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江西省师大附中、鹰潭一中2015届高三下学期4月联考数学理试题含答案


江西省师大附中、鹰潭一中 2015 届高三下学期 4 月联考

数学(理)试题
第Ⅰ 卷 一、选择题:共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的一项. 1.设集合 A ? x | 2 x ? 4 ,集合 B ? ? x | y ? lg( x ? 1)? ,则 A A. (1,2) B. (1,2] C. [1,2)

?

?

B 等于
D. [1,2]

2.下面是关于复数 z ?

2 的四个命题: p1 : z ? 2 , p2 : z 2 ? 2i , p3 : z 的共轭复数为 1? i
B. p1 , p2 C. p2 , p4 D. p3 , p4

? 1 ? i , p4 : z 的虚部为 1 ,其中真命题为
A. p2 , p3 3.下列四个结论:① 若 x ? 0 ,则 x ? sin x 恒成立; ② 命题“若 x ? sin x ? 0, 则x ? 0 ”的逆命题为“若 x ? 0,则x ? sin x ? 0 ”; ③ “命题 p ? q 为真”是“命题 p ? q 为真”的充分不必要条件; ④ 命题“ ?x ? R , x ? ln x ? 0 ”的否定是“ ?x0 ? R ? , x0 ? ln x0 ? 0 ”. 其中正确结论的个数是 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形 边长为 2,正视图、侧视图中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是 A.
?

? ? 24 C. 2? ? 24

? ? 20 D. 2? ? 20
B.

5.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出 i 的结果为

A.7

B.9

C.10

D.11

?2 x ? y ? 6 ? 0 ? 6.已知实数 x, y 满足 ? x ? y ? 0 ,若目标函数 z ? ? mx ? y 的最大值为 ? 2m ? 10 , ?x ? 2 ?
A. ?? 1,2? 最小值为 ? 2m ? 2 ,则实数 m 的取值范围是 B. ?? 2,1? C. ?2,3? D. ?? 1,3?

7.对于函数 f ( x) ? x 3 cos 3( x ?

) ,下列说法正确的是 6 π π π π A. f ( x) 是奇函数且在( ? , )上递增 B. f ( x) 是奇函数且在( ? , )上递减 6 6 6 6 π π C. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递增 D. f ( x) 是偶函数且在( 0, )上递减 6 6 a n ? 2 a n ?1 ? ? d ( n ? N ? ,d 为常数) 8.定义:在数列 ?a n ? 中,若满足 ,称 ?a n ? 为“等 a n ?1 an
差比数列”。已知在“等差比数列” ?a n ? 中, a1 ? a 2 ? 1, a3 ? 3, 则 A. 4 ? 20152 ? 1 B. 4 ? 20142 ? 1 C. 4 ? 20132 ? 1

?

a2015 ? a2013
D. 4 ? 20132

9.设函数 y ? f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为 f ? ? x ? , f ? ? x ? 在区间 ? a, b ? 上的导函数为

f ?? ? x ? ,若在区间 ? a, b ? 上 f ??( x) ? 0 恒成立,则称函数 f ? x ? 在区间 ? a, b ? 上为“凸函
数”;已知 f ( x) ? A. ( ??,

31 ) 9

1 4 m 3 3 2 x ? x ? x 在 ?1,3? 上为“凸函数”,则实数 m 的取值范围是 12 6 2 31 B. [ ,5] C. (??,?2) D. [2,??) 9

10.在《爸爸去哪儿》第二季第四期中,村长给 6 位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务。 已知: ① 食物投掷地点有远、 近两处; ② 由于 Grace 年纪尚小, 所以要么不参与该项任务, 但此时另需一位小孩在大本营陪同,要么参与搜寻近处投掷点的食物;③ 所有参与搜寻 任务的小孩须被均分成两组,一组去远处,一组去近处,那么不同的搜寻方案有 A.80 种 11.已知椭圆 C: B.70 种 C.40 种 D.10 种

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点为 F1 , F2 ,若椭圆 C 上恰好有 6 个 a2 b2 不同的点 P ,使得 ?F1 F2 P 为等腰三角形,则椭圆 C 的离心率的取值范围是
A. ? , ?

?1 2? ?3 3?

B. ? , 1?

?1 ? ?2 ?

C. ? , 1?

?2 ? ?3 ?

1? D. ? , ? ? ? ,

?1 1? ?3 2?

?1 ? ?2 ?

12. 已知实数 a, b, c, d 满足

?a ? c ?2 ? ?b ? d ?2 的最小值为
A.8 B.10

a ? 2e a 1 ? c ? ? 1 其中 e 是自然对数的底数 , 则 b d ?1
D.18

C.12 第Ⅱ 卷 二、填空题:本大题共四小题,每小题 5 分。
r r r r

13.已知向量 a =(1, 3), b =(3,m).若向量 b 在 a 方向上的投影为 3,则实数 m=

a? ?? ? ? 14.已知 a ? ?2 ? sin ? x ? ?dx ,则二项式 ? x 2 ? ? 的展开式中 x 的系数为 0 3? x? ? ?
?

5

15.对于集合 {a1 , a 2 , ? , a n }和常数a 0 ,定义:

sin 2 (a1 ? a0 ) ? sin 2 (a2 ? a0 ) ? ? ? sin 2 (an ? a0 ) 为集合{a1 , a2 ,?, an }相对a0 n ? 5? 7? 的“正弦方差”,则集合 { , 。 , }相对a 0 的“正弦方差”为 2 6 6 16 . 已 知 动 点 P 在 棱 长 为 1 的 正 方 体 ABCD ? A1 B1C1 D1 的 表 面 上 运 动 , 且

??

PA ? r (0 ? r ? 3) ,记点 P 的轨迹长度为 f (r ) .给出以下四个命题: 3 ① f (1) ? ? ; 2
② f ( 2) ? 3? ; ③f (

2 3 2 3 )? ? 3 3
(写出所有真命题的序号)

④函数 f ( r ) 在 (0,1) 上是增函数, f ( r ) 在 ( 2, 3) 上是减函数。 其中为真命题的是 17.(本小题满分 12 分) 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,满足 b2+c2=bc+a2. (1)求角 A 的大小; (2)已知等差数列{an}的公差不为零,若 a1cosA=1,且 a2,a4, a8 成等比数列,求 4 { }的前 n 项和 Sn. anan+1 18.(本小题满分 12 分) 某大学的一个社会实践调查小组 ,在对大学生的良好 “ 光盘习惯”的调査中 ,随机发放了 l20 份问巻。对收回的 l00 份有效问卷进行统计,得到如下 2 x2 列联表: 做不到光盘 男 女 合计 45 30 75 能做到光盘 10 15 25 合计 55 45 100 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(1) 现已按是否能做到光盘分层从 45 份女生问卷中抽取了 9 份问卷, 若从这 9 份问卷 中随机抽取 4 份,并记其中能做到光盘的问卷的份数为 ? ,试求随机变量 ? 的分布列和 数学期望 (2)如果认为良好“光盘习惯”与性别有关犯错误的概率不超过 P,那么根据临界值表 最精确的 P 的值应为多少?请说明理由。

n(ad ? bc) 2 附:独立性检验统计量 K = , 其中 n ? a ? b ? c ? d , (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

独立性检验临界表: 0.25 P(K2 ? k0) k0 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.840

0.025 5.024

19.(本小题满分 12 分) 在如图所示的空间几何体中,平面 ACD ? 平面 ABC ,?ACD 与 ?ACB 是边长为 2 的 等边三角形, BE ? 2 , BE 和平面 ABC 所成的角为 60? ,且点 E 在平面 ABC 上的射 影落在 ?ABC 的平分线上.

(1)求证: DE // 平面 ABC ; (2)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知抛物线 E:y2=2px(p>0)的准线与 x 轴交于点 K,过点 K 作圆 C:(x-2)2+y2=1 4 2 的两条切线,切点为 M,N,|MN|= 3 . (1)求抛物线 E 的方程; 9 (2)设 A、B 是抛物线 E 上分别位于 x 轴两侧的两个动点,且 OA ? OB ? (其中 O 为坐标 4 原点). ① 求证:直线 AB 必过定点,并求出该定点 Q 的坐标; ② 过点 Q 作 AB 的垂线与抛物线交于 G、D 两点,求四边形 AGBD 面积的最小值.

21. (本小题满分 12 分)

设函数 f ? x ? ? ?1 ? ax ? ln ? x ? 1? ? bx ,其中 a 和 b 是实数,曲线 y ? f ? x ? 恒与 x 轴相 切于坐标原点. (1)求常数 b 的值;

(2)当 0 ? x ? 1 时,关于 x 的不等式 f ? x ? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)求证:对于任意的正整数 n ,不等式 ?1 ?

? ?

1? ? 1? ? ? e ? ?1 ? ? n? ? n?

n

n ?1

恒成立.

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分.答 时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图所示, PA 为圆 O 的切线, A 为切点, PO交圆O于B, C两点, PA ? 20 ,

PB ? 10, ?BAC 的角平分线与 BC 和圆 O 分别交于点 D 和 E . (1)求证 AB ? PC ? PA ? AC (2)求 AD ? AE 的值.

23.(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程 ? 的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆 C 的极坐标方程; (2)直线 l 的极坐标方程是 2 ? sin(? ?

? x ? 1 ? cos ? .以 O 为极点, x 轴 (? 为参数) ? y ? sin ?

?

3 O、P ,与直线 l 的交点为 Q ,求线段 PQ 的长.

) ? 3 3 ,射线 OM : ? ?

?
3

与圆 C 的交点为

数学(理)参考答案及评分标准 一、选择题 1 题号 B 答案 二、填空题 13. 3 三、解答题 17.解: (1)∵b2+c2-a2=bc, b2+c2-a2 bc 1 ∴ = = . 2bc 2bc 2 1 ∴cosA= . 2 …………… 5 分 ; 14. 2 C 3 B 4 A 5 B 6 A 7 D 8 C 9 D 10 C 11 D 12 A

-80 ;

15.

1 ; 2

16. ① ④

π 又 A∈(0,π),∴A= . 3

1 (2)设{an}的公差为 d, 由已知得 a1= =2,且 a2 a8. 4=a2· cosA 2 ∴(a1+3d) =(a1+d)( a1+7d). 又 d 不为零,∴d=2. …………… 9 分 ∴an=2n. …………… 10 分 4 1 1 1 ∴ = = - . …………… 11 anan+1 nn+ n n+1 1 1 1 1 1 1 1 1 n ∴Sn=(1- )+( - )+( - )+…+( - )=1- = .…………… 12 分 2 2 3 3 4 n n+1 n+1 n+1 18. 解: (1)因为 9 份女生问卷是用分层抽样方法取得的,所以 9 份问卷中有 6 份做不到光 盘,3 份能做到光盘。……………………2 分

………………………………………………………………………………………………6 分 所以 E? ? 0 ? (2) K ?
2

5 10 5 1 4 ? 1? ? 2 ? 3 ? ? ……………………8 分 42 21 14 21 3
2

n(ad ? bc) 2 100?45 ? 15 ? 30 ? 10 ? 100 ? ? ? 3.03 …………10 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d ) 55 ? 45 ? 25 ? 75 33

分 因为 2.706 ? 3.03 ? 3.840 ,所以能在犯错误的概率不超过 0.10 的前提下认为良好“光盘习

惯”与性别有关,即精确的值应为 0.10 ………………………………12 分 19. 解:(1)由题意知, ?ABC , ?ACD 都是边长为 2 的等边三角形,取 AC 中点 O ,连 接 BO, DO ,则 BO ? AC , DO ? AC ,……………………2 分 又∵ 平面 ACD ⊥ 平面 ABC ,∴DO ⊥ 平面 ABC ,作 EF ⊥ 平面 ABC , 那么 EF // DO ,根据题意,点 F 落在 BO 上, ∴?EBF ? 60? ,易求得 EF ? DO ? 3 ,…………4 分 ∴ 四边形 DEFO 是平行四边形,∴DE // OF ,∴DE // 平面 ABC …………6 分 (2)解法一:作 FG ? BC ,垂足为 G ,连接 EG , ∵EF ⊥ 平面 ABC ,∴EF ? BC ,又 EF ? FG ? F , ∴BC ? 平面 EFG ,∴EG ? BC ,∴?EGF 就是二面角 E ? BC ? A 的平 面角.…………9 分

13 1 , EF ? 3 , EG ? . 2 2 FG 13 13 ∴cos ?EGF ? .即二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 .………12 分 ? EG 13 13 解法二:建立如 图 所示的空 间 直角坐 标 系 O ? xyz ,可知平面 ABC 的一个法向量为

Rt?EFG 中, FG ? FB ? sin 30? ?

n1 ? (0,0,1)
设平面 BCE 的一个法向量为 n 2 ? ( x, y, z ) 则, ?

? ?n2 ? BC ? 0 ? ?n2 ? BE ? 0

可求得 n 2 ? (?3, 3 ,1) .………………9 分

所以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 13 ? , | n1 | ? | n2 | 13
13 .……12 13

又由图知,所求二面角的平面角是锐角,所以二面角 E ? BC ? A 的余弦值为 分 p 20.解: (1)由已知得 K (- 2 ,0),C (2,0). 2 2 设 MN 与 x 轴交于点 R,由圆的对称性可知,|MR|= 3 .

由 OA ? OB ?

( y y )2 9 9 得: 1 2 ? y1 y2 ? ? y1 y2 ? ?18 或 y1 y2 ? 2 (舍去), 16 4 4
9 9 ,所以直线 AB 过定点 Q ( ,0) ;…………………7 分 2 2

即 ?4t ? ?18 ? t ?

(ⅱ )由(ⅰ )得 AB ? 1 ? m 2 y ? y ? 1 ? m 2 16m 2 ? 72 , , 2 1 同理得,

1 ? 1? GD ? 1 ? ? ? ? y2 ? y1 ? 1 ? 2 m ? m?

2

16 ? 72 , m2

则四边形 AGBD 面积 S ?
? 4 (2 ? ( m 2 ?

1 1 1 AB ? GD ? 1 ? m 2 16m 2 ? 72 1 ? 2 2 2 m

16 ? 72 m2

1 1 )) ? (85 ? 18( m 2 ? 2 )) 2 m m

令 m2 ?

1 ? ? ( ? ? 2) ,则 S ? 4 18? 2 ? 121? ? 170 是关于 ? 的增函数, m2

故 S min ? 88 .当且仅当 m ? ?1 时取到最小值 88

…………………12 分

21. 解: (1) 对 f ( x) 求导得: f ?( x) ? ? a ln(1 ? x) ? 所以 1 ? b ? 0 ? b ? 1 . (2) 由(1)得 f ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x , 0 ? x ? 1

1 ? ax ? b ,根据条件知 f ?(0) ? 0 , 1? x
……………2 分

1 ? ax ?1 1? x a ?a (1 ? x) ? (1 ? ax) ax ? 2a ? 1 . f ??( x) ? ? ? ?? 2 1? x (1 ? x) (1 ? x) 2 2a ? 1 a( x ? ) 1 a ?? ? 0 ,于是 f ?( x) 在 [0,1] ① 当 a ? ? 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ( x) ? ? (1 ? x) 2 2 上单调递增,从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递增,即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ; f ?( x) ? ?a ln(1 ? x) ?

ax ? 2a ? 1 1 时,由于 0 ? x ? 1 ,有 f ??( x) ? ? ? 0 ,于是 f ?( x) 在 [0,1] 上 3 (1 ? x) 2 单调递减, 从而 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 , 因此 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 ; 1 1 2a ? 1 ③当 ? ? a ? ? 时,令 m ? ? ,当 0 ? x ? m 时, 2 3 a 2a ? 1 a( x ? ) a ?? f ( x) ? ? ? 0 ,于是 f ?( x) 在 [0, m] 上单调递减,从而 (1 ? x) 2 f ?( x) ? f ?(0) ? 0 ,因此 f ( x) 在 [0, m] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 1 综上可知,所求实数 a 的取值范围是 (??, ? ] . ……………8 分 2
②当 a ? ? (3) 对要证明的不等式等价变形如下: 对于任意的正整数 n ,不等式 n ln?1 ? 如下等价变形

? ?

1? ? 1? ? ? 1 ? ?n ? 1? ln?1 ? ? 恒成立. 并且继续作 n? ? n?

? 1? ? 1? ? 1? 1 ? 1? ? 1? n ln?1 ? ? ? 1 ? ?n ? 1? ln?1 ? ? ? ln?1 ? ? ? ? ?1 ? ? ln?1 ? ? ? n? ? n? ? n? n ? n? ? n? ? ? 1? 1 ?ln?1 ? n ? ? n ? 0? ? p ? ? ? ? ?? 1? ? 1? 1 ?? ?1 ? ? ln?1 ? ? ? ? 0? ?q ? ? ?? n ? ? n ? n 对于 ( p ) 相当于 (2) 中a ? 0, 情形, 有 f ( x) 在 [0,1] 上单调递减, 即 f ( x) ? f (0) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 1 ? 1? 1 取 x ? ,得:对于任意正整数 n 都有 ln?1 ? ? ? ? 0 成立; n ? n? n 对于 (q ) 相当于(2)中 a ? ?1 情形,对于任意 x ? [0,1] ,恒有 f ( x) ? 0 而且仅有 f (0) ? 0 . 1 ? 1? ? 1? 1 取 x ? ,得:对于任意正整数 n 都有 ?1 ? ? ln?1 ? ? ? ? 0 成立. n ? n? ? n? n

? 1? ? 1? 因此对于任意正整数 n ,不等式 ?1 ? ? ? e ? ?1 ? ? ? n? ? n?

n

n ?1

恒成立

……………12 分

?ACE ∽ ?ADB ,则

AB AD , ? AE AC
------ ------10 分

∴AD ? AE ? AB ? AC ? 6 5 ? 12 5 ? 360 .

23.解:圆 C 的普通方程为 ( x ? 1) ? y ? 1 ,又 x ? ? cos ? , y ? ? sin ?
2 2

所以圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? 设 P ( ?1 , ?1 ) ,则有 ?

…………… 5 分

? ? 2 cos ? ? ? ? ? 解得 ?1 ? 1,?1 ? ?? 3 ? 3 ?

? ? (sin ? ? 3 cos ? ) ? 3 3 ? ? 设 Q ( ? 2 , ? 2 ) ,则有 ? 解得 ? 2 ? 3, ? 2 ? ? ?? 3 ? 3 ?
所以 | PQ |? 2 …………… 10 分

24.解:(1)当 x < -2 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ? x ? 3 , f ( x) ? 0 ,即 ? x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ? ?2 ,∴x ? ?2 ; 当 ?2 ? x ?
1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 1 ? 2 x ? x ? 2 ? ?3 x ? 1 , 2

1 1 1 f ( x) ? 0 ,即 ?3x ? 1 ? 0 ,解得 x ? ? ,又 ?2 ? x ? ,∴?2 ? x ? ? ; 3 2 3

当x?

1 时, f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? x ? 3 , 2 1 ,∴x ? 3 . 2

f ( x) ? 0 ,即 x ? 3 ? 0 ,解得 x ? 3 ,又 x ?

……3 分

1? ? 综上,不等式 f ( x) ? 0 的解集为 ? ??, ? ? 3? ?

(3, ??) .

……5 分

? ? ? x ? 3, x ? ?2 ? 1 ? (2) f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | x ? 2 |? ??3 x ? 1, ?2 ? x ? 2 ? 1 ? x ? 3, x ? ? ? 2

5 ?1? ∴ f ( x)min ? f ? ? ? ? . 2 2 ? ?

……8 分

5 ∵?x0 ? R ,使得 f ( x0 ) ? 2m 2 ? 4m ,∴4m ? 2m 2 ? f ( x) min ? ? , 2
1 5 整理得: 4m 2 ? 8m ? 5 ? 0 ,解得: ? ? m ? , 2 2 1 5 因此 m 的取值范围是 (? , ) . 2 2
…… 10 分


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