i 是虚数单位),则复数 z 的虚部为( 1? i (B)1 (C) ?i (D) ?1



(2)已知条件 p : ? 是两条直线的夹角,条件 q : ? 是第一象限的角。则“条件 p ”是“条件 q ” 的( ) (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 甲组 2 乙组 9 4 4 11 12 13 6 5 4 6

(A)充分而不必要条件 (C)充要条件

(3)(原创)以下茎叶图记录了甲、乙两组各 6 名学生在一 次数学测试中的成绩(单位:分)。已知甲组数据的众数为 124,乙组数据的平均数即为甲组数据的中位数,则 x 、 y 的 值分别为( (A)4、5 (C)4、4 ) (B)5、4 (D)5、5

x
7

y

8

(4)(原创)已知实数 x, y 满足 x ? 4 y ? 1 ,则 xy 的值域为( (A) ? 0,



? 1? ? ? 16 ?

(B) ? ?

? 1 1? , ? 16 16 ? ?

(C) ? ??, )

? ?

1? ? 16 ?

(D) ? ??, ? 8

? ?

1? ?

(5)某几何体的三视图如右图所示,则它的表面积为( (A) 45? (B) 54? (C) 63? (D) 69?

(6)已知一个四面体的一条棱长为 6 ,其余棱长均为 2,则这个四面体的 体积为( (A)1 ) (B)

4 3

(C) 2 2

(D)3

( 7 )已知函数 f ? x? ? x3 ? 3 x ? c 的图像与 x 轴恰好有三个不同的公共点,则实数 c 的取值范围是 ( ) (B) ??1,1? (C) ? ?2, 2 ? (D) ? ?2, 2? )

(A) ? ?1,1?

(8)执行如右图所示的程序框图,则输出的 s 的值等于( (A)13 (B)15 (C)36 (D)49 (9) tan 800 ? 4 cos100 ?

?

?

3 ? sin 700 ?( 2 ? cos 2 100
(C) 2 3



(A) 3

(B)2

(D)4

(10)(原创)已知 D, E, F 分别是 ?ABC 的三边 BC , CA, AB 上的点,且 满足 AF ?

2 3 AB , AE ? AC , 3 4

? ? AB AC AD ? ? ? ? ? ? ? ? R ? , DE ? DA ? DE ? DC , ? | AB | cos B | AC | cos C ? ? BD sin B AD cos B ? DF ? ? ? ? ? ? ? ? R ? 。则 | EF |:| BC |? ( | AD | ? ? | BD |
(A) )

1 3

(B)

1 2

(C)

3 3

(D)

2 2

二.填空题(本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案写在答题卡相应位
置上) (11)正项等比数列 ?an ? 中, a12 a13 ? 9 ,则 log9 a1 ? log9 a2 ? ( 12 ) 已 知 集 合 A ?

? log9 a24 ?

。 , 则 集 合 x |? ?2

?

x ? |R 2 x ? 2

x ? 3

, ? ?0

集 合 B ? ? x ? |R|

A B?



(13)(原创)小钟和小薛相约周末去爬尖刀山,他们约定周日早上 8 点至 9 点之间(假定他们在这 一时间段内任一时刻等可能的到达)在华岩寺正大门前集中前往,则他们中先到者等待的时间不超过 15 分钟的概率是 (用数字作答)。

特别提醒:(14)、(15)、(16)三题为选做题,请从中任选两题
作答,若三题全做,则按前两题给分。 (14) (原创)如图,在 ?ABC 中, AB ? 3 , BC ? 4 ,CA ? 5 , D 是 BC 的中点,BE ? AC 于 E ,BE 的延长线交 ?DEC 的外接圆于 F , 则 EF 的 长为 。 (15)在直角坐标系 xOy 中,以 O 为极点, x 轴非负半轴为极轴建立极坐 标系。已知点 P ? ?1,0? ,若极坐标方程为 ? ? 6cos ? ? 6sin ? ?

9

?

的曲线与

直线 ?

? x ? ?1 ? 4t ( t 为参数)相交于 A 、 B 两点,则 | PA | ? | PB |? ? y ? ?3t



(16)若关于实数 x 的不等式 |1 ? 5x | ? |1 ? 3x |? a | x | 无解,则实数 a 的取值范围是



三.解答题(本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤)
x 2 (17) (本小题满分 13 分, ⑴小问 6 分, ⑵小问 7 分) 设 f ? x ? ? e ax ? 7 x ? 13 , 其中 a ? R ,

?

?

曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线与直线 l : ⑴确定 a 的值;⑵求函数 f ? x ? 2ex ? y ? e ? 0 平行。 的单调区间。

?

?

(18) (本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分) (原创)小张有 4 张 VCD 光盘和 3 张 DVD 光盘,小王有 2 张 VCD 光盘和 1 张 DVD 光盘,所有 10 张光盘都各不相同。现小张和小王各拿一张光 盘互相交换,求:⑴ 小张恰有 4 张 VCD 光盘的概率;⑵ 小张的 DVD 光盘张数 X 的分布列与期望。

(19)(本小题满分 13 分,⑴小问 5 分,⑵小问 8 分)(原创)如图, 在四面体 A ? BCD 中, AD ? 平面 BCD , BC ? CD , CD ? 2 , AD ? 4 。

A

M 是 AD 的中点, P 是 BM 的中点,点 Q 在线段 AC 上,且 AQ ? 3QC 。⑴
证明 : PQ // 平面 BCD ;⑵若异面直线 PQ 与 CD 所成的角为 45 ,二面角
0

M P B Q C D

C ? BM ? D 的大小为 ? ,求 cos ? 的值。

(20)(本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分)(原创)在 ?ABC 中,内角 A 、 B 、 C 的 对边分别是

A ? a 、 b 、 c , 且 b s i nB? a s i n

?

c ?

?3a

s i。 C n ⑴求角 B 的大小;⑵设

b2 ? 4b cos ? A ? C ? ? 4 ? 0 ,求 ?ABC 的面积 S 。

y
(21)(本小题满分 12 分,⑴小问 5 分,⑵小问 7 分)(原创)如

D B

x2 y 2 图所示,椭圆 ? : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,椭 a b
圆 ? 上的点到 F1 , F2 的距离之差的最大值为 2,且其离心率 e 是方程

F1 C A

O

F2

x

4 x 2 ? 8x ? 3 ? 0 的根。⑴求椭圆 ? 的方程;⑵过左焦点 F1 的直线 l 与椭
圆 ? 相交于 A, B 两点,与圆 x2 ? y 2 ? a 2 相交于 C , D 两点,求 最小值,以及取得最小值时直线 l 的方程。

| AB | 的 | CD |

(22)(本小题满分 12 分,⑴小问 3 分,⑵小问 4 分,⑶小问 5 分)(原创)在数列 ?an ? 中, 已知 a1 ? 1 , a2 ? 3 ,其前 n 项和 Sn 满足 S n ?

n ? a1 ? an ? ? n ? N ? ? 。⑴求 a3 , a4 , a5 的值;⑵求 an 的 2

表达式;⑶对于任意的正整数 n ? 2 ,求证: a1a2

an ? ? 2n ? 1?

n ?1 2



命题人:薛廷兵 审题人:梁 波

2014 年重庆一中高 2014 级高三下期第一次月考

数 学 答 案(理科)2014.3
一.选择题:BDACB ACDCD 二.填空题:11.12;12. ?x | ?1 ? x ? 2? ;13.

7 14 ;14. ;15.2;16. ? ??,8? 16 15

x 2 x x 2 17 . 解 : ⑴ 由 题 f ? ? x ? ? e ax ? 7 x ? 13 ? e ? 2ax ? 7 ? ? e ? ? ax ? ? 2a ? 7 ? x ? 6 ? ? ,故

?

?

f ? ?1? ? e ? ? 1。因直线 l 的斜率为 2e ,故 e ? 3a ?1? ? 2e ,从而 a ? 1 ; ? 3a
x 2 x ⑵ f ? ? x ? ? e x ? 5 x ? 6 ? e ? x ? 2 ?? x ? 3? ,由 f ? ? x ? ? 0 得 x ? 2 或 x ? 3 ,由 f ? ? x ? ? 0 得

?

?

2 ? x ? 3 。故 f ? x ? 的单增区间为 ? ??,2? 和 ?3, ??? ,单减区间为 ? 2,3? 。
18.解:⑴记事件 A 为“小张和小王各拿一张 VCD 光盘交换”,事件 B 为“小张和小王各拿一 张 DCD 光 盘交 换 ”,则 A, B 互 斥 ,且 P ? A ? ?

4?2 8 3 ?1 3 ? ? , P ? B? ? , 故 所 求概 率 为 7 ? 3 21 7 ? 3 21
X
P
2 3 4

P ? A B ? ? P ? A? ? P ? B ? ?

11 ; 21

3? 2 2 ? , ⑵ X 所有可能取值为 2,3, 4 ,且 P ? X ? 2 ? ? 7 ?3 7 4 ? 2 ? 3 ?1 11 4 ?1 4 P ? X ? 3? ? ? ,P ? X ? 4 ? ? ? 。 故 X 的分布列如右表, 7 ?3 21 7 ? 3 21 2 11 4 61 X 的期望 EX ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 。 7 21 21 21 19.法一:⑴如图,连 AP 并延长交 BD 于 E ,连 CE , 过 M 作 MN // BD 交 AP 于 N ,则 AN ? NE , NP ? PE 。
故 AP ? 3PE , 从而 PQ // CE 。因 PQ ? 平面 BCD ,CE ?

2 7

11 21

4 21

A

N
平面 BCD ,故 PQ // 平面 BCD ; ⑵过 C 作 CF ? BD 于 F ,作 CR ? BM 于 R ,连 FR 。 因 AD ? 平面 BCD , 故平面 ABD ? 平面 BCD , 故 CF ? 平 ABD BM BM ? CF ? RCF 面 ,因此 ,从而 平面 ,所以 ?CRF ? ? 即 为 二 面 角 C ? BM ? D 的 平 面 角 。 因

M

R B F

P Q E C D

PQ // CE ,故 ?DCE ? 45 ,因此 CE 即为 ?BCD 的角平分
0

线。由⑴易知 DE ? 2MN ? 2 EB ,故 DC ? 2 BC ,从而 BC ? 1 , CF ?

1? 2 12 ? 22

?

2 。由题易知 5

BC ? 平 面 A C D, 故 BC ? CM 。 由 题 CM ? 2 2 , 故 CR ?

1? 2 2 2 2 。所以 ? 3 1? 8

z

A

sin ? ?

CF ? CR

3 1 10 ,从而 cos ? ? 。 ? 10 10 10
P y Q B C

M

法二:如图建立空间直角坐标系,则 C ? 0,0,0? , D ? 2,0,0? ,

x D

A? 2,0,4? , M ? 2,0, 2? , Q ?1 2,0,1? 。

⑴设 B ? 0, y,0? ,则 P ?1, y 2,1? ,因此 QP ? ?1 2, y 2,0 ? 。显然 DA ? ? 0,0, 4 ? 是平面 BCD 的 一个法向量,且 QP ? DA ? 0 ,所以 PQ // 平面 BCD ;

1 y2 QP ? CD ⑵由⑴ QP ? CD ? 1 , | QP |? , | CD |? 2 ,故由 cos 450 ? 得 y ? 1 ,因此 ? 4 4 | QP || CD |

B ? 0,1,0? ,从而 BD ? ? 2, ?1,0 ? , BM ? ? 2, ?1, 2 ? 。设 m ? ? x1 , y1 , z1 ? 是平面 BMD 的法向量,则
?2 x1 ? y1 ? 0 ,取 x1 ? 1 得 m ? ?1, 2,0 ? 。设 n ? ? x2 , y2 , z2 ? 是平面 BMC 的法向量,则 ? ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0 ? y1 ? 0 m?n 10 ,取 x1 ? 1 得 n ? ?1, 0, ?1? 。故 cos ? ?| 。 |? ? 10 | m || n | ?2 x1 ? y1 ? 2 z1 ? 0
2 2 2 20.解:⑴由正弦定理可得 b ? a ? c ? 3a c ,即 3ac ? a ? c ? b ,故由余弦定理得
2 2

?

?

cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 3 0 ,因此 B ? 30 ; ? 2ac 2
2 2 ? A ? C ? ?16 ? ?16sin2 ? A ? C ? ? 0 , 故 s i n ? A ? C? ?

⑵ 因 ? ? 16cos

,得 A?C ,且 0

b?
S?

4 c o ?sA ? C ? ?2 2

。 故

2 22 ? a2 ? a 2

2

2 c , o 0s得 3 a0 ?

4 ? 8? 2? 3

4

3 故 ,

1 2 a sin 300 ? 2 ? 3 。 2
21 . 解 : ⑴ 设 P 是 椭 圆 ? 上 任 意 一 点 , 则 | PF ,故 c ?1 。解方程 | |F | 2c 1 | ? | PF 2 ? 1 F 2 ?

4 x 2 ? 8x ? 3? 0 得x?

1 3 1 c 2 或 x ? 。因 0 ? e ? 1 ,故 ? e ? ,因此 a ? 2 ,从而 b ? 3 。所以椭圆 2 2 2 a

? 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

3 a2 ? c ? 3 ,设 ?OF1B ? ? ? 0 ? ? ? ? ? ,则 | F1 B |? ⑵法一:焦准距 p ? , 2 ? cos ? c

| F1 A |?

3 12 ,故 | AB |? 。易知 | CD |? 2 22 ? sin 2 ? ? 2 3 ? cos2 ? ,故 2 2 ? cos ? 4 ? cos ?

| AB |2 1 36 | AB |2 36 2 。令 ,则 。令 ? ? t ? 4 ? cos ? ??3,4? ? 2 2 2 2 2 2 | CD | 3 ? cos ? ? 4 ? cos ? ? | CD | t ? 7 ? t ?

f ?t ? ? t 2 ? 7 ? t ? ,则 f ? ?t ? ? ?3t 2 ?14t ? t ?14 ? 3t ? ? 0 ,故 f ? t ? 在 ?3, 4? 单调递增,从而

f ?t ? ? f ? 4? ? 48 ,得

? | AB |2 36 3 | AB | 3 ,当且仅当 t ? 4 即 ? ? 时取等号。所以 ? ? ? ? 2 2 | CD | 48 4 | CD | 2

3 | AB | 的最小值为 ,取得最小值直线 l 的方程为 x ? ?1 。 2 | CD |
法二:当 l ? x 轴时易知 | AB |? 3 , | CD |? 2 3 ,有

| AB | 3 。当 l 与 x 轴不垂直时,设 l : ? | CD | 2

y ? k ? x ? 1? ,代入
| AB | ? ?1 ? k
2 2

x2 y 2 ? ? 1 并整理得 ? 4k 2 ? 3? x 2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ? 12 ? 0 ,故 4 3
2 2 ?? ?8k 2 ?2 4k 2 ? 12 ? ? 12k 2 ? 12 ? ? ?1 ? k ? ?? 2 ??? ? ? 4? 2 ? 。圆心 O 到 l 的距离 2 4 k ? 3 4 k ? 3 4 k ? 3 ? ? ? ? ?? ? ? 2

?? x ? x ?
1 2

d?

|k| k 2 ?1

,故 | CD |2 ? 4 ? 4 ?

? ?

| AB |2 k 2 ? 12k 2 ? 16 2 t ? k ? 1 ,令 ,则 ? ? ? | CD |2 k 2 ?1 ? k 2 ?1
。令 s ?

36t 3

? 4t ? 1? ? 3t ? 1?
2

?

36 1 ?1? ?1? ? ? ? 5 ? ? ? 8 ? ? 48 t ?t ? ?t ?
3 2

1 3 2 ,且 f ? s ? ? s ? 5s ? 8s ? 48 ,则 t

f ? ? s ? ? 3s2 ?10s ? 8 ? ?3s ? 2?? s ? 4? 。因 t ? 1 ,故 s ? ? 0,1? ,因此 f ? ? s ? ? 0 ,从而
3 | AB |2 36 3 | AB | 3 | AB | 。综上知 的最小值为 ,取得最小 ? ? ? ? f ? s ? ? f ? 0? ? 48 ,可知 2 2 | CD | | CD | 48 4 | CD | 2
值直线 l 的方程为 x ? ?1 。 22.解:⑴依次令 n ? 3, 4,5 可得 a3 ? 5 , a4 ? 7 , a5 ? 9 ; ⑵法一:由⑴猜想 an ? 2n ? 1,下面用数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;②假设

n ? k ? k ? N , k ? 2? 时结论成立,即 ak ? 2k ? 1 ,则 ak ?1 ? Sk ?1 ? Sk ? k ? 1 ?1 ? ak ?1 ?
2

?

k ? 2k ? 1? k 1 k ?1 ak ?1 ? ? ? k ? 1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ? 1 ? ak ?1 ? 2k ? 1 ,故当 n ? k ? 1 ?1 ? ak ? ? ? 2 2 2 2

时结论成立。综上知结论成立。

法二:猜想 an ? 2n ? 1,下面用第二数学归纳法证明:①当 n ? 1, 2 时结论显然成立;②假设

n ? k ? k ? N , k ? 2? 时结论成立,即 am ? 2m ? 1? m ? k , m ? N ? ? ,则 k ? 1 ?1 ? ak ?1 ? ?
2

Sk ?1 ? 1? 3 ?

? ? 2k ?1? ? ak ?1 ? k 2 ? ak ?1 ? ? k ?1? ak ?1 ? 2k 2 ? k ?1 ? ak ?1 ? 2k ?1,故当

n ? k ? 1 时结论成立。综上知结论成立。 n ?1 n 法三:由题 an ?1 ? S n ?1 ? S n ? ?1 ? an?1 ? ? ?1 ? an ? ? nan ? ? n ? 1? an?1 ? 1 ,当 n ? 2 时, 2 2
n ?1 an a a ? n?1 ? 1 1 ? 1 1 1 ? a ? n?1 ? ? ? ,故 ? ? i ? i ?1 ? ? ? ? ? ? ,因此 i ? i ?2 ? i ? 1 i ? n ?1 n n ? n ? 1? n ? 1 n i ?2 ? i ? 1

a2 ?

an 1 ? 1? ? an ? 2n ? 1? n ? 2 ? 。又 a1 ? 1 ,故 an ? 2n ? 1。 n ?1 n ?1

⑶法一:由⑵知 ?an ? 为等差数列,故 a1 ? an?1 ? a2 ? an ?

? an ? a2 ? an?1 ? a1 。由

? x ? y? xy ?
4

2

? x ? y? ?
4

2

知 x ? y 一定时,要使 xy 最小,则 | x ? y | 最大。显然 | a1 ? an?1 |?

| ak ? an?2?k | ? 2 ? k ? n? ,故 ? a1a2
a1a2 an?1 ? ? a1an?1 ?
k 法二:因为 Cn ?
n ?1 2

an ?1 ? ? ? a1an ?1 ?? a2 an ?
2

? an?1a1 ? ? ? a1an?1 ?
n ?1 2

n ?1

,因此

? ? 2n ? 1?
k

n ?1 2

,从而 a1a2

an ? ? 2n ? 1?
k



? 2 ? n ? n ? 1? ? n ? k ? 1? ? 1 ? ? ? ? ? ? 1? k ? N ,1 ? k ? n ? ,所以 k! ? 2n ? 1 ? ?n?
k

n n n ?1 2 ? 2 ? ? k ? 1 ? ? ? ? ? Cn ? ? ? n ? 1 ? 2n ? 1,故 ? 2n ? 3? ? ? 2n ? 1? ,因此 2n ? 1 ? ? 2n ? 1 ? k ?0 ? 2n ? 1 ?

n

? 2n ? 3 ? 2 ? 2n ? 1?
n ?1 2

n

,从而

? ? 2i ? 1? ? ?
i ?1 i ?1

n ?1

n ?1

? 2i ? 3? 2 ? 2i ? 1?
i ?1 2

i

? ? 2n ? 1?

n ?1 2 ,即

a1a2

an ? ? 2n ? 1?

n ?1 2



法三:①当 n ? 2 时不等式显然成立;②假设 n ? k ? k ? 2? 时不等式成立,即
k ?1 2

a1a2

ak ? ? 2k ? 1?

,则如“法二”可证 ak ?1 ? 2k ? 1 ?

? 2k ? 3 ? 2 ? 2k ? 1?
k ?1 2

k

,故 a1a2

ak ?1 ?

? 2k ? 1?

k ?1 2

?

? 2k ? 3 ? 2 ? 2k ? 1?
k ?1 2

k

? ? 2k ? 3? 2 ,即当 n ? k ? 1 时不等式成立。综上得证。

k


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