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专题六 不等式与推理证明


专题六 不等式与推理证明 1.(2012· 高考福建卷)下列不等式一定成立的是 ?x2+1?>lgx(x>0) A.lg? 4? 1 B.sin x+ ≥2(x≠kπ ,k∈Z) sin x 2 C.x +1≥2|x|(x∈R) 1 D. 2 >1(x∈R) x +1 2.(2012· 高考辽宁卷)若 x∈[0,+∞),则下列不等式恒成立的是 A.ex≤1+x+x2 1 1 1 B. ≤1- x+ x2 2 4 1+x 1 C.cosx≥1- x2 2 1 D.ln(1+x)≥x- x2 8 3.(2012· 高考江西卷)在直角三角形 ABC 中,点 D 是斜边 AB 的中点,点 P 为线段 CD 的 |PA|2+|PB|2 中点,则 = |PC|2 A.2 B.4 C.5 D.10 4.(2012· 高考湖北卷)设 a,b,c,x,y,z 是正数,且 a2+b2+c2=10,x2+y2+z2=40, a+b+c ax+by+cz=20,则 = x+y+z 1 1 A. B. 4 3 1 3 C. D. 2 4 5.(2012· 高考大纲全国卷)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, 3 AE=BF= .动点 P 从 E 出发沿直线向 F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角 7 等于入射角.当点 P 第一次碰到 E 时,P 与正方形的边碰撞的次数为 A.16 B.14 C.12 D.10 6.(2012· 高考重庆卷)设平面点集 1 ? ? ? A=?(x,y)?(y-x)?y-x? ≥0, ? ? ? ? ? 2 2 B={(x,y)|(x-1) +(y-1) ≤1},则 A∩B 所表示的平面图形的面积为 3 3 A. π B. π 4 5 π 4 C. π D. 7 2 b 7.(2012· 高考江苏卷)已知正数 a,b,c 满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,则 的 a 取值范围是________. 8.(2012· 高考湖南卷)设 N=2n(n∈N*,n≥2),将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1, 2, N 的 N 个位置, …, 得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出, N N 并按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3…xN-1x2x4…xN,将此操作称 2 2 N 为 C 变换.将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段 C 变换,得到 P2;当 2≤i≤n-2 时,将 2

N 个数, 并对每段作 C 变换, 得到 Pi+1, 例如, N=8 时, 2=x1x5x3x7x2x6x4x8, 当 P 2 此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第__________个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第__________个位置. 9.(2012· 高考陕西卷)观察下列不等式 1 3 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 …… 照此规律,第五个不等式为 ... Pi 分成 2i 段, 每段 ________________________________________________________________________. ?lnx, x>0, ? 10.(2012· 高考陕西卷)设函数 f(x)=? D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线 ? ?-2x-1, x≤0, 在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x-2y 在 D 上的最大值为________. 11.(2012· 高考湖北卷)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数.如 22,121, 3443,94249 等.显然 2 位回文数有 9 个:11,22,33…,99.3 位回文数有 90 个:101,111, 121,…,191,202,…,999.则 (Ⅰ)4 位回文数有__________个; (Ⅱ)2n+1(n∈N+)位回文数有__________个. 12.(2012· 高考四川卷)记[x]为不超过实数 x 的最大整数.例如,[2]=2,[1.5]=1,[-0.3] ?xn+? a ?? ?xn??(n∈N*).现有下列命题: =-1.设 a 为正整数,数列{xn}满足 x1=a,xn+1=? ? 2 ? ①当 a=5 时,数列{xn}的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列{xn}都存在正整数 k,当 n≥k 时总有 xn=xk; ③当 n≥1 时,xn> a-1; ④对某个正整数 k,若 xk+1≥xk,则 xk=[ a]. 其中的真命题有________.(写出所有真命题的编号) 13.(2012· 高考上海卷)对于数集 X={-1,x1,x2,…,xn},其中 0<x1<x2<…<xn,n≥2, 定义向量集 Y={a|a=(s,t),s∈X,t∈X}.若对任意 a1∈Y,存在 a2∈Y,使得 a1·a2=0, 则称 X 具有性质 P.例如{-1,1,2}具有性质 P. (1)若 x>2,且{-1,1,2,x}具有性质 P,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1∈X,且当 xn>1 时,x1=1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1、x2=q(q 为常数),求有穷数列 x1,x2,…,xn 的通项公式.

1.C

专题六 不等式与推理证明 1 2 1 对于 A,因 x2+ -x=?x-2? ≥0. ? ? 4

1 ∴x2+ ≥x 4 1 2 ∴lg?x +4?≥lgx ? ?

1 当 x= 时,取等号,故 A 不正确; 2 π 对于 B,当 x=- 时,易知 B 不正确. 2 对于 C,x2+1-2|x|=|x|2-2|x|+1=(|x|-1)2≥0 ∴x2+1≥2|x|. 1 对于 D,∵x2+1≥1,∴0< 2 ≤1,故 D 不正确. x +1 2.C A→∞时 y=ex 比 y=1+x+x2 大 B 不恒成立 1 C 令 f(x)= x2+cosx-1 2 f′(x)=x-sinx x∈[0,+∞),f′(x)>0 ∴f(x)单调递增,∴f(x)≥f(0)=0 1 ∴cosx≥1- x2 恒成立,结合两函数图象知,D 项不恒成立. 2

3.D 特值法,如图,设 A(0,4),B(4,0),则 D(2,2),P(1,1). → 则|PA|2=10,|PB|2=10,|PC|2=2, |PA|2+|PB|2 ∴ =10. |PC|2 2 4.C ∵a +b2+c2=10, x2+y2+z2=40 a2+x2 b2+y2 c2+z2 ax≤ ,by≤ ,cz≤ 2 2 2 a+b+c 1 结合柯西不等式知 = . x+y+z 2 5.B 由入射角等于反射角性质,结合解直角三角形,找出碰撞后各线段的大小规律, 从而得出答案. 6.

? 1 由(y-x)·y-x?≥0 ? ? y≥x ?y≤x ? ? ? π 1 得? 1或? 1, A∩B 所表示的图形, 故 如图所示, 由对称性可得所求面积为 S 圆= , 2 2 ?y≥x ?y≤x ? ? 故选 D. b 7.[e,7] ∵a>0,b>0,c>0,∴可用不等式的性质进行变形,构建 的结构求得. a 8. (1)6 (2)3×2n - 4 +11 (1)N= 16 时, P0 = x1x2x3 … x15x16 ,依规 则 P1 =x1x3x5 … x15x2x4x6…x16,P2=x1x5x9x13x3x7…x16,故填 6. - (2)当 N=2n(n≥8)时,由归纳推理可得 x173 位于 P4 中的第 3×2n 4+11 个位置.
D

1 1 1 1 1 11 9.1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< 2 3 4 5 6 6 1 3 由 1+ 2< , 2 2 1 1 5 1+ 2+ 2< , 2 3 3 1 1 1 7 1+ 2+ 2+ 2< , 2 3 4 4 … 1 1 1 2n-1 ∴1+ 2< 2+…+ 2< , 2 3 n n 1 1 1 1 1 11 ∴1+ 2+ 2+ 2+ 2+ 2< . 2 3 4 5 6 6

10.2 f(x)在(1,0)处的切线方程为 y=x-1 如图,可行域为阴影部分,易求出目标函数 Z=x-2y 的最优解(0,-1),即 Z 的最大值 为 2. 11.(Ⅰ)90 (Ⅱ)9×10n (Ⅰ)4 位回文数有: 1001,1111,1221,…,1991,10 个 2001,2112,2222,…,2992,10 个 …… 9009,9119,9229,…,9999,10 个 共 90 个. (Ⅱ)5 位回文数有:

? ? 12011,12121,12321,…,12921,10个 100 个. ? …… ? 19091,19191,19291,…,19991,10个?
10001,10101,10201,…,10901,10个 11011,11111,11211,…,11911,10个 ……

? ? 92029,92129,92229,…,92929 100 个 ? …… ? 99099,99199,99299,…,99999.?
90009,90109,90209,…,90909 91019,91119,91219,…,91919 5 位回文数共 9×102 个,又 3 位回文数,9×101 个 2n+1 位回文数共 9×10n 个. 12.①③④ 13.解:(1)选取 a1=(x,2),Y 中与 a1 垂直的元素必有形式(-1,b) 所以 x=2b,从而 x=4. (2)证明:取 a1=(x1,x1)∈Y.设 a2=(s,t)∈Y 满足 a1·a2=0.

由(s+t)x1=0 得 s+t=0,所以 s,t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s,t 之中一为-1,另一为 1,故 1∈X. 假设 xk=1,其中 1<k<n,则 0<x1<1<xn. 选取 a1=(x1,xn)∈Y,并设 a2=(s,t)∈Y 满足 a1·a2=0, 即 sx1+txn=0, 即 s,t 异号,从而 s,t 之中恰有一个为-1. 若 s=-1,则 x1=txn>t≥x1,矛盾; 若 t=-1,则 xn=sx1<s≤xn,矛盾. 所以 x1=1. - (3)法一:猜测 xi=qi 1,i=1,2,…,n. 记 Ak={-1,1,x2,…,xk},k=2,3,…,n. 先证明:若 Ak+1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1=(s,t),s,t∈Ak,当 s,t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1·a2=0; 当 s≠-1 且 t≠-1 时,则 s,t≥1. 因为 Ak+1 具有性质 P,所以有 a2=(s1,t1),s1,t1∈Ak+1,使得 a1·a2=0,从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1=-1. 假设 t1∈Ak+1 且 t1?Ak,则 t1=xk+1.由(s,t)· (-1,xk+1)=0,得 s=txk+1≥xk+1,与 s∈Ak 矛盾. 所以 t1∈Ak,从而 Ak 也具有性质 P. - 现用数学归纳法证明:xi=qi 1,i=1,2,…,n. 当 n=2 时,结论显然成立; - 假设 n=k 时,Ak={-1,1,x2,…,xk}有性质 P,则 xi=qi 1,i=1,2,…,k; 当 n=k+1 时,若 Ak+1={-1,1,x2,…,xk,xk+1}有性质 P,则 Ak={-1,1,x2,…, - xk}也有性质 P,所以 Ak+1={-1,1,q,…,qk 1,xk+1}. 取 a1=(xk+1,q),并设 a2=(s,t)满足 a1·a2=0,由此可得 s=-1 或 t=-1. q 若 t=-1,则 xk+1= ≤q,不可能; s - 所以 s=-1,xk+1=qt=qt≤qk 且 xk+1>qk 1,所以 xk+1=qk. - 综上所述,xi=qi 1,i=1,2,…,n. 法二:设 a1=(s1,t1),a2=(s2,t2), s1 t2 则 a1·a2=0 等价于 =- . t s2 ?s ? 记 B=? t |s∈X,t∈X,|s|>|t|?,则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于原点对称. ? ? 注意到-1 是 X 中的唯一负数,B∩(-∞,0)={-x2,-x3,…,-xn}共有 n-1 个数, 所以 B∩(0,+∞)也只有 n-1 个数. xn xn xn xn 由于 < <…< < ,已有 n-1 个数,对以下三角数阵 x2 x1 xn-1 xn-2 xn xn xn xn < <…< < x2 x1 xn-1 xn-2 xn-1 xn-1 xn-1 < <…< x1 xn-2 xn-3 …… x2 x1 x2 k-1 xn xn-1 x2 xn xn-1 x2 - 注意到 > >…> ,所以 = =…= ,从而数列的通项为 xk=x1?x ? =qk 1, ? 1? x1 x1 x1 x1 xn-1 xn-2 k=1,2,…,n.


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