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三角恒等变换4套测试题及三角函数1套考试卷(全部含有详细答案)


《三角恒等变换 1》
一、选择题 1. sin105? cos105? 的值为 A. ( B.- ) D.-

1 4

1 4

C.

3 4

3 4


2. 函数 f ( x) ? cos 2 x ? A.

1 2

的周期为 B.

( C. 2? D. ? ( D. (

? 4

3. 已知 tan(? ? ? ) ? A.

2 ? ? 1 , tan( ? ? ) ? ,则 tan(? ? ) 等于 5 4 4 4
B.

? 2



1 6
?
? cot

13 22

C.

3 22

13 18


4. 化简 1 ? cos 2?
tan 2

?
2

,其结果是

A. ? sin 2?

1 2

B. 1 sin 2? 2

C. ?2sin ?

D. 2sin 2? ( )

5. 2 1 ? sin 8 ? 2 ? 2cos8 等于

A.2sin 4 ? 4 cos 4
6. sin

B. ? 2sin 4 ? 4 cos 4

C. ? 2sin 4

D.4 cos 4 ? 2sin 4
( )

?
12

? 3 cos

?
12

的值为

A.0

B. ? 2

C.2

D. 2

3 4

7. 已知 ? 为第三象限角, sin ? ? ?

24 ,则 tan ? ? 25 2
C. 3 4



A.

4 3

B. ?

4 3

D. ?

8. 若 sin ?? ? ? ? ?

tan ? 1 1 为 ,sin ?? ? ? ? ? ,则 tan ? 2 3





A.5

B. ? 1

C.6

D.


1 6


9. 已知锐角 ?、? 满足 sin ? ?
A. 3? 4

B.

?
4



5 3 10 ,则 ? ? ? 等于 , cos ? ? 5 10 3? ?
C. 4 4

D.2k? ?

3? 4

?k ? Z?

10. 下列函数 f(x)与 g(x)中,不能表示同一函数的是 A. f ( x) ? sin 2 x g ( x) 2 s ix n c o s ? x B. f ( x) ? cos 2 x C. f ( x) ? 2cos 2 x ? 1 D. f ( x) ? tan 2 x





g ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x
g ( x) ? ? 1 22 s ix n

g ( x) ?

2 tan x 1 ? tan 2 x

二、填空题 11. 已知 cos ? =

3 ? ? 3? ? ,且 ? ? ? )=____. , 2? ? ,则 cos( ? ? 5 3 ? 2 ?
1 2
,则 sin ? ? cos ? ? ____.
3 3
?

12. 已知 sin ? ? cos ? ?

13. tan 20? ? tan 40? ? 3 tan 20 tan 40? 的值是 14. ? ABC 中, sin A ?

. .

3 5 , cos B ? ,则 cosC = 5 13

三、解答题 15. 求函数 f ( x) ? 2cos x ? 3sin x 在 ? ?
2

? ? ?? 上的最值. , ? 2 2? ?

16. 已知 ? , ? 为锐角, tan ? ?

10 1 , sin ? ? ,求 ? ? 2? . 10 7

sin 2 B . 5 ? cos 2 B 5 2 18. 已知函数 f ( x) ? 5sin x cos x ? 5 3 cos x ? ,求: 3 (其中 x ?R ) 2
17. 已知 2tan A ? 3tan B ,求证: tan( A ? B) ?

( 1函数 f ( x) 的最小正周期; )
(2) 函数 f ( x) 的单调区间;

(3) 函数 f ( x) 图象的对称轴和对称中心.

《三角恒等变换 1》答案
一、选择题 题号 答案 二、填空题 11.
3? 4 3 10

1 B

2 D

3 C

4 A

5 C

6 B

7 B

8 A

9 C

10 D

12.

11 16

13.

3

14.

16 65

三、解答题 15. ymax=
25 , 8

ymin=-3

16.

? 4

17. 略

18. (1) ?

? 5? ? 5? 11? ? ? ? (2)增区间: ? k? ? , k? ? ? ,减区间: ?k? ? , k? ? ,其中 k ? Z 12 12 ? 12 12 ? ? ? ? k? 5? ? k? ? ? (3)对称轴方程: x ? ? , 0 ? ,其中 k ? Z ? , 对称中心: ? 2 12 ? 2 6 ?

《三角恒等变换 2》
一.选择题 1.已知 cos? ? A.
5 2 13

12 3? ? , ? ? ( ,2? ) ,则 cos(? ? ) ? 13 2 4





B.

7 2 13

C.

17 2 26

D.

7 2 26

2.若均 ? , ? 为锐角, sin? ?
2 5 5 2 5 25

2 5 3 , sin(? ? ? ) ? , 则cos? ? ( 5 5



A. 3. (cos

B.

C.

2 5 2 5 或 5 25

D. ?

2 5 5

?
12

? sin
? 3 2

?
12

)(cos

?
12 ?

? sin

?
12

) ?( 1 2


3 2

A.

B.

1 2

C.

D.

4. tan70 ? tan50 ? 3tan70 tan50 ? (
0 0 0 0



A.

3

B.

3 3

C.

?

3 3

D.

? 3

5.

2sin2? cos2? ? ?( 1 ? cos2 cos2 ? ?
A.



tan?

B.

tan2 ?

C. 1 D.

1 2


6.已知 x 为第三象限角,化简 1 ? cos 2 x ? ( A.

2 sin x

B. ? 2 sin x

C.

2 cos x

D. ?

2 cos x


7. 已知等腰三角形顶角的余弦值等于

4 ,则这个三角形底角的正弦值为( 5
C.

A.

10 10

B. ?

10 10

3 10 10

D. ?

3 10 10

8. 若 3 sin x ? 3 cos x ? 2 3 sin(x ? ? ), ? ? (?? .? ) ,则 ? ? (



5? ? 5? C. D. ? 6 6 6 1 9. 已知 sin ? ? cos ? ? ,则 sin 2? ? ( ) 3 1 1 8 A. ? B. ? C. 2 2 9
A.

?

? 6

B.

D.

8 9

10. 已知 cos 2? ?

2 4 4 ,则 cos ? ? sin ? 的值为( 3
B.



A. ? 11. 求 cos

2 3

2 3

C.

4 9

D.1

2? 3? 4? 5? ) cos cos cos ?( 11 11 11 11 11 1 1 A. B. C. 1 D. 0 5 2 24 x x 12. 函数 y ? sin ? 3 cos 的图像的一条对称轴方程是 2 2 5? 5? 11 A. x ? ? B. x ? C. x ? ? 3 3 3 cos

?





D. x ? ?

?
3

二.填空题 13.已知 ? , ? 为锐角, cos? ?
1 10 , cos? ? 1 5 , 则? ? ?的值为


2 14. ?ABC 中, 在 已知 tanA ,tanB 是方程 3x ? 7 x ? 2 ? 0 的两个实根, tan C ? 则



15.若 sin

?

3 ? 4 ? , cos ? ? ,则角 ? 的终边在 2 5 2 5


象限.

16.代数式 sin15o cos 75o ? cos15o sin105o ? 三.解答题

3 5 17. (12 分)△ ABC 中,已知 cosA ? , cosB ? , 求sinC的值 . 5 13 ? 3? 12 3 18. (12 分)已知 ? ? ? ? ? , cos(? ? ? ) ? , sin(? ? ? ) ? ? , 求sin2? . 2 4 13 5

) 15 4 的值. ,求 4 sin 2? ? cos 2? ? 1 ? 1 1 20. (12 分)已知 ? ? (0, ), ? ? (0, ? ), 且 tan(? ? ? ) ? , tan ? ? ? , 4 2 7

sin(? ?

?

19. (12 分)已知 α 为第二象限角,且 sinα=

求 tan(2? ? ? ) 的值及角 2? ? ? . 21. (12 分)已知函数 f ( x) ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? 1 , x ? R . (1)求证 f (x) 的小正周期和最值; (2)求这个函数的单调递增区间. 22. (14 分) 已知 A、B、C 是 ?ABC 三内角,向量 m ? (?1, 3),
? n ? (cos A,sin A), 且 m.n=1
??

(1)求角 A; (2)若
1 ? sin 2 B ? ?3, 求tanC . cos 2 B ? sin 2 B

《三角恒等变换 2》答案
一、选择题

1 C

2 B

3 D

4 D

5 B

6 A

7 B

8 B

9 C

10 C

11 A

12 B

二、填空题 13、

3? 4

14、 ?

3 2

15、第四 16、

3

三、解答题

3 4 17 .解 : 在?ABC中, cos A ? ,? sin A ? 5 5 5 12 3 又由sin B ? , 可得 cos B ? ? 1 ? sin 2 B ? ? ,? sin A ? ? A ? 60 0 13 13 2 12 12 若 cos B ? ? ,? B ? 120 0 , 这时A ? B ? 180 0 不合题意舍去, 故 cos B ? , 13 13 4 12 3 5 63 ? sin C ? sin(A ? B ) ? sin A cos B ? cos A sin B ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65

19 .解 : ?

?
2

?? ? ? ?

?0 ? ? ? ? ?

?

3? 4

4 5 4 ? sin(? ? ? ) ? , cos( ? ? ) ? ? ? 13 5 ? sin 2? ? sin[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? sin(? ? ? ) cos( ? ? ) ? cos( ? ? ) sin(? ? ? ) ? ? 3 12 4 5 56 ? ? ? ? (? ) ? ? ? 5 13 5 13 65
1 ? cos 2 x 2 1 ? cos 2 x 2 ) ?( ) sin x cos x sin x ? cos x 2 2 20 .证明 : 左边 ? ? ? ? 1 2 cos2 x sin 2 x sin 2 x cos2 x sin 2 x 4 1 ? cos 4 x 2( 2 ? 2 ? ) 2 ? 2 cos2 2 x 2(3 ? cos 4 x) 2 ? ? ? ? 右边 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 1 ? cos 4 x 2
2 2 4 4

,? ? ? ? ? ?

3? 2

(

1 ? 21 .解 : tan ? ? ? ? ? ? ? ? ? 7 2 ?0 ? ? ?

?
4

? ?? ? 2? ? ? ? 0 tan(2? ? 2 ? ) ? tan ? 1 ? tan(2? ? 2 ? ) tan ?

? tan(2? ? ? ) ? tan[(2? ? 2 ? ) ? ? ] ? 4 1 ? 3 7 ?1 ? 4 1 1? ? 3 7 3? ? 2? ? ? ? ? 4

22.解: (1) y ? cos x ? 3 sin x cos x ? 1
2

?

cos 2 x ? 1 3 sin 2 x 1 3 1 ? ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? ? 1 2 2 2 2 2

? sin

?
6

cos 2 x ? cos

?
6

sin 2 x ?

3 ? 3 ? sin(2 x ? ) ? 2 6 2

(2)因为函数 y ? sin x 的单调递增区间为 ? ? 由(1)知 y ? sin(2 x ?

? ? ? ? ? 2 k? , ? 2 k? ? ( k ? Z ) , 2 ? 2 ?

?
6

)?

??

?
3

? k? ? x ?

?

3 ? ? ? ,故 ? ? 2k? ? 2 x ? ? ? 2k? (k ? Z ) 2 2 6 2 ? k? (k ? Z )

故函数 y ? sin(2 x ?

?
6

)?

3 ? ? 的单调递增区间为 [? ? k? , ? k? ](k ? Z ) 2 3 6

6

《三角恒等变换 3》
一、选择题 π 1 1.cos2 - 的值为 8 2 A.1 π π 2.tan -cot 等于 8 8 A.-2 B.-1 C.2 D.0 θ 3 θ 4 3.若 sin = ,cos =- ,则 θ 在 2 5 2 5 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 5π π 5π π 4.cos2 +cos2 +cos cos 的值等于 12 12 12 12 A. 6 2 B. 3 2 C. 5 4 D.1+ 3 4 B. 1 2 C. 2 2 D. 2 4

3π 3π 4 α 5.已知 π<α< ,且 sin( +α)= ,则 tan 等于 2 2 5 2 A.3 B.2 C.-2 D.-3

6.若 tanθ+cotθ=m,则 sin2θ 等于 A. 1 m B. 2 m C.2m D. 1 m2

7.下面式子中不正确的是 π π π 6 A.cos(- )=cos cos + 12 4 3 4 π π π π 3 π C.sin( + )=sin · cos + cos 4 3 4 3 2 4 α 1 8.如果 tan = ,那么 cosα 的值是 2 3 A. 3 5 B. 4 5 C.- 3 5 4 D.- 5 7π π π 2 π B.cos =cos · cos - sin 12 4 3 2 3 π π π D.cos =cos -cos 12 3 4

π π cos( +x)-sin( +x) 4 4 9.化简 的值是 π π cos( +x)+sin( +x) 4 4 x A.tan 2 B.tan2x C.-tanx D.cotx

5 α 10.若 sinα= ,α 在第二象限,则 tan 的值为 13 2 A.5 B.-5 C. 1 5 1 D.- 5

θ θ 11.设 5π<θ<6π,cos =a,则 sin 等于 2 4 A.- 1+a 2 B.- 1-a 2 C.- 1+a 2 D.- 1-a 2

A 12.在△ ABC 中,若 sinBsinC=cos2 ,则此三角形为 2 A.等边三角形 C.直角三角形 二、填空题 13.若 tanα=-2 且 sinα<0,则 cosα=_____. B.等腰三角形 D.等腰直角三角形

1 α α 14.已知 sinα= ,2π<α<3π,那么 sin +cos =_____. 3 2 2 5π π 15.cos cos =_____. 8 8 3π 4 θ 16.已知 π<θ< ,cosθ=- ,则 cos =_____. 2 5 2 17.tan19° +tan26° +tan19° tan26° =_____. 4 4 π 3π 18. cos(α+β)= , 若 cos(α-β)=- , 且 <α-β<π, <α+β<2π, cos2α=_____, 则 5 5 2 2 cos2β=_____.

三、解答题 19.已知 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求 cos2α+cos2β 的值. π 2 20.已知 sin 2α +sin2α cosα -cos2α =1,α ∈(0, ),求 sinα 、tanα . 2 3π π 1 21.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4 22.求证 cos3α=4cos3α-3cosα 23.若函数 y=x2-4px-2 的图象过点(tanα,1)及点(tanβ,1).

《三角恒等变换 3》答案
一、选择题 题号 答案 5 5 - 10 10 1 D 2 A 3 D 4 C 5 D 2 3 - 3 1 6 B 7 D 8 B 9 C 10 A 2 4 -1 11 D 12 B

二、填空题 13 16 14 17 15 18 -

7 - 25

三、解答题(12+13+13+14+14=66 分) 19.已知 sinα+sinβ=1,cosα+cosβ=0,求 cos2α+cos2β 的值. 1 20.已知 sin 2α +sin2α cosα -cos2α =1,α ∈(0,
2 2

π ),求 sinα 、tanα . 2

解:∵sin 2α +sin2α cosα -cos2α =1 2 2 2 2 ∴4sin α cos α +2sinα cos α -2cos α =0 2 2 2 即:cos α (2sin α +sinα -1)=0 ? cos α (sinα +1)(2sinα -1)=0 π 2 又 α ∈(0, ),∴cos α >0,sinα +1>0. 2 1 π 3 故 sinα = ,α = ,tanα = . 2 6 3 3π π 1 21.已知 sin(x- )cos(x- )=- ,求 cos4x 的值. 4 4 4 3π π 1 解析:由 sin(x- )cos(x- )=- 4 4 4

? 2 [sin(2x-π)+sin(-2 )]=-4 ? sin2x=-2 ? cos4x=1-2sin22x=2 .
1 1

1

π

1

22.求证 cos3α=4cos3α-3cosα 证明:左边=cos(2α+α)=cos2αcosα-sin2αsinα =(2cos2α-1)cosα-2sin2αcosα =2cos3α-cosα-2sin2αcosα =2cos3α-cosα-2(1-cos2α)cosα =4cos3α-3cosα=右边. 23.若函数 y=x2-4px-2 的图象过点(tanα,1)及点(tanβ,1). 求 2cos2αcos2β+psin2(α+β)+2sin2(α-β)的值. 解:由条件知 tanα、tanβ 是方程 x2-4px-2=1 的两根.
?tanα+tanβ=4p ∴? ?tanαtanβ=-3

∴tan(α+β)=

4p =p. 1-(-3)

∴原式=2cos2αcos2β+tan(α+β)sin2(α+β)+2sin2(α-β) =cos2(α+β)+cos2(α-β)+2sin2(α+β)+2sin2(α-β) =cos2(α+β)+cos2(α-β)+[1-cos2(α+β)]+[1-cos2(α-β)]=2

《三角恒等变换 4》
一、选择题 1. 已知 x ? (? Α.
7 24

?
2
B.

,0) , cos x ?
? 7 24

4 ,则 tan 2 x ? ( 5
24 7



C.

D.

?

24 7

2. 函数 y ? 3sin x ? 4cos x ? 5 的最小正周期是( Α.



? C. ? D. 2? 2 3. 在△Α BC 中, cos A cos B ? sin A sin B ,则△ABC 为(
B. Α . 锐角三角形
0

? 5

) D. 无法判定 )

B. 直角三角形
0 0

C. 钝角三角形
0

4. 设 a ? sin14 ? cos14 , b ? sin16 ? cos16 , c ? Α . a?b?c C. c ? b ? a B. b ? a ? c D. a ? c ? b

6 ,则 a, b, c 大小关系( 2

5. 函数 y ?

2 sin(2 x ? ? ) cos[2( x ? ?)] 是(



? ? 的奇函数 B. 周期为 的偶函数 4 4 ? ? C. 周期为 的奇函数 D. 周期为 的偶函数 2 2
Α . 周期为 6. 已知 cos 2? ?

2 4 4 ,则 sin ? ? cos ? 的值为( 3
11 18
0



13 18 二、填空题
Α.

B.

C.

7 9

D.

?1

1. 求值: tan 20 ? tan 40 ? 3 tan 20 tan 40 ? _____________.
0 0 0

2. 若

1 ? tan ? 1 ? 2008, 则 ? tan 2? ? 1 ? tan ? cos 2?

.

3. 已知 sin 4.

?
2

? cos

?
2

?

2 3 , 那么 sin ? 的值为 3

, cos 2? 的值为 时, cos A ? 2cos

.

?ABC 的三个内角为 A 、 B 、 C ,当 A 为
.

B?C 取得最 2

大值,且这个最大值为 三、解答题

1. ① 已知 sin ? ? sin ? ? sin ? ? 0,cos ? ? cos ? ? cos ? ? 0, 求 cos( ? ? ? ) 的值. ②若 sin ? ? sin ? ?

2 , 求 cos? ? cos ? 的取值范围. 2

1 ? cos 200 ? sin100 (tan ?1 50 ? tan 50 ) 2. 求值: 0 2sin 20
3. 已知函数 y ? sin

x x ? 3 cos , x ? R. 2 2 ①求 y 取最大值时相应的 x 的集合;
②该函数的图象经过怎样的平移和伸变换可以得到 y ? sin x( x ? R) 的图象.

《三角恒等变换 4》答案
一、选择题 1. D 2. D 3. C 4. D

x ? (?

4 3 3 2 tan x 24 , 0) , cos x ? ,sin x ? ? , tan x ? ? , tan 2 x ? ?? 2 2 5 5 4 1 ? tan x 7 2? y ? 5sin( x ? ? ) ? 5, T ? ? 2? 1

?

cos A cos B ? sin A sin B ? cos( A ? B) ? 0, ? cos C ? 0,cos C ? 0, C 为钝角
a ? 2 sin 590 , b ? 2 sin 610 , c ? 2 sin 600
y ? ? 2 sin 2 x cos 2 x ? ? 2 2? ? sin 4 x ,为奇函数, T ? ? 2 4 2

5. C

6. B

1 sin 4 ? ? cos 4 ? ? (sin 2 ? ? cos 2 ? ) 2 ? 2sin 2 ? cos 2 ? ? 1 ? sin 2 2? 2 1 11 ? 1 ? (1 ? cos 2 2? ) ? 2 18
tan 200 ? tan 400 ? 3 1 ? tan 200 tan 400

二、填空题 1.

3

tan 600 ? tan(200 ? 400 ) ?

3 ? 3 tan 200 tan 400 ? tan 200 ? tan 400
2.

2008
?

1 1 sin 2? 1 ? sin 2? ? tan 2? ? ? ? cos 2? cos 2? cos 2? cos 2?
(cos ? ? sin ? )2 cos ? ? sin ? 1 ? tan ? ? ? ? 2008 cos 2 ? ? sin 2 ? cos ? ? sin ? 1 ? tan ?

3. 4.

? 4 1 7 ? cos )2 ? 1 ? sin ? ? ,sin ? ? , cos 2? ? 1 ? 2sin 2 ? ? 2 2 3 3 9 3 B?C A A A 600 , cos A ? 2cos ? cos A ? 2sin ? 1 ? 2sin 2 ? 2sin 2 2 2 2 2 A A A 1 3 ? ?2sin 2 ? 2sin ? 1 ? ?2(sin ? ) 2 ? 2 2 2 2 2 A 1 B?C 3 0 当 sin ? ,即 A ? 60 时,得 (cos A ? 2cos )max ? 2 2 2 2
1 7 , 3 9 (sin

?

三、解答题 1. ①解: sin ? ? sin ? ? ? sin ? ,cos ? ? cos ? ? ? cos ? ,

(sin ? ? sin ? )2 ? (cos ? ? cos ? )2 ? 1,

1 2 ? 2cos( ? ? ? ) ? 1, cos( ? ? ? ) ? ? . 2

②解:令 cos ? ? cos ? ? t ,则 (sin ? ? sin ? ) 2 ? (cos ? ? cos ? ) 2 ? t 2 ?

1 , 2

1 3 2 ? 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? , 2cos(? ? ? ) ? t 2 ? 2 2
?2 ? t 2 ? 3 1 7 14 14 ? 2, ? ? t 2 ? , ? ?t? 2 2 2 2 2

2. 解:原式 ?

2 cos 2 100 cos 50 sin 50 ? sin100 ( ? ) 4sin100 cos100 sin 50 cos 50

?

cos100 cos100 ? 2sin 200 ? 2 cos100 ? 2sin100 2sin100 cos100 ? 2sin(300 ? 100 ) cos100 ? 2sin 300 cos100 ? 2cos 30 0 sin100 ? 2sin100 2sin100
3 2

?

? cos 300 ?
3. 解: y ? sin (1)当

x ? ? ? ? ? 2k? ? ,即 x ? 4k? ? , k ? Z 时, y 取得最大值 2 3 2 3

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) 2 2 2 3

? ? ? ? x | x ? 4k? ? , k ? Z ? 为所求 3 ? ?
(2) y ? 2sin( ?
? 右移 个单位 x ? x 横坐标缩小到原来的2倍 3 ) ????? y ? 2sin ??????? y ? 2sin x ? ? 2 3 2

纵坐标缩小到原来的2倍 ??????? y ? sin x ?

三角函数综合考试卷
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求) 1、在△ABC 中, b ? c ? bc ? a , 则角 A 等于(
2 2 2

) C

A

? 6

B

? 4
)

? 3

D

? 2

2、函数 f ( x) ? 2sin x cos x 是( A 最小正周期为 2? 的奇函数 C 最小正周期为 ? 的奇函数

B 最小正周期为 2? 的偶函数 D 最小正周期为 ? 的偶函数 ) D 1 )

3、在△ABC 中, b ? 2, c ? 5, tan A ? 2 ,则△ABC 的面积为( A 2 B

3

C

2

4、设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2 x ? sin x ? cos x ,则( A 0? x ?? B

?
4

?x?

5? 4

C

?
4

?x?

7? 4

D

?
2

?x?

3? 2
0

5、 要测出杭州夕照山雷锋塔 BC 的高, 从山脚 A 测得 AC ? 62 2m , 塔顶 B 的仰角 ? ? 45 , B 0 已知山坡的倾斜角 ? ? 15 ,则雷锋塔高 BC 为( ) A 70m C 62 2m B 31 2m D 62m C D

?


?

A

? 3 ? ? ? 3 ,sin ? ), a ∥ b , 0 ? ? ? 2? ,则 ? ? ( 6、若 a ? ( , cos ? ), b ? ( 2 2
A

? 6

B

7? 6

C

?
3



4? 3


D

?
6



7? 6

7、若 x 是△ABC 的最小内角,则函数 y ? sin x ? cos x 的值域是(

A (1, 2]

B (0, 2]

C (1, 2]

D (1,

3 ?1 ] 2

5 3 , cos B ? ,则 cosC 的值为( ) 13 5 16 56 16 56 56 16 A ? B C ? 或 D ? 或 65 65 65 65 65 65 7 2 2 9、在△ABC 中, b ? bc ? 2c ? 0, a ? 6, cos A ? , 则△ABC 的面积为( ) 8
8、在△ABC 中, sin A ?

A

15

B

15 2

C 2

D

7 2

10、如果把直角三角形的三边都减少同样的长度,仍能构成三角形,则这个新的三角形的形 状为( ) A 锐角三角形 B 直角三角形 C 钝角三角形 D 由减少的长度决定 11、已知在区间 [0, 的范围是( A 0 ? k ?1

?
2

] 内有两个不同的实数 x 的值满足 cos 2 x ? 3 sin 2 x ? k ? 1 ? 0 ,则 k
B ?3 ? k ? 1 C 0 ? k ?1



D k ?1 BE 12、在△ABC 中, E , F 分别是 AC , AB 的中点,且 3 AB ? 2 AC ,若 ? t 恒成立,则 t 的 CF 最小值为( A ) B 1 C

3 4

7 8

D

5 4

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13、已知角 ? 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 p ? 4, y ? 是角 ? 终边上一点,且

sin ? ?

2 5 ,则 y =________________. 5

14、正在向正北开的轮船看见正东方向有两座灯塔,过 15 分钟后,再看这两座灯塔,分别 在正东南和南偏东 75 的方向,两座灯塔相距 10 海里,则轮船的速度是_______________海 里/小时。 15、在△ABC 中, AB ? 2 3, AC ? 2 ,且∠ B ?
0

?
6

,则△ABC 的面积为_____________。

16、若函数 f ( x) 的定义域为 R ,且存在常数 m ? 0 ,对任意 x ? R ,有 | f ( x)| ? m| x| ,则 称 f ( x) 为 F 函 数 。 给 出 下 列 函 数 : ① f ( x) ? x , ② f ( x)? s i n? x
2

, c oxs ③

f ( x) ?

x , ④ f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 满 足 对 一 切 实 数 x1 , x2 均 有 x ? x ?1
2

| f ( x )? f ( x )? 2 0 1 2x| ? x , ⑤ | | 1 2 1 2

f ( x) ? x 2 , 其 中 是 F 函 数 的 有

1

____________________。 三、解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤) 17、在△ABC 中,已知 cos A ? (1)求 tan 2A 的值;

1 13 ? , cos( A ? B) ? , 0 ? B ? A ? 7 14 2 (2)求角 B

18、已知 a ? (2 cos x,1) , b ? (1, 2 3 sin x cos x ? m)( x ? R, m ? R, m是常数)且y ? a ? b
2

?

?

? ?

(1)求 y 关于 x 的函数关系式 y ? f ( x) ; (2)若 x ? [0,

?
2

] 时, f ( x) 的最大值为 4,求 m 的值;

(3)求 f ( x) 的最小正周期及单调减区间。 19、如图,A,B 是海面上位于东西方向相距 5 3 ? 3 海里的两个观测点,现位于 A 点北偏 东 60°,B 点北偏西 45°的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西 75°且与 B 点 相距 15 6 海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为 30 海里/小时,该救援船到达 D 点需要多长时间?

?

?



D



A
C

B

20、 如图所示, Rt △ABC 内有一内接正方形, 在 它的一条边在斜边 BC 上, AB= a , 设 ∠ABC ? ? (1)求△ABC 的面积 f (? ) 与正方形面积 g (? ) ; (2)当 ? 变化时,求

A
G

D

f (? ) 的最小值。 g (? )

B

C

H

E

21、在△ABC 中, b tan B ? c tan C , (1)判断△ABC 的形状,并说明理由; (2)若 BD 是边 AC 的中线,且 BD ? 3 ,求△ABC 面积的最大值。 22、已知函数 g ( x) ? a sin x ? b cos x ? c (1)当 b ? 0 时,求 g ( x) 的值域; (2) a ? 1 ,c ? 0 时, 当 函数 g ( x) 的图象关于 x ? 对称轴。 (3)若 g ( x) 图象上有一个最低点 ( 来的

5? 对称, 求函数 y ? b sin x ? a cos x 的 3

11? ,1) ,如果图象上每点纵坐标不变,横坐标缩短到原 6

3 倍,然后向左平移 1 个单位可得 y ? f ( x) 的图象,又知 f ( x) ? 3 的所有正根从小到 ?

大依次为 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,? ,且 xn ? xn ?1 ? 3(n ? 2) ,求 f ( x) 的解析式。

三角函数综合考试卷(参考答案)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求) 1—5:CCABD 6—10:DAABC 11—12:CC

二、填空题: (每小题 4 分,共 16 分) 13、 8 14、 20( 3 ? 1) 15、 2 3或 3 16、③④

三、解答题(17-21 每小题 12 分,22 题 14 分,共 74 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤)

1 ? 且 A ? (0, ) 7 2 2 tan A 8 3 ?? 又 tan 2 A ? 2 1 ? tan A 47 ? 1 (2)∵ A ? (0, ) cos A ? 2 7 4 3 ? ∴ sin A ? 又B ? A? 7 2
17、解: (1)∵ cos A ? ∴ 0 ? A? B ?

∴ tan A ? 4 3

?
2

∵ cos( A ? B) ?

13 , 14

∴ sin( A ? B) ?

3 3 14

∴ cos B ? cos[ A ? ( A ? B)] ? cos A cos( A ? B) ? sin A sin( A ? B) ? ∵ B ? (0,

?
2

)

∴B ?

?
3

1 2

18、解: (1)∵ y ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 1 ? m (2) m ? 1 (3) T ? ? ;[k? ?

∴ y ? 2sin(2 x ?

?
6

) ?1? m

?
6

, k? ?

2? ], k ? Z 3
5(3 ? 3) BD AB BD ? ? ? 0 0 0 1 sin(30 ? 45 ) sin ?ADB sin 30 2

19、解:在△ABD 中,由正弦定理:

? 2 BD ?

20 3(1 ? 3) ? BD ? 5 6 2(1 ? 3)
2 2 2 0

在△CBD 中,由余弦定理: CD ? BC ? BD ? 2BC ? BD cos 60

? CD 2 ? (15 6)2 ? (5 6)2 ? 2(15 6) ? (5 6) cos 600 ? CD2 ? 1350 ? 150 ? 450 ? 1050 ? CD ? 5 42 (海里)

∴t ?

5 42 42 ? (小时) 30 6

答:该救援船到达 D 点需要的时间为 20、解: (1)由题得: AC ? a tan ? 6 ∴ f (? ) ?

42

小时

1 2 ? a tan ? (0 ? ? ? ) 2 2
∴ AG ? x cos?

设正方形的边长为 x , BG ? 则 由 BG ? AG ? a

x s ? i n

, 由几何关系知:

?AGD ? ?
x?

?

a sin ? 1 ? sin ? cos ? a 2 sin 2 ? ? ∴ g (? ) ? (0 ? ? ? ) 2 (1 ? sin ? cos ? ) 2

x ? x cos ? ? a sin ?

?

f (? ) (1 ? sin ? cos ? ) 2 1 sin 2? ? ? ? 1? ? (2) 令: t ? sin 2? ∵0 ?? ? g (? ) 2sin ? cos ? sin 2? 4 2 1 t 1 4 1 4 ∴ t ? (0,1] ∴ y ? 1 ? ? ? 1 ? (t ? ) ∵函数 y ? 1 ? (t ? ) 在 (0,1] 递减 t 4 4 t 4 t 9 ? ∴ ymin ? (当且仅当 t ? 1即 ? ? 时成立) 4 4 a 2 sin 2 ? ? 1 2 ? g (? ) ? (0 ? ? ? ) 答: f (? ) ? a tan ? (0 ? ? ? ) 2 (1 ? sin ? cos ? ) 2 2 2 9 ? 当 ? ? 时成立 ymin ? 4 4 sin B sin C 2 2 21、解: (1)∵ b tan B ? c tan C ∴ b 即: b cos C ? c cos B ?c cos B cos C 2 2 2 a 2 ? c2 ? b2 2 a ?b ?c ? c2 即: b ? b(a 2 ? b2 ? c 2 ) ? c(a 2 ? c 2 ? b2 ) 2ab 2ac 2 3 2 2 3 ? a b ? b ? bc ? a c ? c ? b2c ? a 2b ? a 2c ? b3 ? c3 ? b2c ? bc 2 ? 0 ? a 2 (b ? c) ? (b ? c)(b 2 ? bc ? c 2 ) ? bc(b ? c) ? 0 ∴b ? c ? (b ? c)(a 2 ? b2 ? bc ? c 2 ? bc) ? 0
∴△ABC 为等腰三角形 (2)设 AD ? DC ? m, 则 AB ? 2m ,根据面积公式得:

1 1 AB ? AC sin A ? ? 2m ? 2m 1 ? cos 2 A 2 2 AB 2 ? AD 2 ? BD 2 4m2 ? m2 ? 3 5m2 ? 3 ? ? 根据余弦定理得: cos A ? 2 AB ? AD 2 ? 2m ? m 4m 2 5 ?9(m2 ? ) 2 ? 16 4 2 ?9m ? 30m ? 9 3 ? ∴ S?ABC ? 2 2 5 2 易知当 m ? 时, ( S?ABC ) max ? 2 3 22、解: (1)当 b ? 0 时, g ( x) ? a sin x ? c 当 a ? 0 时,值域为: {c} S?ABC ?

当 a ? 0 时,值域为: [? | a | ?c,| a | ?c] (或将 a 分三类讨论也行) (2)当 a ? 1 , c ? 0 时, g ( x) ? sin x ? b cos x 且图象关于 x ?

5? 对称。 3

3 3 3 sin x ? cos x ∴函数 y ? b sin x ? a cos x 即: y ? ? 3 2 3 ? ? ∴y? 由 x ? ? k? ( k ? Z ) cos( x ? ) 3 6 6
∴|

3 1 ? b |? b2 ? 1 2 2

?

b??

∴函数的对称轴为: x ? k? ?

?

6

(k ? Z )

a 2 ? b 2 sin( x ? ? ) ? c b a (其中 sin ? ? , cos ? ? ) 2 2 2 a ?b a ? b2 ? ?11? 11? ? 6 ? ? ? 2 k? ? 2 由 g ( x) 图象上有一个最低点 ( ,1) ,所以 ? 6 ?? a 2 ? b 2 ? c ? 1 ? 7? ? ? ?? ? 2k? ? 3 , k ? Z ∴? ∴ g ( x) ? (c ? 1)sin( x ? ) ? c 3 ? a 2 ? b2 ? c ? 1 ? 3
(3)由 g ( x) ? a sin x ? b cos x ? c ? 又图象上每点纵坐标不变, 横坐标缩短到原来的 的图象,则 f ( x) ? (c ? 1)sin

?
3

?

倍, 然后向左平移 1 个单位可得 y ? f ( x)

x?c

又∵ f ( x) ? 3 的所有正根从小到大依次为 x1 , x2 , x3 ,?, xn ,? ,且 xn ? xn ?1 ? 3(n ? 2) 所以 y ? f ( x) 与直线 y ? 3 的相邻交点间的距离相等,根据三角函数的图象与性质,直线

y ? 3 要么过 f ( x) 的最高点或最低点,要么是 y ?
即: 2c ?1 ? 3 或 1 ? c ? c ? 3 (矛盾)或

? c ? 2或 c ? 3
当 c ? 2 时,函数的

2c ? 1 ? 1 ?3 2

2c ? 1 ? 1 2

f ( x) ? sin

?
3

x?2

T ?6

直线 y ? 3 和 f ( x) ? sin 当 c ? 3 时,函数

?
3

x ? 2 相交,且 xn ? xn?1 ? 3(n ? 2) ,周期为 3(矛盾)

f ( x) ? 2sin

?
3

x?3

T ?6

直线 y ? 3 和 f ( x) ? 2sin 综上: f ( x) ? 2sin

?
3

x ? 3 相交,且 xn ? xn?1 ? 3(n ? 2) ,周期为 6(满足)

?
3

x?3

附录:三角恒等变换公式
两角和与差的三角函数:

cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? tan ? ? tan ? tan(? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ? tan(? ? ? ) ?
二倍角公式

sin 2? ? 2sin ? cos ? cos 2? ? cos 2 ? ? sin 2 ? ? 2 cos 2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? tan 2? ? 2 tan ? 1 ? tan 2 ?

半角公式

sin 2

1 ? cos ? 2 2 ? 1 ? cos ? cos 2 ? 2 2 ? 1 ? cos ? tan 2 ? 2 1 ? cos ? ? sin ? 1 ? cos ? tan ? ? 2 1 ? cos ? sin ? ?

?

万能公式:

sin ? ?

2 tan

?
2

1 ? tan 2 1 ? tan 2 1 ? tan 2 2 tan

? ? ?
2 2 2

cos ? ?

?
2

tan ? ?

1 ? tan 2

?
2


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