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慎用导数解数列问题


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数 学 通 讯 

2 0 0 6 年第 3 期 

慎用导数解数列问题 
唐   永   徐   秀  
( 江阴一 中, 江苏 2 1 4 4 3 1 )  

中图分 类号 : G 6 3 3 . 6 6  

文献标 识码 : A  

文章编号 : 0 4 8 8 — 7 3 9 5 ( 2 0 O 6 ) o 3 — 0 0 2 0 一 O 2  

导数 , 作为高中数学的新增内容之一, 为 
解题教学和教研注入了新 的活力 , 更是解决  函数单调性 问题 的有力工具 . 由于数列可看  作是特殊的函数 , 所 以许多学生 自然而然就  想到用导数来解决有关数 列单调性 问题 . 但  由于未能深入理解导数知识 的背景 、 吃透其  含义 , 未能准确把握数列单调性与函数单 调  性的联 系和区别 , 没有对其进行有 机地 “ 整 

(  >O ) , 贝 0 厂( z ) =2 0 x一3 x   .  

令 厂(  ) >0得 0 <z <  ;  
厂(  ) <0 得  >   或. z <0 _   .  
? .


厂 ( z ) 在 区间 ( 0 ,   ) 上是增 函数 , 在 

区间(   , 十∞) 是减函数 .  

合” , 从而导致诸多错误 . 下面摘取学生的几  例典型错误 , 加 以分析 , 旨在 引起 同行 的注 
意.  

因此 , 当 z:   时 函数 , ( z) 取得最大 
值.  

例 l 已知数列 l a   } 的通项 a   =   ( 1 0  

对  ∈N + , f (  ) =n 2 ( 1 O 一  ) .  
’ .

一n )(  ∈N + ) , 求数列 { a   } 的最大项 .  
错解  设 , (  ) =   ( 1 0一   )( 咒∈   N + ) , 则 厂(  ) =2 0 n 一3   = .  
^ 九  

‘ f ( 7 )  1 4 7 >f ( 6 ) =1 4 4 ,. ’ . 厂 (  ) 一 

=1 4 7 , 即数列 { 口   } 的最大项为 口 , =1 4 7 .   当然 , 本题仍可 利用数列本 身的性质给  以解决 . 若a  是数列 { 口   } 中最大项,  


令 厂(   ’ ) >0 得0 <  <  ; 厂(  ) <0  
^ n 

得  >   或  <0 .  
J 
, '九  
‘ .

则  主   ¨ ;  
J  



f (  ) 在 区间( 0 ,   ) 上是增 函数 , 在 
由不等式组可解得 
≤ ≤  .  

; ’  
由   ∈N+ 知  =7 ,. 。 . n  =1 4 7 ,即数  列{ n   } 的最大项为 口 , ;1 4 7 .  

^n 

区间(  , +。 o ) 是减函数.  
J  
。 . 

∈N + ,. ‘ .当  =7时, f (  ) m 舣=   数列 { a   } 的最大项为 a , =1 4 7 .  

1 4 7.  




分析 : 结果是正确的, 但其解题过程是错  误的, 原因是导数是定义在连续 函数上的 。 而 

例 2 已知数列 { a   } 是递增数列 , 且对  任意的正整数  , n   =   十   恒成立, 求实  数 b的取值范围.  

对于  ∈N + , f (  ) 是 离散 函数 , 不存在 导 
数, 因而不能对其求导 .   正解 作辅助函数 . 厂 (  ) =   ( 1 0 一z)  
收稿 日期 : 2 0 0 5~1 O一1 5  

错解

因{ a   } 是递增数列 , 所以口   =  。  

作者简介: 唐永( 1 9 7 0 一) , 男, 安徽灵壁人 , 江苏省江阴市第一中学高级教师, 硕士 

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2 0 0 6年第 3 期 

数 学 通 讯 

2 1  

+   在[ 1 , 十c o ) 上是单调递增 函数 , 故辅助  函数 f ( . 2 7 ) m a r .   +b x在 [ 1 , +o o ) 上是单调  递增 函数 , . ‘ . 厂( . 2 7 ) =2   +b f o在 [ > 1 , +   o o ) 上恒成立 , 即b ≥一 2 x在 [ 1 , 十∞) 上恒  成立 , 又一 2 x在[ 1 , +∞) 上最大值为 一 2 , 故 
6 f 一2 > .  

? . .

1 n a <  ̄ 一 1 , 即 o < n ≤ ÷ .  
对于 0 <口<1 , , 2 ∈N+, a   >口   + l  

正解

甘, 2 , a n >( , 2 +1 ) a n + l 甘口 <  

.  

分析: 以 上解 答 由   { a   } 是递增 数列 , 断定 

因 为   1 一   的 最 小 值 为 号 ( , z  
n ¨ j   1l  
J  

=1 时取最小值) , 所以 a的取值 范围为 ( 0 ,  

函数 a   =, 2   +b n在[ 1 ,   +∞) 上单调 递增 是错  误的. 由于数 列 通 项公  式中的 l " t 是 正整数 , 而  不是取 [ 1 , 十∞) 内的任 

. 

D   \1 \ l i !   2 / j   / , 3   n  

i/一   丢 ) .  
评注: 由于( 0 , ÷) c( o , 告) , 可见以 上两  
种结果截然不同, 上述错解错在 f ( , z ) >厂 ( , z   十1 )( , 2 ∈N + ) 恒成立 , 并推不 出 f ( z ) 在区  间[ 1 , +o o ) 上 为减 函数 , f ( , 2 ) >f(   十1 )   ( , 2 ∈N + ) 恒成立是 函数 f ( z ) 在 区间[ 1 , +  

图 1  

意实数 , 如图 1 该 图象表示 的数列 { a   } 显然 
, 

是递增数列 , . 但此时对称轴 一   o>1 , 即b <  


2 , 并不满足 6 f 一2 > .   正解 由于 { 口   } 是递增数列 , 由数列 的  

∞) 上为减 函数的必要而不充分条件 , 二者之  间并非等价 !   事实上 , 令f ( x ) =n   ( 1 +x | h a ) =0 得 
z=l o g   ,  

单调性知 , a   <  + l ,即 a   + l —a   >0 对任  意, 2 ∈N + 恒成立 , 将a   =   十   代入化简 
可得 b > 一( 2 n+1 ) ,又因为 一( 2 , 2 +1 ) ~ 

当  ∈( 一 ∞, l o g   ÷) 时, 厂(   ) > o , f  
( z ) 为增函数 ;  

:一 3 , 因此 b >一 3 , 即为所求实数 b的取值 
范围 .  

例3   已知 数列 { a   } 的通 项 为 a   =   , l ? 1 2 ”( 0 <口 <1 ) 且1 2   >口   + l 对所有正整数 

当z ∈ ( 1 o g   ÷, 十 ∞ ) , 厂( z ) < 0 , f ( x )  

为 减函 数, 所以z  l o g 。 ÷ 是函 数厂 ( z ) 的 极  
1) 时, z=l o g 。   大值点. 而 当 a∈(   e ,  
∈ 

, z 均成立 , 求 a的取值范围.   错解 依题意 即根据 { a   } 是递减数列 ,  
确定 a的取值范围.   作辅助函数 f( z ) =z? a   ( 0 <a <1 , , 2 7  
j1 > ) ,   则a   >口 川( , 2 ∈N + ) 恒成立甘厂 ( , 2 ) >  

( 1 , 2 ) 即函 数, ( z ) 在区间 [ 1 , l o g   ÷) ( c[ 1 ,  
2 ] ) 上为 增函 数, 在[ 1 o g 。 ÷, 十 o o ' ] 为 减函 数  
( , ( z ) 在 区间 [ 1 , +o o ) 上并 非减 函数 ) , 但  f ( 1 ) =a , / ( 2 ) =a   , 仍有f ( 1 ) >f ( 2 ) >   f ( 3 ) >? ? : >, ( , 2 ) >…( , 2 ∈N+ ) 成立 .  
通过以上几例我们可 以发现, 数列 的单  调性 与 函数 的单 调性 出 现 了不 和谐 的 “ 音 

f (  +1 )( 扎 ∈N+ ) 恒成立臼 函数 f ( x ) 在区   间[ 1 , +∞) 上为减函数甘, ( z ) ≤0 在[ 1 , +   o o ) 恒成立 .   因为 厂( . 2 7 ) =(  ? a   )   =a   ( 1 十a c l n a ) ,  

由厂( , 2 7 ) ≤0在 [ 1 , 十∞) 恒成立, 即 1 +  
x l n   a ≤0( , 2 7 j >1 ) 恒成立 ,  
1  






1 n a ≤一   ( 卫 ≥1 ) 恒成立 ,  
1  

符” , 二者并不总是统一一致的 , 将数列 问题  简单 的函数化 , 极 易出现错误 . 因此, 在涉及  数列问题时我们应该更多地首先想到数列 自   身的特征 , 利用数列 自身所具有 的性质解题.  







1 n 口 ≤( 一 — _ l )  ,  

.  


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