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浙江省嘉兴市第一中学等五校2015届高三上学期第一次联考数学(理)试题word版含答案


浙江省嘉兴市第一中学等五校 2015 届高三上学期 数学试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.已知全集为 R ,集合 A ? x 2 ? 1 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A
x 2

?

?

?

?

CR B ? (



(A) x x ? 0

?

?

(B) x 2 ? x ? 4

?

?

(C) x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

?

(D) x 0 ? x ? 2或x ? 4 ) (D) 6 ) (D) 5 )

?

?

2.在等差数列 ?an ? 中, a4 ? 2 ? a3 ,则此数列 ?an ? 的前 6 项和为( (A) 12 (B) 3 (C) 36 3.已知函数 y ? f ( x) ? x 是偶函数,且 f (2) ? 1 ,则 f (?2) ? ( (A) ?1 (A)充要条件 (C)必要不充分条件 5.函数 f ? x ? ? cos ? ? x ? (B) 1 (C) ?5 (B)充分不必要条件 (D)既不充分也不必要条件

4.已知直线 l , m ,平面 ? , ? 满足 l ? ? , m ? ? ,则“ l ? m ”是“ ? / / ? ”的(

? ?

??

? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? ,为了得到 f ? x ? 的图象,只 3?

需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ? (A)向左平移 (C)向左平移

? ?

??

? 的图象( 3?



?

?

2

个单位长度 个单位长度

(B)向右平移 (D)向右平移

?

?

2 4

个单位长度 个单位长度

4

-1-

7. 如图, 在正四棱锥 S ? ABCD 中,E , M , N 分别是 BC , CD, SC 的中点, 动点 P 在线段 MN 上运动时, 下列四个结论: ① EP ? AC ; ② EP / / BD ; ③ EP // 面SBD ; ④ EP ? 面SAC . 中 恒成立的为( (A)①③ ) (B)③④ (C)①② (D)②③④

8.已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ?1 ?

an 1 (n ? N ? ) .若 bn ?1 ? (n ? 2? ) ? ( ? 1) an ? 2 an


(n ? N ? ) , b1 ? ?? ,且数列 ?bn ? 是单调递增数列,则实数 ? 的取值范围是(

(A) ?

?

2 3

(B) ?

?

3 2

(C) ?

?

2 3

(D) ?

?

3 2

9.定义 max{a, b} ? ?

? ? a, a ? b ?x ?2 ,设实数 x, y 满足约束条件 ? ,则 ?b, a ? b ? ?y ?2
) (C) [?6,8] ( D )

z ? max{4 x ? y,3 x ? y} 的取值范围是(
(A) [?8,10] (B) [?7,10]

[?7,8]

10.已知函数 f ( x) ? ? 数不可能 为( ... (A) 5 个 )

? log 5 (1 ? x) 2 ??( x ? 2) ? 2
(B) 6 个

( x ? 1) 1 ,则关于 x 的方程 f ( x ? ? 2) ? a 的实根个 x ( x ? 1)
(C) 7 个 (D) 8 个

-2-

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题: 本大题共 7 小题, 每小题 4 分, 共 28 分. 11.函数 f ( x) ?

1 的定义域为_____▲ ____. log 2 ( x ? 2)

12.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2 , BC ? 2 AD ? 2 2 ,则直线 AD 与底面 BCD 所成角为_____▲ ____. 13.已知 cos(? ?

?
4

)?

3 ? 3? , ?? ? ,则 cos 2? ? _____▲ ____. 5 2 2

14.定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 3) ? ? f ( x) ,且 f (1) ? 2 ,则 ____. f (2013) ? f (2015) ? _____▲ 15.设 a1 ,a2 , ??? ,an , ??? 是按先后顺序排列的一列向量,若 a1 ? (?2014,13) , 且 an ? an ?1 ? (1,1) ,则其中模最小的一个向量的序号 n ? ___▲ ____. 16.设向量 a ? (? ? 2, ? 2 ? 3 cos 2? ) , b = (m, 若 a ? 2b ,则

?

m ? sin ? cos ? ) ,其中 ? , m, ? 为实数. 2

m 17.若实数 a, b, c 满足 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 1 ,则 3ab ? 3bc ? 2c 2 的最大值为____▲ ____.
三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分)在 ? ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 ?B ? 30 ,

的取值范围为_____▲ ____.

? ABC 的面积为 .
(Ⅰ)当 a, b, c 成等差数列时,求 b ; (Ⅱ)求 AC 边上的中线 BD 的最小值.

3 2

-3-

19. (本题满分 14 分)四棱锥 P ? ABCD 如图放置, AB / / CD, BC ? CD , AB ? BC ? 2 ,

CD ? PD ? 1 , ? PAB 为等边三角形.
(Ⅰ)证明: PD ? 面PAB ; (Ⅱ)求二面角 P ? CB ? A 的平面角的余弦值.

20.本题满分 15 分)已知函数 f ( x) ? x ? 2 x x ? a ,其中 a ? R .
2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若不等式 4 ? f ( x) ? 16 在 x ? [1, 2] 上恒成立,求 a 的取值范围.

21. (本题满分 15 分)已知数列 (Ⅰ)求数列 (Ⅱ)设 bn

?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? n .

?an ? 的通项公式;
an 1 n ,记数列 ?bn ? 的前 n 和为 Tn ,证明: ? ? Tn ? ? 0 . 3 2 an ?1

?

22. (本题满分 14 分)给定函数 f ( x) 和常数 a, b ,若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 (a, b) 为函数 f ( x) 的一个“好数对” ;若 f (2 x) ? af ( x) ? b 恒成立,则称 (a, b) 为函数 f ( x) 的一个 “类好数对” .已知函数 f ( x) 的定义域为 [1, ??) . (Ⅰ)若 (1,1) 是函数 f ( x) 的一个“好数对” ,且 f (1) ? 3 ,求 f (16) ; (Ⅱ)若 (2, 0) 是函数 f ( x) 的一个“好数对” ,且当 1 ? x ? 2 时, f ( x) ? 函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; (Ⅲ) 若 (2, ?2) 是函数 f ( x) 的一个 “类好数对” ,f (1) ? 3 , 且函数 f ( x) 单调递增, 比较 f ( x) 与

2 x ? x 2 ,求证:

x ? 2 的大小,并说明理由. 2

-4-

2014 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题 的主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分.

(19)解法 1: (Ⅰ)易知在梯形 ABCD 中, AD = 5 ,而 PD ? 1,AP ? 2 ,则 PD ? PA 同理 PD ? PB ,故 PD ? 面PAB ;????6 分 (Ⅱ)取 AB 中点 M ,连 PM , DM , 作 PN ? DM ,垂足为 N ,再作 NH ? BC ,连 HN 。

D N P
-5-

C

H B

A

M

易得 AB ? 面DPM ,则 面ABCD ? 面DPM 于是 PN ? 面ABCD , BC ? 面NPH 即 ?NHP 二面角 P ? CB ? 在 ?NHP 中, PN ?

A 的平面角。

2 7 3 7 , ,PH ? , NH ? 1, ∴ cos ?NHP = 2 2 7 2 7 ????14 分 7

故二面角 A ? PB ? C 的平面角的余弦值为

? ?( x ? a ) 2 ? a 2 ? (20)解: (Ⅰ) f ( x) ? ? a 2 a2 3( x ? ) ? ? 3 3 ?

( x ? a) ( x ? a)
2

当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, a ) 和 (a, ??) 上均递增,∵ f (a ) ? a ,则 f ( x) 在 R 上递增 当 a ? 0 时, f ( x) 在 (??, a ) 和 ( , ??) 上递增,在在 (a, ) 上递减 ????6 分

a 3

a 3

-6-

(Ⅱ)由题意只需 f min ( x) ? 4, f max ( x) ? 16 首先,由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 x ? [1, 2] 上恒递增 则 f min ( x) ? f (1) ? 1 ? 2 1 ? a ? 4 ,解得 a ? ? 其次,当 a ? 当a ? ?

1 5 或a ? 2 2

5 5 时, f ( x) 在 R 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 4a ? 4 ? 16 ,解得 ? a ? 5 2 2

1 1 时, f ( x) 在 [1, 2] 上递增,故 f max ( x) ? f (2) ? 12 ? 4a ? 16 ,解得 ?1 ? a ? ? 2 2 1 5 综上: ?1 ? a ? ? 或 ? a ? 5 ????15 分 2 2

(22)解: (Ⅰ)由题意, f (2 x) ? f ( x) ? 1 ,且 f (1) ? 3 ,则 f (2 ) ? f (2
n

n ?1

) ?1

则数列 f (2n ) 成等差数列,公差为 d ? 1 ,首项 f (1) ? 3 ,于是 f (16) ? 7 ????4 分

?

?

-7-

(Ⅱ)当 2n ? x ? 2n ?1 时, 1 ?

x ? 2 ,则由题意得 2n

x x f ( x) ? 2 f ( ) ? 22 f ( 2 )= 2 2
由 f ( x) ? x ? 0 得, 2
n ?1

=2 n f (

x 2x x ) ? 2 n n ? ( n ) 2 ? 2 n ?1 x ? x 2 n 2 2 2

x ? x 2 ? x ,解得 x ? 0 或 x ? 2n 均不符合条件

即当 2n ? x ? 2n ?1 时,函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; 注意到 (1, ??) ? (1, 2]

(2, 22 ]

(2n , 2 n ?1 ]

故函数 y ? f ( x) ? x 在区间 (1, ??) 上无零点; ????9 分

-8-



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