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沈阳铁路实验中学2011-2012学年高二上学期期末考试数学(文)


一、选择题(共 12 道小题,每小题 5 分,共计 60 分) 1.在 ?ABC 中,角 A,B 均为锐角,且 cos A > sin B ,则 ?ABC 的形状是( A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 ) )

2.“点 M 在曲线 y = |x|上”是“点 M 到两坐标轴距离相等”的( A.充要条件 C.充分不必要条件 B.必要不充分条件

D.既不充分又不必要条件 )

3.等差数列 ?an ? 中, a1 ? a4 ? a7 ? 39 , a3 ? a6 ? a9 ? 27 ,则数列 ?an ? 前 9 项的和 S9 等于( A.66 B.99 C.144 D.297 )

4.已知抛物线 C1 : y ? 2 x 2 与抛物线 C 2 关于直线 y ? x 对称,则 C 2 的准线方程是( A. x ? ?

1 8

B. x ?

1 2

C. x ?

1 8

D. x ? ?

1 2


5.等比数列 {an } 中,公比 q ? 1 ,且 a1 ? a6 ? 8 , a3a4 ? 12 ,则

a6 等于( a11
1 1 或 3 6

A.

1 2

B.

1 6


C.

1 3

D.

6.下列有关命题的说法正确的是(

2 A.“ x ? 1 ”是“ x ? 1 ”的充分不必要条件.

B.“ x ? ?1 ”是“ x ? 5 x ? 6 ? 0 ”的必要不充分条件.
2

C.命题“ ?x ? R , 使得 x ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“ ?x ? R ,均有 x ? x ? 1 ? 0 ”.
2 2

D.命题“若 x ? y ,则 sin x ? sin y ”的逆否命题为真命题. 7. 双曲线 x ? y ? 1 右支上一点P(a, b)到直线 l:y = x 的距离 d ?
2 2

2 则 a+b=(



1 A.– 2

B.

1 2

C.

1 1 或? 2 2

D.2 或–2

?x ? 4 y ? ? 3 ? 8.已知目标函数 z=2x+y 且变量 x,y 满足下列条件 ?3 x ? 5 y ? 25 ,则( ?x ? 1 ?
A.zmax = 12,zmin = 3 C.无最大值,zmin = 3 B.zmax = 12,无最小值
[来源:学§ 网 Z§ X§ 科§ X§ K]



D.无最小值也无最大值

◆1◆

9. 若曲线 y ? x A.64

?

1 2

在点 ? a , a

? ?

?

1 2

? ? 处的切线与两个坐标 围成的三角形的面积为 18,则 a ? ( ?
C.16 ) D.15 ) D.8



B.32

1 4 10.设 x,y 为正数, 则(x+y)( + )的最小值为( x y A. 6 B.9 C.12

11.已知抛物线 y 2=-x 与直线 y=k(x + 1 )相交于 A、B 两点,则△AOB 的形状是( A.等腰三角形 C.等腰直角三角形 12. 已知点 P 在曲线 y ? A.[0,
x

B.直角三角 形 D.钝角三角形

? ) 4

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是( e ?1 ? ? ? 3? 3? ] ,? ) B. [ , ) C. ( , D. [ 4 2 2 4 4



二、填空题(共 4 道小题,每小题 5 分,共计 20 分) 1 3.已知下列不等式: (1) x ? 3 ? 2 x ( x ? R )(2) a ? b ? a b ? a b ( a, b ? R )(3) , ,
2 5 5 3 2 2 3

,其中正确的个数为 a2 ? b2 ? 2 ? a ? b ? 1? ( a, b ? R )
2 2

个. .

14. 若方程

y x ? ? ?1 表示焦点在 y 轴上的双曲线, 则它的半焦距 c 的取值范围是 | k | ?2 1 ? k
2 2

15. 设 a, b ? R, a ? 2b ? 6 ,则 a ? 2b 的最大值是

.

16.若点 A 的坐标为(3,2),F 为抛物线 y2=2x 的焦点,点 P 为抛物线上一动点, 为使| PA | + | PF |取最 小值,P 点坐标为________ .

三、解答题(共 6 道题,共计 70 分) 17 . 已 知 p : |1 - 求实数 m 的取值范围. 18. 在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且满足 csinA=acosC. (1)求角 C 的大小; (2)求 3 sin A ? cos( B ?

x ?1 |≤2,q:x2 - 2x+1 - m2≤0(m>0), 若 ? p 是 ? q 的 必 要 而 不 充 分 条 件 , 3

?
4

) 的最大值,并求取得最大值时角 A、B 的大小.

19.双曲线 C :

x2 y2 ? ? 1 上一点 (2, 3) 到左,右两焦点距离的差为 2. a2 b2

(1)求双曲线的方程; (2)设 F1 , F2 是双曲线的左右焦点, P 是双曲线上的点,若 | PF1 | ? | PF2 |? 6 ,

◆2◆

求 ?PF F2 的面积; 1

[来源:学科网 ZXXK]

(3) ? ?2,0 ? 作直线 l 交双曲线 C 于 A, B 两点, OP ? OA ? OB , 过 若 是否存在这样的直线 l , OAPB 使 为矩形?若存在,求出 l 的方程,若不存在,说明理由. 20.设数列 ?an ? 的前项 n 和为 S n ,若对于任意的正整数 n 都有 S n ? 2an ? 3n . (2)求数列 ?nan ? 的前 n 项和.

??? ?

??? ??? ? ?

(1)设 bn ? an ? 3 ,求证:数列 ?bn ? 是等比数列,并求出 ?an ? 的通项公式;

21. 在平面直角坐标系 xoy 中,经过点 0, 2 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆

?

?

x2 ? y 2 ? 1有两个不同的交点 2

P和Q .
(1)求实数 k 的取值范围; (2) 设椭圆与 x 轴正半轴,y 轴正半轴的交点分别为 A, B , 是否存在常数 k , 使得向量 OP ? OQ与AB 共线?如果存在,求 k 的值;如果 不存在,请说明理由.

??? ??? ??? ? ? ?

22.已知函数 f ( x) ? x3 ? 2bx2 ? cx ? 2 的图象在与 x 轴交点处的切线方程是 y ? 5x ? 10 . (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设函数 g ( x) ? f ( x) ? 值时对应的自变量 x 的值.

1 mx ,若 g ( x) 的极值存在,求实数 m 的取值范围以及函数 g ( x) 取得极 3

◆3◆

沈阳铁路实验中学 2011-2012 学年度上学期期末试题(文) 数学答案

三、解答题(共 6 道题,共计 70 分) 17.解:由题意知: 命题:若 ? p 是 ? q 的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为:p 是 q 的充分不必要条件.
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

x ?1 x ?1 x ?1 |≤2 ? -2≤ -1≤2 ? -1≤ ≤3 ? -2≤ x≤10 3 3 3 q:x2-2x+1-m2≤0 ? [x-(1-m)] [x-(1+m)]≤0 *
p:|1- ∵p 是 q 的充分不必要条件, ∴不等式|1-

[来源:学_科_网]

x ?1 |≤2 的解集是 x2-2x+1-m2≤0(m>0)解集的子集 3

又∵m>0 ∴不等式 * 的解集为 1-m≤x≤1+m

?1 ? m ? ?2 ?m ? 1 ∴? ,∴m≥9, ?? ?1 ? m ? 10 ?m ? 9
∴实数 m 的取值范围是[9,+∞ )

(II)由(I)知 B ?

3? ? A 于是 4

◆4◆

3 sin A ? cos( B ? ) ? 3 sin A ? cos(? ? A) 4 ? 3 sin A ? cos A ? 2sin( A ? ). 6 3? ? ? 11? ? ? ? ?0 ? A ? ,? ? A ? ? , 从而当A ? ? , 即A ? 时, 4 6 6 12 6 2 3
2sin(A+

?

?

? )取最大值 2. 6

综上所述, 3 sin A ? cos( B ? 19.(1) x 2 ? y 2 ? 1

?
4

) 的最大 值为 2,此时 A ?

?
3

,B ?

5? . 12

(2) 妨设 P 在第一象限,则 ?

?| PF1 | ? | PF2 |? 2 ?| PF1 |? 4, | PF2 |? 2 ?| PF1 | ? | PF2 |? 6

? cos?F1 PF2 ?

3 7 ,? sin ?F1 PF ? ,? S ? ? 7 4 4

(3)若直线斜率存在,设为 y ? k ( x ? 2) ,代入 x 2 ? y 2 ? 1 得 (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 1 ? 0(k ? ?1) 若平行四边形 OAPB 为矩形,则 OA ? OB

? x1 x2 ? y1 y 2 ? 0 ?

k 2 ?1 ? 0 无解 k 2 ?1

若直线垂直 x 轴,则 A(?2, 3), B(?2, 3) 不满足. 故不存在直线 l ,使 OAPB 为矩形. 20.解: (1)? S n ? 2an ? 3n 对于任意的正整数都成立, ? S n?1 ? 2an?1 ? 3?n ? 1? 两式相减,得 S n?1 ? S n ? 2an?1 ? 3?n ? 1? ? 2an ? 3n ∴ an?1 ? 2an?1 ? 2an ? 3 , 即 an?1 ? 2an ? 3

? an?1 ? 3 ? 2?an ? 3? ,即 bn ?
∴数列 ?bn ? 是等比数列。 由已知得 S1 ? 2a1 ? 3

an ?1 ? 3 ? 2 对一切正整数都成立. an ? 3

即 a1 ? 2 a1 ? 3 ,? a1 ? 3

∴首项 b1 ? a1 ? 3 ? 6 ,公比 q ? 2 ,?bn ? 6 ? 2n?1 .

?an ? 6 ? 2n?1 ? 3 ? 3 ? 2n ? 3 。

◆5◆

(2) ? nan ? 3 ? n ? 2n ? 3n, ? Sn ? 3(1 ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n ? 2n ) ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), 2Sn ? 3(1 ? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 2 4 ? ? ? n ? 2 n ?1 ) ? 6(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), ? Sn ? 3(2 ? 22 ? 23 ? ? ? 2n ) ? 3n ? 2n ?1 ? 3(1 ? 2 ? 3 ? ? ? n), 2(2n ? 1) 3n( n ? 1) ? 6n ? 2 n ? 2 ?1 2 3n(n ? 1) ? Sn ? (6n ? 6) ? 2n ? 6 ? . 2 ? 3?
21.解: (1)由已知条件,知直线 l 的方程为 y ? kx ? 2 ,代入椭圆方程,



x2 1 ? (kx ? 2)2 ? 1, 整理得( ? k 2 ) x 2 ? 2 2kx ? 1 ? 0. ① 2 2
1 2

2 2 ? 2 由 直 线 l 与 椭 圆 有 两 个 不 同 的 交 点 P和Q , 得 ? ? 8k ? 4( ? k ) 4k ? 2 ? 0, 解 得

2 2 2 2 或k> , 即 k 的取值范围为 (??, ? )?( , ??) . 2 2 2 2 ??? ??? ? ? (2)设 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ), 则 OP ? OQ ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ), k??
由方程①,知 x1 ? x2 ? ?

4 2k ,② 1 ? 2k 2 2 2 ,③ 1 ? 2k 2
[来源:学.科.网 Z.X.X.K]

又 y1 ? y2 ? k ( x1 ? x2 ) ? 2 2 ?

由 A( 2,0), B(0,1), 得 AB ? (? 2,1) .

??? ?

∴ OP ? OQ与AB 共线等价于 x1 ? x2 ? ? 2( y1 ? y2 ), 将②③代入,解得 k ?

??? ??? ??? ? ? ?

2 . 2

由①知 k ? ?

2 2 或k> , 故不存在符合题意的常数 k . 2 2

22.解: (I)由已知,切点为(2,0),故有 f (2) ? 0 ,即 4b ? c ? 3 ? 0 ……①
2 又 f ?( x) ? 3x ? 4bx ? c ,由已知 f ?(2) ? 12 ? 8b ? c ? 5 得 8b ? c ? 7 ? 0 ……②

联立①②,解得 b ? ?1, c ? 1 . 所以函数的解析式为 f ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2
3 2

(II)因为 g ( x) ? x ? 2 x ? x ? 2 ?
3 2

1 mx 3

◆6◆

令 g ?( x) ? 3x ? 4 x ? 1 ?
2

1 m?0 3 1 m ? 0 有实数解, 3

2 当函数有极值时,则 ? ? 0 ,方程 3 x ? 4 x ? 1 ?

由 ? ? 4(1 ? m) ? 0 ,得 m ? 1 . ①当 m ? 1 时, g ?( x) ? 0 有实数 x ?

2 2 ,在 x ? 左右两侧均有 g ?( x) ? 0 ,故函数 g ( x) 无极值 3 3

◆7◆


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