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2017高考数学一轮复习第七章不等式7.1不等式的概念和性质课时练理


2017 高考数学一轮复习 第七章 不等式 7.1 不等式的概念和性质 课时练 理
时间:45 分钟 基础组 1.[2016·衡水二中周测]若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的是( 1 1 A.a+ >b+ )

b b

a a

B. > D.

b b+1 a a+1
2a+b a > a+2b b

1 1 C.a- >b- 答案 A

1 解析 取 a=2,b=1,排除 B 和 D;另外,函数 f(x)=x- 是(0,+∞)上的增函数,

x

1 但函数 g(x)=x+ 在(0,1]上递减,在[1,+∞)上递增,所以当 a>b>0 时,f(a)>f(b)必定

x

1 1 1 1 成立,但 g(a)>g(b)未必成立,这样,a- >b- ?a+ >b+ ,故选 A.

a

b

b

a

β ? π? ? π? 2. [2016·枣强中学仿真]设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,那么 2α - 的取值范围是 2 2 3 ? ? ? ? ( )

? 5π ? A.?0, ? 6 ? ?
C.(0,π ) 答案 D

? π 5π ? B.?- , ? 6 ? ? 6 ? π ? D.?- ,π ? ? 6 ?

β π π β π β 解析 由题设得 0<2α <π ,0≤ ≤ ,∴- ≤- ≤0,∴- <2α - <π . 3 6 6 3 6 3 1 3. [2016·衡水二中月考]已知 0<a<1,x=loga 2+loga 3,y= loga5,z=loga 21- 2 loga 3,则( A.x>y>z C.z>x>y 答案 D 解析 由题意得 x=loga 6, y=loga 5, z=loga 7, 而 0<a<1, ∴函数 y=logax 在(0, +∞)上单调递减,∴y>x>z,故选 D. 4.[2016·武邑中学热身]若 a<b<0,则下列不等式一定成立的是( A. C. 1 1 > a-b b |b| |b|+1 < |a| |a|+1 B.a <ab D.a >b
n n
2

) B.z>y>x D.y>x>z

)

1

答案 C |b| |b|+1 解析 取 a=-2,b=-1,逐个检验,可知 A,B,D 项均不正确;C 项, < ? |a| |a|+1 |b|(|a|+1)<|a|(|b|+1)?|a||b|+|b|<|a||b|+|a|?|b|<|a|,∵a<b<0,∴|b|<|a|成 立,故选 C. 5.[2016·衡水二中期中]如果 a>b,则下列各式正确的是( A.alg x>blg x C.a >b
2 2

)
x

B.ax >bx
x

2

2

D.a·2 >b·2
2

答案 D 解析 A 项,当 lg x=0,即 x=1 时不满足;B 项,当 x =0 时不满足;C 项,当 a=1,

b=-2 时不满足;D 项,因为 2x>0,所以 a·2x>b·2x.综上可知选 D.
6.[2016·枣强中学模拟]若 0<a1<a2,0<b1<b2,且 a1+a2=b1+b2=1,则下列代数式中值 最大的是( ) B.a1a2+b1b2 D. 1 2 A.a1b1+a2b2 C.a1b2+a2b1 答案 A 1 2 4 4 解析 解法一:取 a1=b1= ,a2=b2= ,那么 a1a2+b1b2= ,a1b2+a2b1= ,a1b1+a2b2 3 3 9 9 5 1 = ,有 a1a2+b1b2=a1b2+a2b1< <a1b1+a2b2,于是排除 B、C、D 三个选项.故选 A. 9 2 1 1 解法二:∵0<a1<a2,a1+a2=1,∴0<a1< , <a2<1, 2 2 1 1 同理,0<b1< , <b2<1, 2 2 ∴a1b1+a2b2-(a1a2+b1b2)=(b1-a2)·(a1-b2)>0,

a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)=(b1-b2)·(a1-a2)>0, a1b1+a2b2- =a1b1+a2b2-
1 2 ?a1+a2?·?b1+b2? 2

1 = [a1b1+a2b2-(a1b2+a2b1)] 2 1 = (b1-b2)·(a1-a2)>0, 2 ∴a1b1+a2b2 的值最大.故选 A. 7.[2016·衡水二中期末]设 a>b>0,下列各数小于 1 的是( ) 1 2

A.2

a-b

B.? ? b D.? ? a

?a? ? ?

C.? ? b

?a?a-b ? ?

?b?a-b ? ?

答案 D

2

解析 解法一:(特殊值法) 取 a=2,b=1,代入验证. 解法二:y=a (a>0 且 a≠1). 当 a>1,x>0 时,y>1; 当 0<a<1,x>0 时,0<y<1. ∵a>b>0,∴a-b>0, >1,0< <1. 由指数函数性质知,D 成立. 8.[2016·武邑中学猜题]若 a>b>0,且 答案 (-b,0) 解析 由条件知, 即
x

a b

b a

a+m a > ,则实数 m 的取值范围是________. b+m b

a+m a - >0, b+m b

ab+bm-ab-am ?b-a?m >0, >0, b?b+m? b?b+m? m m+b
<0.

又∵a>b>0,∴b-a<0,∴ 解得-b<m<0.

? π? 9.[2016·冀州中学仿真]已知 θ ∈?0, ? ,且 a=cos2θ ,b=cosθ -sinθ ,则 4? ?
a________b.(填“>”“<”或“=”)
答案 >

? π? ? π? 解析 ∵θ ∈?0, ?,∴2θ ∈?0, ?, 4 2? ? ? ?
从而 b=cosθ -sinθ >0,cos2θ >0. ∵ =
2 2 a cos2θ cos θ -sin θ = =sinθ +cosθ b cosθ -sinθ cosθ -sinθ

π? π ?π π ? ? = 2sin?θ + ?,又 θ + ∈? , ?, 4? 4 ?4 2? ? π? π ? ∴ 2sin?θ + ?> 2sin =1, 4? 4 ? ∴ >1,从而 a>b. π α -β 10.[2016·武邑中学预测]已知- <α <β <π ,则 的取值范围是________. 2 2

a b

? 3π ? 答案 ?- ,0? 4 ? ?
π π π 3π 3π 3π 解析 由- <α <β <π , 得- <α <π , -π <-β < , ∴- <α -β < , 即- 2 2 2 2 2 4 < α -β 3π < . 2 4

3

3π α -β 又∵α -β <0,∴- < <0, 4 2 故 α -β ? 3π ? 的取值范围是?- ,0?. 2 ? 4 ?

a b 1 1 11.[2016·衡水二中模拟]已知 a+b>0,则 2+ 2与 + 的大小关系是________. b a a b
答案 解析

a b 1 1 + ≥ + b2 a2 a b a b ?1 1? a-b b-a + -? + ?= 2 + 2 = b2 a2 ?a b? b a

2 ? 1 1 ? ?a+b??a-b? . (a-b)? 2- 2?= 2 2

?b

a?

ab

∵a+b>0,(a-b) ≥0,∴

2

?a+b??a-b?

2

ab

2 2

≥0.

a b 1 1 ∴ 2+ 2≥ + . b a a b
12.[2016·枣强中学期末]有下列命题:①若 a>b,则 c-b<c-a; ②若 a>c,b>c,则 a+b>2c; ③若 2< 2,则 a>b; ④若 x<y,则 x <y . 其中正确命题的序号是________. 答案 ②④ 解析 由不等式的性质可知①③不正确,②④正确. 能力组 1 1 1 a b 13.[2016·衡水二中仿真]已知 0<a< ,且 M= + ,N= + ,则 M、N b 1+a 1+b 1+a 1+b 的大小关系是( A.M>N C.M=N 答案 A 1 解析 ∵0<a< ,∴1+a>0,1+b>0,1-ab>0, ) B.M<N D.不能确定
3 3

a b c c

b

1-a 1-b 2-2ab ∴M-N= + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 14. [2016·枣强中学期中]设函数 f(x)=ax+b(0≤x≤1), 则 a+2b>0 是 f(x)>0 在[0,1] 上恒成立的________条件.(填“充分但不必要”“必要但不充分”“充要”或“既不充分 也不必要”) 答案 必要但不充分 解析 由?
? ?f?0?>0, ?f?1?>0 ?

??

? ?b>0, ?a+b>0. ?

4

∴a+2b>0. 而仅有 a+2b>0,无法推出 f(0)>0 和 f(1)>0 同时成立. 1 1 x y 15.[2016·衡水二中热身]已知 a,b,x,y∈(0,+∞)且 > ,x>y,求证: > . a b x+a y+b 证明 ∵

bx-ay = , x+a y+b ?x+a??y+b?


x

y

1 1 又∵ > 且 a,b∈(0,+∞),

a b

∴b>a>0, 又∵x>y>0,∴bx>ay>0, ∴ ∴

bx-ay >0, ?x+a??y+b? x x+a y+b
>

y

.

16.[2016·武邑中学期末]已知 x,y 为正实数,满足 1≤lg (xy)≤2,3≤lg ≤4,求 lg (x y )的取值范围. 解 设 a=lg x,b=lg y,则 lg (xy)=a+b, lg =a-b,lg (x y )=4a+2b, 设 4a+2b=m(a+b)+n(a-b), ∴?
? ?m+n=4, ?m-n=2. ?
4 2

x y

x y

4 2

解得?

? ?m=3, ?n=1. ?

又∵3≤3(a+b)≤6,3≤a-b≤4. ∴6≤4a+2b≤10. 即 lg (x y )的取值范围为[6,10].
4 2

5


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