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2015学年嘉定区数学试卷一模卷(理科答案)


2015 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(理)参考答案及评分标准
一.填空题(每题 4 分,满分 56 分) 1.

1 2

2. {x ? 1 ? x ? 0 , x ? R}(或 [ ?1 , 0) )

3.

1 3

4. 2

5. arccos 9.

10 5
10.

6.

3 ? 3
11. 3

7.

7 9

8.

2015 2016

3 4

1 4

12. 4

13. 100

14. (?? , ? 1) ? (1 , ? ?)

二.选择题(每题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.C 17.A

18.C

三.解答题(共 5 题,满分 74 分)答案中的分数为分步累积分数 19.本题 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. C E D B D F B C

?
③ A

60 ?
A

④ (1)如图③,当倾斜至上液面经过点 B 时,容器内溶液恰好不会溢出, 此时 ? 最大. …………………………………………………………………(2 分) 解法一:此时,梯形 ABED 的面积等于 20 ? 400( cm ) ,
2 2

………………(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 DE ? 30 ? 20 tan ? , S ABED ? 即

1 ( DE ? AB ) ? AD , 2

1 ? (60 ? 20 tan ? ) ? 20 ? 400 ,解得 tan ? ? 1 , ? ? 45? . ………………(5 分) 2 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . ……………(6 分) 解法二:此时,△ BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积,
即 S?BEC ? 200( cm ) ,
2

……………………………………………………(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 S ?BEC ?

解得 tan ? ? 1 , ? ? 45? . …………………………………………(5 分) 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . …………(6 分)
1

1 1 ? BC ? CE ? ? BC 2 ? tan ? ,即 200 tan ? ? 200 , 2 2

(2)如图④,当 ? ? 60? 时,设上液面为 BF ,因为 ?CBD ? arctan 所以点 F 在线段 AD 上,

3 ? 60? , 2

………………………………………………………(1 分)

此时 ?ABF ? 30? , AF ? AB ? tan30? ? 10 3 ,

S?ABF ?

1 ? AB ? AF ? 150 3 ( cm2 ) , 2

………………………………………(3 分)
3

剩余溶液的体积为 150 3 ? 20 ? 3000 3 ( cm ) , …………………………(4 分) 由题意,原来溶液的体积为 8000 cm , 因为 8000? 3000 3 ? 3000,所以倒出的溶液不满 3000 cm . …………(5 分)
3 3 所以,要倒出不少于 3000 cm 的溶液,当 ? ? 60? 时,不能实现要求.……(6 分) 3

20.本题 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分. (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x

? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 6? ?
? ?

………………………………………………………(3 分)

当 f ( x) 取最小值时, sin ? 2 x ?

??

? ? ? ? ?1 , 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z ,……(6 分) 6 2 6?

所以,所求 x 的取值集合是 ? x x ? k? ?

? ?

?

? , k ? Z? . …………………(7 分) 6 ?
…………………………(1 分)

(2)由 f (C ) ? 2 ,得 sin? 2C ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? 所以 2C ?

? ?

??

? ?1, 6?

?
6

? 2C ?

2 2

?
6

?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

11? , 6
……………………………………(3 分)

在△ ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ,
2

………………(4 分)

得 3 ? a ? b ? ab ? ab ,即 ab ? 3 ,
2 2

…………………………(5 分)

所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 3 absin C ? ? 3 ? ? , ……………(6 分) 2 2 2 4 3 3 . 4
2

因此△ ABC 的面积 S 的最大值为

……………………(7 分)

21.本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ( 1 ) 解 法 一 : 函 数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的 定 义 域 为 R , 因 为 f ( x) 是 奇 函 数 , 所 以

f (0) ? k ? 1 ? 0 , k ? 1 . …………………………………………………………(3 分)
当 k ? 1 时, f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a? x ? a x ? ? f ( x) , f ( x) 是奇函数. 所以,所求 k 的值为 1 . ………………………………………………………(6 分)

解法二:函数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的定义域为 R , 由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即k ?a
?x

……………………………………(2 分)

? a x ? a ? x ? k ? a x , (k ? 1)(a x ? a? x ) ? 0 , …………………………(4 分)
?x

因为 a ? a
x

? 0 ,所以, k ? 1 . ………………………………………………(6 分)
8 1 8 1 ,得 a ? ? ,解得 a ? 3 或 a ? ? (舍) . 3 a 3 3
x ?x

(2)由 f (1) ?

…………(2 分)

所以 g ( x) ? 32 x ? 3?2 x ? 2m(3x ? 3? x ) ,令 t ? 3 ? 3 ,则 t 是关于 x 的增函数,

t ? 3?
当m ?

1 8 ? , g ( x) ? h(t ) ? t 2 ? 2mt ? 2 ? (t ? m)2 ? 2 ? m2 ,……………(2 分) 3 3
8 8 8 ?8? 时,则当 t ? 时, g ( x)min ? ? ? ? 2m ? ? 2 ? ?2 , 3 3 3 ? 3?
2

解得 m ? 当m ?

25 ; 12

………………………………………………………………(5 分)

8 2 时,则当 t ? m 时, g ( x)min ? 2 ? m ? ?2 , m ? ?2 (舍去) .……(8 分) 3 25 综上, m ? . (本行不写不扣分,每讨论一种情况正确得 3 分) 12
22.本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. (1)设 P( x , y) ,由题意, 化简得 3x ? 4 y ? 12 ,
2 2

( x ? 1) 2 ? y 2 1 ? , ……………………………(2 分) | x?4| 2
………………(3 分)

x2 y 2 ? ? 1 . ………………………………(4 分) 所以,动点 P 的轨迹 C 的方程为 4 3
2 2 (2) 设 N ( x , y) , 则 | MN |2 ? ( x ? m) 2 ? y 2 ? ( x ? m) 2 ? 3? ?1 ? 4 ? ? ? 4 x ? 2m x ? m ? 3 ? ?

?

x2 ?

1

3

1 ( x ? 4m) 2 ? 3(1 ? m 2 ) , ? 2 ? x ? 2 . ………………………………(2 分) 4 1 ①当 0 ? 4m ? 2 ,即 0 ? m ? 时,当 x ? 4 m 时, | MN |2 取最小值 3(1 ? m2 ) ? 1, 2 ?
解得 m ?
2

2 6 4 6 ,m ? ,此时 x ? ? 2 ,故舍去. 3 3 3

…………………(4 分)

1 ? m ? 2 时,当 x ? 2 时, | MN |2 取最小值 m2 ? 4m ? 4 ? 1 , 2 m ? 1 m 解得 ,或 ? 3 (舍) . …………………………………………………(6 分) 综上, m ? 1 .
②当 4 m ? 2 ,即 (3)解法一:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , (1 分) 4 x1 x2 4

| AB |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ,
2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . …………(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

①当 x1 ? x2 时,则四边形 ABA 1B 1 为矩形, y2 ? ? y1 ,则

y12 3 ? , x12 4

? ? x12 ? 3 2 x12 ? 3 2 2 由 y ? 3? ?1 ? 4 ? ? ,解得 x1 ? 2 , y1 ? 2 , ?1 ? 4 ? ? ,得 4 x1 ? 3? ? ? ? ?
2 1

S ?| AB | ? | A1B |? 4 | x1 || y1 | ? 4 3 .

……………………………………(3 分)

②当 x1 ? x2 时,直线 AB 的方向向量为 d ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ) ,直线 AB 的方程为

?

( y2 ? y1 ) x ? ( x2 ? x1 ) y ? x2 y1 ? x1 y2 ? 0 , 原 点 O 到 直 线 AB 的 距 离 为

d?

| x1 y2 ? x2 y1 | ( x2 ? x1 )2 ? ( y2 ? y1 )2
1 1 ? | AB | ?d ? | x1 y2 ? x2 y1 | , 2 2

所以,△ AOB 的面积 S ?AOB ?

根据椭圆的对称性,四边形 ABA 1B 1 的面积 S ? 4S?AOB ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分) 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2

4

2 ? ? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x12 ? 1 ? ? x x ? 3 x 1 ? 2? ? ? 2 1 2 ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . 4 4 ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

……………………………………(6 分)

解法二:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) , 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4

…………………………………………(1 分)

2 1 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y12 ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?
2 2 2 2 2 所以, 9 x1 x2 ? 16y12 y2 ? 9(4 ? x12 )(4 ? x2 ) ,化简得 x12 ? x2 ? 4 . …………(2 分)

?

x2 ?

?

x2 ?

直线 OA 的方程为 y1x ? x1 y ? 0 ,点 B 到直线 OA 的距离 d ? △ ABA 1 的面积 S ?ABA1 ?

| x1 y2 ? x2 y1 | x12 ? y12



1 ? | AA1 | ?d ?| x1 y2 ? x2 y1 | , 2

……………………(3 分)

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1 所以, S ? 4( x1 y2 ? x2 y1 ) ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 2 2 2 2 2
2 ? 2? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? ? ? ? 4?3x1 ?1 ? ? ? x1 x2 ? 3x2 ?1 ? ? ? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . ? 4? 2 4 ?? ? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 .

………………………………(6 分)

解法三:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则 A1 (? x1 , ? y1 ) , B1 (? x2 , ? y2 ) 由 kOA ? kOB ? ?

3 yy 3 ,得 1 2 ? ? , 4 x1 x2 4
2 1

…………………………………………(1 分)

2 ? x12 ? ? x2 ? 2 因为点 A 、 B 在椭圆 C 上,所以 y ? 3? ?1 ? 4 ? ? , y2 ? 3? ?1 ? 4 ? ?, ? ? ? ?

所以, 9 x1 x2 ? 16y1 y2 ? 9(4 ? x1 )(4 ? x2 ) ,化简得 x1 ? x2 ? 4 . …………(2 分)
2 2 2 2 2 2 2 2

△ ABA 1 的面积 S ?ABA1

x1 1 ? x2 2 ? x1

y1 y1 ? y1

1 1 ?| x1 y2 ? x2 y1 | , ……………………(3 分) 1

5

根据椭圆的对称性,四边形 ABA ? 2 | x1 y2 ? x2 y1 | ,……(4 分) 1B 1 的面积 S ? 2S?ABA 1
2 2 2 2 所以,所以, S 2 ? 4( x1 y2 ? x2 y1 )2 ? 4( x1 y2 ? 2x1x2 y1 y2 ? x2 y1 )
2 ? 2? ? 3 2 2 x2 x12 ?? 2? 2 2 ? 4?3x1 ? ?1 ? 4 ? ? ? 2 x1 x2 ? 3x2 ? ?1 ? 4 ? ?? ? 12( x1 ? x2 ) ? 48 ,所以 S ? 4 3 . ? ? ?? ? ?

所以,四边形 ABA 1B 1 的面积为定值 4 3 . ……………………………………(6 分) 23.本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. (1) z2 ? (1 ? i)(3 ? 4i) ? ?1 ? 7i , z3 ? ?8 ? 6i , z4 ? ?14 ? 2i .…………(4 分) (算错一个扣 1 分,即算对一个得 2 分,算对两个得 3 分) (2)若 OZn ∥ OZ1 ,则存在实数 ? ,使得 OZn ? ?OZ1 ,故 zn ? ? ? z1 , 即 ( xn , yn ) ? ? ( x1 , y1 ) , ……………………(3 分) 又 zn ?1 ? (1 ? i) zn ,故 zn ? (1 ? i)n ?1 z1 ,即 (1 ? i)
n ?1

???? ?

???? ?

? ? 为实数, ………………(5 分)
……………………(6 分) …………(2 分)

故 n ? 1 为 4 的倍数,即 n ? 1 ? 4k , n ? 4k ? 1 , k ? N .

(3)因为 zn ? 4 ? (1 ? i)4 zn ? ?4zn ,故 xn ? 4 ? ?4 xn , yn ? 4 ? ?4 yn , 所以 xn ? 4 yn ? 4 ? 16xn yn ,

……………………………………………………………(3 分)

又 x1 y1 ? 12 , x2 y2 ? ?7 , x3 y3 ? ?48 , x4 y4 ? 28 ,

x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ? ? x100 y100 ? ( x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ) ? ( x5 y5 ? x6 y6 ? x7 y7 ? x8 y8 ) ? ? ? ( x97 y97 ? x98 y98 ? x99 y99 ? x100 y100 )
? (12 ? 7 ? 48 ? 28) ? 1 ? 1625 ? 1 ? 2100 , 1 ? 16
…………………………………………(6 分)

而 x101 y101 ? 1625 x1 y1 ? 12? 2100 , x102 y102 ? 1625 x2 y2 ? ?7 ? 2100 , ………………(7 分) 所以数列 {xn yn } 的前 102 项之和为 1 ? 2
100

? 12? 2100 ? 7 ? 2100 ? 1 ? 2102 .………(8 分)

6


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