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2.1数列的概念与简单表示法


第二章

数列

数列的概念与简单表示法

8

7

6

5

4

陛下,赏小 人一些麦粒 请在第一个格 请在第三个格 请在第四个格 子放 1 颗麦粒 子放 4 颗麦粒 就可以 。 请在第二个格 子放 8 颗麦粒 依次类推 ……
子放2颗麦粒

8 7 6 5 4 64个格子 你想得到 3 什么样的 2 赏赐? 1 3 2 1

OK

?
64个格子

8

7

6

5

4

3

2

1

8 7 6 5 4 3 2 1

你认为国王 有能力满足 上述要求吗

每个格子里的麦粒数都是 前 一个格子里麦粒数的 2倍 且共有 64 格子

2 1

0

2 2 18446744073709551615

2

1

2

3

63 ?? ? 2

传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题:

三角形数

1,

3,

6,

10,

.…..

正方形数 1, 4, 9, 16, …… 提问:这些数有什么规律吗?

?上述棋盘中各格子里的麦粒数按先后次序排成一列数:

1 , 2, 2 , 2 , ??2
2 3

63

三角形数:1,3,6,10,· · · 正方形数:1,4,9,16,· · ·

?1,2,3,4……的倒数排列成的一列数: 1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4 ?高二(10)班每次考试的名次由小到大排成的一列数:

1, 2, 3, 4, ??66

?-1的1次幂,2次幂,3次幂,……排列成一列数:

?1 , 1 , ?1 , 1??

?无穷多个1排列成的一列数:

1 , 1 , 1 , 1 , ??

1,3,6,10,· · ·
2 3

1,4,9,16,· · ·
63

1 , 2, 2 , 2 , ??2
1 1 1 1, , , , ?? 2 3 4

1

2 3 4 5

1 , 2, 3, 4, ??35

?1 , 1 , ?1 , 1??

1 , 1 , 1 , 1 , ?? 共同特点:
1. 都是一列数;

2. 都有一定的顺序

定义:按一定顺序排列着的一列数称为
问1: 数列
3

(数列具有有序性) 1,2 , 3 ,… ,66 改为
请问:是不是同一数列?

3 , 2 ,1 ,… ,66
问2: 数列
4

-1,1,-1,1…… 改为:

1,-1,1,-1……,请问:是不是同一数列?
想一想: 数列与集合的区别是什么?

思考:数列与集合的概念有何区别
(1)数列{an}中是一列数,而集合中的元素 不一定是数; (2) 数列{an}中的数是有一定次序的,而集 合中的元素没有次序; (3) 数列{an}中的数可以重复,而集合中的

元素不能重复。

数列中的每一个数叫 做这个数列的项。 有穷数列 递增数列 1 1 1 各项依次叫做这个数列 1 , ,, , ?? 的第1项,第2项,· · · · · · , 2 3 4 无穷数列 递减数列 第n项, · · · · · · 1 , 2, 3, 4, ??35 数列的分类 有穷数列 递增数列 (1)按项数分: 1 , 1 , 1 , 1 , ?? 项数有限的数列叫有穷数列 无穷数列 常数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系:

1 , 2 , 22, 23, ??263

1

2

3

4

?1 , 1 , ?1 , 1??
无穷数列

5

递增数列, 递减数列,

摆动数列

摆动数列, 常数列。

如果数列 ?an ?的第n项 与项数之间的关系可以用一 个公式来表示, 那么这个 公式就叫做这个数列的 通项公式。

? 第n项 数列的一般形式可以 a1 a2 a3 ? an 写成: a1,a2,a3, ?,an ?, 1 1 20 , 21 , 22 , ? , 2n?, ? , 263 简记为?an ? 其中 an是数 ?2n?1 ?(n ? N * , n ? 64) an? 2n?1 1 1 1 1 ? , , 列的第n项。 ? , , , 1 1 2 3
第1项 第2项 第3项

1

1, 2

{

1 } (n ? N * ) n, ?

n

2

3 ,
*

{ n } (n ? N , n ? 35) an? n n ? ? -1 , 1 , -1 , , (-1) ,

,

n,

an

?? , 35

1 n

3

a n ? (-1)n (n ? N * ) 1 , 1 , 1 , ?, 1 , ? 0 n a n ? 1 或 a n n (n ? N * )

4

?

5

例1:写出下面数列的一个通项公式,使 它的前4项分别是下列各数:
1 1 1 (1) 1, ? ,, ? ; 2 3 4 (2) 2, 0, 2, 0;
根据数列的前若干项写 出的通项公式的形式唯 一吗?请举例说明。

注意:①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
a n为 通 项 的 数 列 , 即 {a n }表 示 ③ {a n }表 示 以 数 列a1,a 2,a 3, ?,a n ?; 而a n 表 示 这 个 数 列{a n }中 的 第 n项 , 其 中 n表 示 项 的 位 置 序号。

数列是一种特殊的函数 数列与函数的关系:
对于数列中的每个序号n,都有唯一的一个数(项) an与之对应. 序号n 1 2 3 4 ……64 (自变量)

可以认为:

项 an 1

2 2 2 23
n?1

…… 263

(函数值)

an ? f (n) ? 2 从函数的观点看, 数列的项 是 序号 的函数。
? N 数列可以看作是一个定义域为正整数集 ( 或它的

有限子集{1,2,…,n})的函数, an ? f 从小到大依次取值时对应的一列函数值。

?n?,即当自变量

每个序号也都对应着一 个数(项)

例1:设某一数列的通项公式为 an
序号

数列的实质

1

2

3

4

?

? n( n ? 1)

从映射的观点看, 数列可以看作是: 序号 项 2 6 12 20 到 数列项 的映射 例2 高二(10)班考试名次由小到大排成的一列数 从函数的观点看, 66 2 序号 1 3 数列项 是序号 的函数。 即,数列可以看作是一 66 个定义域为正整数集 N * 项 1 2 3 ( 或它的有限子集{1 函数值 y=f(x) 自变量 ,2,…,n})的函数 ,当自变量从小到大依 序号 (正整数 n 通项 次取值时对应的一列函 项 或它的有限 数值。 公式 子集)

?

? ?

a

n

数列是一种特殊函数!
x
1 2 2.5 4 4.5

定义域是 N*(或它的 有限子集)

y
3 4 5 6 7

n

1 2 3 4 5

an a1 a2 a3 a4 a5

通项公式:数列{an}的第n项an与n的关系式

3.数列与函数 对于数列中的每个序号n都有唯一的 一个数(项)an与之对应.
项数n 1 2 3 4 ……64 (自变量n)
…… 263

项 an 1

2

2 2 23

(函数值an )

可以认为: an

? f ( n)

数列是一种特殊的函数

20 18 16 14 12 10 8 6 4 2 0 1 2 3 4 5

an ? n( n ? 1)的图象
是些孤立点

6

7

8

9

10

5
做出常数数列: 4,4,4,4,?图象

4

3
做出摆动数列: -1 , 1 , -1 , 1 , ?图象

2

1
0 -1 1 2 3 4 5

我们好孤单! 我们好孤单!

数列用图象表示时的特点——一群孤立的点
例2. 下图中的三角形称为谢宾斯基三角形,在下图4个 三角形中,着色三角形的个数依次构成一个数列的前 4项,请写出这个数列的一个通项公式,并在直角坐标 系中画出它的图象.

( 1)

( 2)

( 3)

( 4)

an = 3

n- 1

如果一个数列 {an }的首项a1 ? 1,从第2项起每一项等于它 的前一项的2倍再加上1,即 an ? 2an?1 ? ( 1 n ? 1) 那么 a2 ? 2a1 ? 1,
a3 ? 2a2 ? 1, ? 象这样给出数列的方法 叫做递推法,其中

a n ? 2a n ?1 ? ( 1 n ? 1) 称为递推公式。
如果已知数列 {an }的第1项(或前n项),且任一项 an与它 的前一项an? (或前 n项)间的关系可以用一 个公式来表示, 1 那么这个公式就叫做这 个数列的递推公式。 递推公式也是数列的一种表示方法。

例3:设数列 {an }满足 ?a1 ? 1, ? ? a ? 1 ? 1 (n ? 1) . n ? a n ?1 ? 写出这个数列的前 5项。

3 5 8 1 , 2, , , 2 3 5

二、新课讲解
1 例3. 已知a1 ? 1, an ? 1 ? (n ? 2), 写出这个数列 an?1 的前5项. 解:∵a1=1
1 1 ? a2 ? 1 ? ? 1? ? 2 a1 1

1 1 3 a3 ? 1 ? ? 1? ? a2 2 2 1 2 5 a4 ? 1 ? ? 1 ? ? a3 3 3 1 3 8 a5 ? 1 ? ? 1 ? ? a4 5 5

1.通项公式能够很清楚的表示数列中项数和 项的关系; 2.由通项公式可以求出数列中的每一项.
例1: 根据下面数列的通项公式,写出前5项.

n (1)an ? ; n ?1
n

1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6

(2)an ? (?1) ? n
(3)an ? (?1) ? n
n?1 2

? 1,2,?3,4,?5
1,?4,9,?16,25

例1、 写出下面数列的一个通项公式,使它的 前4项分别是下列各数:

an ? 2n ? 1 ( 1 ) 1,3,5,7; 2 an ? (n ? 1) (2) 4, 9, 16 , 25 ; 1 1 1 a ? (?1) n ?1 1 (3)1 , ? ,, ? ;n n 2 3 4 n?1 an ? 1 ? (?1) (4) 2, 0, 2, 0。

例1 根据下面数列?an ?的
通项公式,写出它的前5项:
n ( 1) a n ? n ?1

(2) an ? ?? 1? ? n
n

解:(1)在通项公式中依次取 n =1,2, 3,4,5,得到数列 ?an ?的前5项为 1 2 3 4 5 , , , , . 2 3 4 5 6 (2)在通项公式中依次取n=1,2, an ? 5项为 3,4,5,那么数列 ? 的前

-1,2, - 3,4, - 5.

例2 写出数列的一个通项公式, 使它的前4项分别是下列各数: (1)1,3,5,7; 解:此数列的前四项1,3,5,7都 是序号的2倍减去1,所以通项公式 是:

an ? 2n ? 1

( 2)

2 ?1 3 ?1 4 ?1 5 ?1 , , , ; 2 3 4 5
2 2 2 2

解:此数列的前四项的分母都
是序号加1,分子都是分母的平方减 去1,所以通项公式是:

an

? n ? 1? ?

? 1 n?n ? 2 ? ? n ?1 n ?1
2

1 1 1 1 , ,? , . ( 3) ? 1? 2 2 ? 3 3 ? 4 4 ? 5
解:此数列的前4项的绝对值都等
于序号与序号加上1的积的倒数,且奇数 项为负,偶数项为正,所以通项公式是:

? ? 1? an ? n?n ? 1?
n

思考题:
1、 写出下列数列的一个通项公式: (1)1,-1,1,-1;

(2)2,0,2,0;
(3)9,99,999,9999; (4)0.9,0.99,0.999,0.9999。

答案: (1)

an ? ?? 1?

n ?1 n ?1

(2)
(3)

an ? 1 ? ?? 1? an ? 10n ? 1 an ? 1 ? 10
?n

(4)

观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出每个 数列的一个通项公式:

(1)2,4, (8 ),16,32, (64 ),128

( 2)(1 ),4,9,16,25, (36 ),49
1 1 1 1 1 1 ( 3) - 1, , ( - ), ,- , , ( - ) 7 2 3 4 5 6

(4)1, 2, ( 3 ),2, 5 , ( 6 ), 7 2 n ⑵ a =n n ⑴a =2

1 (3)an ? (?1) n
n

n

(4)an ? n

本节课学习的主要内容有: 1、数列的有关概念 2、数列的通项公式; 3、数列的实质; 4、本节课的能力要求是:

(1) 会由通项公式 求数列的任一项;
(2)会用观察法由数列的前几项 求数列的通项公式。


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