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2016年深圳市高三年级一模数学(文科)试题


绝密★启用前

试卷类型:A

2016 年深圳市高三年级第一次调研考试

数 学(文科)
本试卷共 8 页,24 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项:

2016.2

1.答卷前,考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名 和考生号, 并将条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区, 请保持条形码整洁、 不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答案涂在答题卷相应的位置上. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔和 涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回.

第 Ⅰ卷
一、 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. (1)已知集合 A ? ??1,0,1? , B ? y y ? x ? x, x ? A ,则 A ? B =
2

?

?

(A) ?0?

(B) ?2?

(C) ?0,1?

(D) ??1, 0?

(2)若平面向量 a ? (m,1) , b ? (2,1) ,且 (a ? 2b) // b ,则 m = (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

(3)设 i 为虚数单位,已知 z1 ? (A) z1 ? z2

1? i 1 3 , z2 ? ? ? i ,则 z1 , z2 的大小关系是 1? i 2 2
(C) z1 ? z2 (D)无法比较
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(B) z1 ? z2

深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题

(4)研究人员随机调查统计了某地 1000 名“上班族” 每天在工作之余使用手机上网的 时间,并将其绘制为如图所示的频率分布直方图.若同一组数据用该区间的中点值 作代表,则可估计该地“上班族”每天在工作之余使用手机上网的平均时间是 (A) 1.78 小时
0.20

频率 组距

(B) 2.24 小时 (C) 3.56 小时 (D) 4.32 小时
0.12 0.10 0.08

0

2

4

6

8 时间(小时)

(5)已知函数 f ( x) ? cos2 x ? sin 2 x ,下列说法错误 的是 .. (A) f ( x) 的最小正周期为 π (B) x ?

π 是 f ( x) 的一条对称轴 2

(C) f ( x) 在 (?

π π , ) 上单调递增 4 4

(D) f ( x) 的值域是 [0,1]

?2 x ? y ? 2 ? 0, ? (6) 直线 y ? k ( x ? 1)( k ? R ) 与不等式组 ?2 x ? y ? 2 ? 0, 表示的平面区域有公共点, ? x ? 0. ?
则 k 的取值范围是 (A) [?2, 2] (C) [? , ] (B) (??, ?2] ? [2, ??) (D) (??, ? ] ? [ , ??)

1 1 2 2

1 2

1 2

深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题

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(7)如图,网格纸上小正方形的边长为1 ,粗线画出 的是某几何体的三视图,则在该几何体中,最长 的棱的长度是 (A) 4 2 (C) 6 (B) 2 5 (D) 4 3

(8)函数 f ( x) ? x cos x 在 [?π, π] 的大致图象为 y y



O

π

x

π


O

x

(A) y


(B) y O
π

x x


O

π

x

(C) (9)已知 ?

(D)

π π 2 ,则 ? 的值为 ? ? ? ,且 sin ? ? cos ? ? 2 2 2

(A) ?

π 12

(B)

π 12

(C) ?

5π 12

(D)

5π 12

(10) 已知 A ,B ,C 是球面上三点, 且 AB ? 6 ,BC ? 8 ,AC ? 10 , 球心 O 到平面 ABC 的距离等于该球半径的

1 ,则此球的表面积为 2

深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题

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(A)

100 π 3
2

(B)

200 π 3

(C)

400 π 3

(D)

400 π 9

(11)过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F ,且倾斜角为

π 的直线与抛物线交于 A , B 两 4

点,若弦 AB 的垂直平分线经过点 (0,2) ,则 p 等于

(A)

2 5

(B)

2 3

(C)

4 5

(D)

4 3

(12)已知 a ? 0 ,若函数 f ( x) ? ?

2 ? ?4a ? ln x ? x , x ? 0, 且 g ( x) ? f ( x) ? 2a 至少 有三个 .. 3 2 x ? 3 a x ? 4, x ? 0. ? ?

零点,则 a 的取值范围是 (A) ( ,1]

1 2

(B) (1, 2]

(C) (1, ??)

(D) [1, ??)

第 Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生 都必须作答。第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)下列四个函数中:① y ? ? x ; ② y ? log2 ( x ? 1) ;③ y ? ? 在 (0, ??) 上为减函数的是
1 1 ;④ y ? ( ) x ?1 . x ?1 2

.(填上所有正确选项的序号)

(14)甲、乙、丙、丁四支足球队举行“贺岁杯”足球友谊赛,每支球队都要与其它三支 球队进行比赛,且比赛要分出胜负.若甲、乙、丙队的比赛成绩分别是两胜一负、 全败、一胜两负,则丁队的比赛成绩是 .

(15)公元 263 年左右,我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时,多边 形面积可无限逼近圆的面积,并创立了“割圆术”.利用“割圆术”刘徽得到了圆 周率精确到小数点后两位的近似值 3.14,这就是著名的“徽率”.如图是利用刘徽 的“割圆术”思想设计的一个程序框图,则输出 n 的值为 .(参考数据:

sin15? ? 0.2588 , sin 7.5? ? 0.1305 )
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开始
n?6

1 360? S ? ? n ? sin 2 n

n ? 2? n

S ? 3.10
是 输出i n k 结束



(16)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 △ABC 的顶点 B(?5, 0) 和 C (5, 0) ,顶点 A 在双曲

线

sin C ? sin B x2 y 2 ? ? ? 1 的右支上,则 sin A 9 16



三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 (17) (本小题满分12分) 已知等差数列 ?an ?满足 a1 ? a3 ? 8 , a2 ? a4 ? 12 . (Ⅰ)求数列 ?an ?的前 n 项和为 S n ; (Ⅱ)若

1 1 1 999 ,求 n 的值. ? ?? ? ? S1 S2 Sn 1000

(18) (本小题满分12分) 某房地产公司新建小区有 A、B 两种户型住宅,其中 A 户型住宅每套面积为 100 平方 米,B 户型住宅每套面积为 80 平方米.该公司准备从两种户型住宅中各拿出 12 套销售给 内部员工,下表是这 24 套住宅每平方米的销售价格: (单位:万元/平方米) :
深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题 第5页 共8页

房号 A 户型 B 户型

1 2.6 3.6

2 2.7 3.7

3 2.8 3.7

4 2.8 3.9

5 2.9 3.8.

6 3.2 3.9

7 2.9 4.2

8 3.1 4.1

9 3.4 4.1

10 3.3 4.2

11 3.4 4.3

12 3.5 4.5

(Ⅰ)根据上表数据,完成下列茎叶图,并分别求出 A,B 两类户型住宅每平方米销 售价格的中位数; A 户型 B 户型

2. 3. 4.
(Ⅱ)该公司决定对上述 24 套住房通过抽签方式销售,购房者根据自己的需求只能 在其中一种户型中通过抽签方式随机获取房号 ,每位购房者只有一次抽签机会. .. 小明是第一位抽签的员工,经测算其购买能力最多为 320 万元,抽签后所抽得住房价 格在其购买能力范围内则确定购买,否则,将放弃此次购房资格.为了使其购房成功的概 率更大,他应该选择哪一种户型抽签?

(19) (本小题满分12分)

AB ? 如图, 在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,
(Ⅰ)求证: AB1 ? BC ; (Ⅱ)若 AB ? AC , AB1 ? BB1 ,且 该三棱柱的体积为 2 6 ,求 AB 的长.

?B1BC ? 60? . AC , 且侧面 BB1C1C 是菱形,
C1
A1 B1

C

A

B

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(20) (本小题满分12分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 E 的中心在原点,经过点 A(0,1) ,其左、右焦点分别 为 F1 、 F2 ,且 AF1 ? AF2 ? 0 . (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; ( Ⅱ ) 过 点 (? 3, 0) 的 直 线 l 与 椭 圆 E 有 且 只 有 一 个 公 共 点 P , 且 与 圆

???? ???? ?

O : x2 ? y 2 ? r 2 (r ? 0) 相切于点 Q ,求 r 的值及 ?OPQ 的面积.
(21) (本小题满分12分) 已知函数 f ( x) ? e ? ax ? b ( a , b ? R , e 是自然对数的底数)在点 (0,1) 处的切
x

线与 x 轴平行. (Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若对一切 x ? R ,关于 x 的不等式 f ( x) ? (m ? 1) x ? n 恒成立,求 m ? n 的最 大值. 请考生在第(22)、(23)、(24)三题中任选一题做答。 注意:只能做所选定的 题目。如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后 的方框涂黑. (22)(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,在直角 ?ABC 中, AB ? BC , D 为 BC 边上异于 B 、 C 的一点,以 AB 为 直径作⊙ O ,并分别交 AC , AD 于点 E , F . (Ⅰ)证明: C , E , F , D 四点共圆; (Ⅱ)若 D 为 BC 的中点,且 AF ? 3 ,

A

FD ? 1 ,求 AE 的长.
O?

E

F
B
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D
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C

(23)(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

C2 : ( x ? 3) ? ( y ?1) ? 4 , 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知三圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 4 ,
2 2

? ? x ? 3 ? 2 cos ? , ( ? 为参数)有一公共点 P(0, 2) . C3 : ? y ? 1 ? 2sin ? . ? ?
(Ⅰ)分别求 C1 与 C2 , C1 与 C3 异于点 P 的公共点 M 、 N 的直角坐标; (Ⅱ)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求经过三点 O 、M 、N 的圆 C 的极坐标方程.

(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 3| ( a ? R ). (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? x ? 8 的解集; (Ⅱ)若函数 f ( x) 的最小值为 5 ,求 a 的值.

深圳市 2016 年高三年级第一次调研考试数学(文科)试题

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