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0402概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结:四、三角函数2


(3) 周期性: y ? sin x 、y ? cos x 的最小正周期都是 2 ? ; f ( x) ? A sin(? x ? ? ) ① ②

?x 2? 。 如 (1) 若 f ( x ) ? sin ,则 3 |? | f (1)? f ( 2 ? f ( 3) ? f ( 2 0=___ ) ? ? 0 3)(答: ; 0) (2) 函数 f ( x) ? cos4 x ?2sin x cos x ? ? ? sin 4 x 的最小正周期为____(答: ? ) ;(3) 设函数 f ( x) ? 2 sin( x ? ) ,若对任意 2 5 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 | x1 ? x2 | 的最小值为____(答:2) ( 4 ) 奇 偶 性 与 对 称 性 : 正 弦 函 数 y ? sin x( x ? R) 是 奇 函 数 , 对 称 中 心 是 ? 对称轴是直线 x ? k? ? ? k ? Z ? ; 余弦函数 y ? cos x( x ? R) 是偶函数, ? k? ,0?? k ? Z ? , 2 ? ? ? 对称中心是 ? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,对称轴是直线 x ? k? ? k ? Z ? (正(余)弦型函数的对称 2 ? ? 轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线,对称中心为图象与 x 轴的交点) 。如(1)函 ? 5? ? 数 y ? sin ? ? 2 x ? 的 奇 偶 性 是 ______ ( 答 : 偶 函 数 );( 2 ) 已 知 函 数 ? 2 ? 3 ,且 f ( 5 ) ? 7 ,则 f( ?5) ? ______(答:-5)(3) ; f ( x ) ? ax ? b sin x ? 1( a,b 为常数) x x x 函 数 y ? 2 c o s ( s i n ? c o s ) 的 图 象 的 对 称 中 心 和 对 称 轴 分 别 是 __________ 、 k? ? k? ? ? ,1 )( k ? Z ) 、 x ? ? ( k ? Z ) );( 4 ) 已 知 ____________ ( 答 : ( 2 8 2 8 ? (答: ? ? k? ? ( k ? Z ) ) f ( x?) s i? ?( ? 3 ) n x ? ? o为偶函数,求 ? 的值。 c s( x ) 6 ? ?? ? ( 5 ) 单 调 性 : y ? sin x在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? Z ? 上 单 调 递 增 , 在 2 2? ? ? 3? ? ? ? 2k? ? 2 , 2k? ? 2 ? ? k ? Z ? 单调递减; y ? cos x 在 ?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? Z ? 上单调递 ? ? 减,在 ?2k? ? ? ,2k? ? 2? ? ? k ? Z ? 上单调递增。特别提醒,别忘了 k ? Z !
和 f ( x) ? A cos(? x ? ? ) 的 最 小 正 周 期 都 是 T ? 16、形如 y ? A sin(? x ? ? ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f ?

1 ―频率(周期的倒数) ? x ? ? ―相位; ? ― ; T
Y 2 3 2? 9 X

初相; (2) 函数 y ? A sin(? x ? ? ) 表达式的确定: 由最值确定;? A 由 周 期 确 定 ; ? 由 图 象 上 的 特 殊 点 确 定 , 如

f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0 ,| ? |?

?
2

) 的图象如图所示,则

-2 15 ? 23题 图 f ( x) =_____(答: f ( x) ? 2sin( x ? ) ) ; 2 3 (3)函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的画法:①“五点法”――设 X ? ? x ? ? ,令 X =

6

0,

?
2

,? ,

3? , 2? 求出相应的 x 值,计算得出五点的坐标,描点后得出图象;②图象变换 2

法:这是作函数简图常用方法。 (4)函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? k 的图象与 y ? sin x 图象间的关系:①函数 y ? sin x 的图象纵坐标不变,横坐标向左( ? >0)或向右( ? <0)平移 | ? | 个单位得 y ? sin ? x ? ? ? 的图象;②函数 y ? sin? x ? ? ? 图象的纵坐标不变,横坐标变为原来的

1

y ? sin ?? x ? ? ? 的图象;③函数 y ? sin ?? x ? ? ? 图象的横坐标不变,纵坐标变为原来的 A 倍,得到函数 y ? A sin(? x ? ? ) 的图象;④函数 y ? A sin(? x ? ? ) 图象的横坐标不变, 纵坐标向上( k ? 0 )或向下( k ? 0 ) ,得到 y ? Asin ??x ? ? ? ? k 的图象。要特别注意, ? 若由 y ? sin ?? x ? 得到 y ? sin ?? x ? ? ? 的图象,则向左或向右平移应平移 | | 个单位, ? ? 如 (1) 函数 y ? 2sin(2 x ? ) ?1 的图象经过怎样的变换才能得到 y ? sin x 的图象? (答: 4 ? ? ? y ? 2sin(2 x ? ) ? 1 向上平移 1 个单位得 y ? 2sin(2 x ? ) 的图象,再向左平移 个单 4 4 8 位得 y ? 2sin 2 x 的图象,横坐标扩大到原来的 2 倍得 y ? 2sin x 的图象,最后将纵坐标 1 x ? 缩小到原来的 即得 y ? sin x 的图象) ;(2) 要得到函数 y ? cos( ? ) 的图象,只需把 2 2 4 x ? 7? 函数 y ? sin 的图象向___平移____个单位 (答: 左; ) 3) ; 将函数 y ? 2sin(2 x ? ( ) ?1 2 3 2 ?
图像,按向量 a 平移后得到的函数图像关于原点对称,这样的向量是否唯一?若唯一,求 ? ? ? 出 a ;若不唯一,求出模最小的向量(答:存在但不唯一,模最小的向量 a ? (? , ?1) ) ; (4)若函数 f ? x ? ? cos x ? sin x x ? ? 0, 2? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有四个不同的 交点,则 k 的取值范围是 (答: [1, 2) ) (5)研究函数 y ? A sin(? x ? ? ) 性质的方法:类比于研究 y ? sin x 的性质,只需将

?

,得到函数

?

?

6

y ? A sin(? x ? ? ) 中的 ? x ? ? 看成 y ? sin x 中的 x , 但在求 y ? A sin(? x ? ? ) 的单调区 ? 间时, 要特别注意 A 和 ? 的符号, 通过诱导公式先将 ? 化正。 (1) 如 函数 y ? sin( ?2x ? ) 3 5 ? x ? ]( k ? Z ) )(2) y ? log 1 cos( ? ) 的 的递减区间是______(答:[ k? ? ? ,k? ? ; 12 12 3 4 2 3 3? ]( k ? Z ) );( 3 ) 设 函 数 递 减 区 间 是 _______ ( 答 : [ 6k? ? ? , 6k? ? 4 4
f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,?

?

2

?? ?

?

2

) 的图象关于直线 x ?

1 ? ,则 A、 f ( x)的图象过点 (0, ) 2

B、 f ( x ) 在区间 [

5? 2? , ] 上是减函数 12 3

2? 对称,它的周期是 3

C、
7

f ( x)的图象的一个对称中心 是(

5? ,0) 12

D、 f ( x ) 的最大值是 A(答:C)(4)对于函数 ;

?? ? f ? x ? ? 2sin ? 2 x ? ? 给出下列结论:①图象关于原点成中心对称;②图象关于直线 3? ? ? ? x ? 成轴对称;③图象可由函数 y ? 2sin 2 x 的图像向左平移 个单位得到;④图像向 12 3 ? 左平移 个单位, 即得到函数 y ? 2cos 2 x 的图像。 其中正确结论是_______ (答: ②④) ; 12 (5)已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) 图象与直线 y ? 1 的交点中,距离最近两点间的距离 ? 为 ,那么此函数的周期是_______(答: ? ) 3 17、正切函数 y ? tan x 的图象和性质: ? (1)定义域: {x | x ? ? k? , k ? Z } 。遇到有关正切函数问题时,你注意到正切函 2
数的定义域了吗? (2)值域是 R,在上面定义域上无最大值也无最小值; (3)周期性:是周期函数且周期是 ? ,它与直线 y ? a 的两个相邻交点之间的距离是 一个周期 ? 。绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来,某一周期函数解析式加 绝对值或平方,其周期性是:弦减半、切不变.既为周期函数又是偶函数的函数自变量加 绝对值,其周期性不变,其它不定。 如 y ? sin 2 x, y ? sin x 的周期都是 ? , 但 y ? sin x

? cos x 的周期为
期不变;

? i( , y ?|2sn3 而 2

x) ?

?

1 ,? |2sn3? | y( i 6 2

) x ? 2| 6

?

?

,y ?| tan x | 的周

? k? ? , 0 ? ? k ? Z ? ,特别提醒:正(余) ? 2 ? 切型函数的对称中心有两类:一类是图象与 x 轴的交点,另一类是渐近线与 x 轴的交点,
(4)奇偶性与对称性:是奇函数,对称中心是 ? 但无对称轴,这是与正弦、余弦函数的不同之处。 (5)单调性:正切函数在开区间 ? ?

? ? ? ? ? k? , ? k? ? ? k ? Z ? 内都是增函数。但要注 2 ? 2 ?

意在整个定义域上不具有单调性。如下图:

y ? A sin(? x ? y=Asin(ωx+φ) ? ) y
O

三角函数图象几何性质
x

三角函数图象几何性质 y=Atan(ωx+φ)? ) y ? A tan(? x ? y
O x

x3

x4
邻中心轴相距

x3
x=x1 T
4

x4 x=x1 x=x2

x=x2
邻中心|x3-x4|= T/2 无穷对称中心: 由y=0或 y无意义确定

邻中心|x3-x4|=T/2
无穷对称中心: 由y=0确定

邻轴|x1-x2|=T/2
无穷对称轴:

由y=A或-A确定

邻渐近线|x1-x2|=T 无对称轴 任意一条y轴的垂线与正切 函数图象都相交,且相邻两 8 交点的距离为一个周期!

18. 三角形中的有关公式: (1)内角和定理:三角形三角和为 ? ,这是三角形中三角函数问题的特殊性,解题可 不能忘记!任意两角和与第三个角总互补,任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角 三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任两角和都是钝角 ? 任意两边 的平方和大于第三边的平方.

b ? c ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径).注意: ①正弦 sin B sin C a b ,sin B ? ,sin C 定理的一些变式: ? i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2R 2R c ? ;?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;②已知三角形两边一对角,求解三 2R sin A ?
角形时,若运用正弦定理,则务必注意可能有两解. (3)余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A,cos A ? b ? c ? a 等,常选用余弦定理鉴
2 2 2

(2)正弦定理: a

2bc

定三角形的形状.

2 2 2 2 2 2 2 如 ? ABC 中,若 sin A cos B ? cos A sin B ? sin C ,判断 ? ABC 的形状(答:直
2

(4)面积公式: ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) (其中 r 为三角形内切圆半径) . S

角三角形) 。 特别提醒: (1)求解三角形中的问题时,一定要注意 A ? B ? C ? ? 这个特殊性:

A? B C ? cos ; (2)求解三角形中含有边角混合 2 2 关系的问题时,常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化。如(1) ?ABC 中,A、B 的 ? 对边分别是 a、b ,且 A=60 , a ? 6 , b ? 4 ,那么满足条件的 ?ABC A、 有一个解 B、 有两个解 C、 无解 D、 不能确定 (答: ; 在 ?ABC 中, C) (2) A>B 是 sin A ? sin B 成立的_____条件 (答: 充要) ; 在 ?ABC 中, ( 1 ? tan A )( 1 ? tan B ) ? 2 , o n2 (3) 则 l sC gi 1 = _____ ( 答 : ? ) (4) 在 ?ABC 中 , a , b , c分 别 是 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 , 若 ; 2 ( a ? b ? c )(sin A ? sin B ? sinC ) ? 3a sin B ,则 ?C =____(答: 60? )(5)在 ?ABC ; A ? B ? ? ? C ,sin( A ? B) ? sin C ,sin

a 2 ? b2 ? c2 ? 30? ; 在 中, 若其面积 S ? , ?C =____ 答: ) 6) ?ABC 中,A ? 60 , b ? 1 , 则 ( ( 4 3 2 39 这个三角形的面积为 3 , ?ABC 外接圆的直径是_______ 则 (答: ) ; (7) 在△ABC 3 1 2 B?C 2 2 中,a、b、c 是角 A、B、C 的对边, a ? 3, cos A ? , 则 cos = , b ? c 的最 3 2 1 9 大值为 (答: ; ) (8)在△ABC 中 AB=1,BC=2,则角 C 的取值范围是 ; 3 2 ? ? (答: 0 ? C ? ) (9)设 O 是锐角三角形 ABC 的外心,若 ?C ? 75 ,且 ; 6
9

?AOB, ?BOC, ?COA 的面积满足关系式 S?AOB ? S?BOC ? 3S?COA ,求 ? A (答: 45? ) . 19.反三角函数: (1)反三角函数的定义(以反正弦函数为例) arcsin a 表示一个角, : ? ? ?? 这个角的正弦值为 a ,且这个角在 ? ? , ? 内 (?1 ? a ? 1) 。(2)反正弦 arcsin x 、反余弦 ? 2 2?
2 2 2 2 在用反三角表示两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的平面角、直线 的倾斜角、 1 到 l 2 的角、 1 与 l 2 的夹角以及两向量的夹角时, 你是否注意到了它们的范围? l l

arccos x 、反正切 arctan x 的取值范围分别是 [? ? , ? ], [0, ? ], (? ? , ? ) .

(0, ],[0, ],[0, ?] , ?0, ? ? , [0, ? ),[0, ),[0, ? ] . 2 2 2
20、求角的方法:先确定角的范围,再求出关于此角的某一个三角函数(要注意选择, 其标准有二:一是此三角函数在角的范围内具有单调性;二是根据条件易求出此三角函数
2 值) 如 。 (1) ? , ? ? (0, ? ) , tan ? 、tan ? 是方程 x ? 5x ? 6 ? 0 的两根, 若 且 则求 ? ? ?

?

?

?

的值______ (答:

= _______ ( 答 :

? ) ( 3 ) 若 0 ? ? ? ? ? ? ? 2? 且 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0 , ; 3 2? cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0 ,求 ? ? ? 的值(答: ).
3

3? ) ; (2)?ABC 中,3sin A ? 4cos B ? 6, 4sin B ? 3cos A ? 1, ?C 则 4

10


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