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高中数学1-2-4-1诱导公式课件新人教B版必修


1.2.4

诱导公式

1.诱导公式(1)
终边相同的角的同名三角函数值相等. 即:cos(α+k· 2π)= sinα , tan(α+k·2π)= . tanα cosα ,sin(α+k·2π)=

其作用是把绝对值大于 2π的任一角的三角函数值化为
[0,2π)上的角的三角函数值.

2.诱导公式(2)
角-α的三角函数等于角α的同名三角函数,前边放上 把α看作锐角时,-α所在象限的原三角函数值的符号.即 cos(-α)= tan(-α)= 数. cosα ,sin(-α)= . -sinα ,

其作用是把任意负角的三角函数转化为正角的三角函 -tanα

3.诱导公式(3)
角α+(2k+1)π(k∈Z)的三角函数等于角α的同名三角函 数,前边放上把角α看成锐角时,α+(2k+1)π(k∈Z)所在象 限的原三角函数值的符号.即: cos[α+(2k+1)π]= -cosα , -sinα , . tanα

sin[α+(2k+1)π]=
tan[α+(2k+1)π]=

重点:诱导公式的探究,运用诱导公式进行简单三角
函数式的求值、化简与恒等式的证明. 难点:公式的推导和数学思想在学习过程中的渗透. 对于这三组诱导公式应注意以下问题: (1)①公式(1)的作用是:其一,可以将任意角的正弦、

余弦、正切函数值,分别化为 0°到360°的角的同一三角
函数值(方法是先在0°到360°的范围内找出与它终边相同 的角,再把它写成公式(1)的形式,然后得出结果);其二, 便于研究这三种三角函数的周期性.

②公式(2)和(3)的推导,要紧扣点P(x,y)关于坐标轴和
关于原点的对称性,而且点 P 是角 α 的终边与单位圆的交 点.于是P(x,y)可以写为P(cosα,sinα),P点关于x轴的对 称为 P′(cosα ,- sinα) , P 点关于原点的对称点为 P″( - cosα , -sinα),由此推导出诱导公式(2)和(3).

关于诱导公式 (3) ,最主要的是 α 与 α + π 的三角函数间
的关系,即

sin(α+π)=-sinα,
cos(α+π)=-cosα, tan(α+π)=tanα. 将上面的三个公式与诱导公式(1)联合起来,就得到诱 导公式(3).在教材中,还指出诱导公式(2)、(3)又得到关于

α与π-α这两个互补的角的关系式:
sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα.

这是将公式(3)中的α换成-α以后得到的结果,教材没
有把它们作为编号的公式,但也以公式形式给出,并附有 相应的图形,这说明作为诱导公式(1)、(2)、(3)的一个补充, 这一结果仍然是比较重要的.教材这样处理,无非是为了 减少一些死记硬背的东西,增加一些理性的内容,比如把α

换为-α可以立即推出新的结果.
(2)利用诱导求任意角的三角函数值步骤如下:

(3)这一组公式的共同特点 角 - α , 2kπ + α(k∈Z) , π + α , π - α , (2k + 1)π + α(k∈Z) 的三角函数等于角 α 的同名三角函数,前边放上把

角α看成锐角时,该角所在象限的原三角函数值的符号,口
诀为:“函数名不变,符号看象限”. 4. 三角函数的诱导公式是圆的对称性的“代数表示”, 因此,用数形结合的思想从单位圆关于坐标轴、直线y=x 、 原点等的对称性出发研究诱导公式,可以发现终边分别关

于原点或坐标轴对称的角的三角函数值之间的关系,使得
诱导公式(数)与单位圆(形)得到紧密结合,成为一个整体.

[例1] 求下列三角函数式的值: (1)sin( - 840°)cos1470°- cos( - 420°)sin( - 930°) ; (2)sin(-60°)+cos225°+tan135°.

[ 解 析 ]

(1)sin( - 840°)·cos1470° - cos( -

420°)sin(-930°) =-sin840°cos1470°+cos420°sin930° = - sin(2×360° + 120°)cos(4×360° + 30°) + cos(360°+60°)sin(2×360°+210°)

=-sin120°cos30°+cos60°sin210°
= - sin(180° - 60°)cos30° + cos60°sin(180° + 30°)=-sin60°cos30°-cos60°sin30°

3 3 1 1 =- × - × =-1; 2 2 2 2

(2)原式=-sin60° +cos(180° +45° )+tan(180° -45° ) 3 =- 2 -cos45° -tan45° 3 2 =- - -1 2 2 2+ 3+2 =- . 2

[点评] 运用诱导公式求任意角的三角函数值时,一
般步骤是:负化正→正化主→主化锐→求值.即先把负号 化去(诱导公式2),再把任意正角写成2kπ+α,0≤α<2π(或 k·360°+α 0°≤α<360°)的形式转化为α的三角函数, [0,2π)称为主区间,再用π±α或2π-α(180°±α或360°-α)

化为锐角的三角函数,最后求值.

求 三 角 函 数 式 sin( - 1200°)·cos1290° + cos( - 1020°)·sin(-1050°)+tan945°的值. [ 分析 ] 求三角函数值一般先将负角化为正角,再化

为0°~360°的角,最后化为锐角.

[解析] 由题意知:
原式=-sin(3×360°+120°)·cos(3×360°+210°) - cos(2×360° + 300°)·sin(2×360° + 330°) + tan(2×360°+225°) = - sin(180° - 60°)·cos(180° + 30°) - cos(360°

-60°)·sin(360°-30°)+tan(180°+45°)
=sin60°·cos30°+cos60°·sin30°+tan45°

3 3 1 1 = 2 × 2 +2×2+1=2.

[例 2] 求

已知

?π ? cos?6-α?=m,|m|≤1, ? ?

?5π ? cos? 6 +α?的值. ? ?
?π ? 5π 由于 +α=π-?6-α?,故运用 π-α 的诱导 6 ? ?

[分析] 公式可求

?5π ? cos? 6 -α?的值. ? ?

[解析]

?5π ? ? ?π ?? cos? 6 -α?=cos?π-?6-α?? ? ? ? ? ??

?π ? =-cos?6-α?=-m. ? ?

1 已知 sin(π+α)=2,求 sin(2π-α)-cot(α-π)·cosα 的值.

1 1 [解析] sin(π+α)= ,∴-sinα= , 2 2 1 即 sinα=-2. ∴sin(2π-α)-cot(α-π)·cosα 1 =-sinα- · cosα tan(α-π) 1 =-sinα- · cosα -tan(π-α)

1 cos2α =-sinα- · cosα=-sinα- tanα sinα sin2α+cos2α 1 =- =-sinα=2. sinα

[例 3]

sin(α+nπ)+sin(α-nπ) 化简: (n∈Z). sin(α+nπ)cos(α-nπ)

[分析] 由于n有奇数或偶数两种情况,其结构与形式 是不同的,使用的诱导公式也是不一样的,因此,需要分

类讨论.

[解析]

(1)当 n=2k,k∈Z 时,

sin(α+2kπ)+sin(α-2kπ) 2 原式= = . sin(α+2kπ)cos(α-2kπ) cosα (2)当 n=2k+1,k∈Z 时, sin[α+(2k+1)π]+sin[α-(2k+1)π] 原式= sin[α+(2k+1)π]cos[α-(2k+1)π] 2 =- . cosα

[点评] 关键抓住题中的整数n是表示π的整数倍与公
式一中的整数k有区别,所以必须把n分成奇数和偶数两种 类型,分别加以讨论.

?4n+1 ? ?4n-1 ? ? ? ? ? * 化简:cos? + cos , n ∈ N . π + x π - x ? ? 4 ? 4 ? ? ? ?

[解析]

由题意知,

? ? π ? π ? 原式=cos?nπ+4+x?+cos?nπ-4-x?. ? ? ? ?

当 n 为奇数时,
?π ? ? π ? 原式=-cos?4+x?-cos?-4-x? ? ? ? ? ?π ? =-2cos?4+x?. ? ?

当 n 为偶数时,
?π ? ? π ? 原式=cos?4+x?+cos?-4-x? ? ? ? ? ?π ? =2cos?4+x?. ? ?

[例 4]



? π? n∈Z,在①sin?nπ+3?, ? ?

? π? ②sin?2nπ±3?, ? ? ? ? nπ ③sin?nπ+(-1) 3?, ? ? ? ? nπ ?中,与 ④cos?2nπ+(-1) · 6? ?

π sin3相等的是(

)

A.①② C.①④

B.③④ D.②③

[误解]

因为

? π? π ? ? sin nπ+3 =sin3, ? ?

? ? π? π? π ? ? ? ? sin 2nπ±3 =sin ± =± sin , 3 3 ? ? ? ? ? ? ? ? nπ nπ sin?nπ+(-1) 3?=sin?(-1) 3? ? ? ? ? ? π? π ? ? =sin ± =± sin , 3 3 ? ? ? ? ? ? π nπ nπ ? ? ? ? cos 2nπ+(-1) 6 =cos (-1) 6 =sin3. ? ? ? ?

[辨析] 要作出正确选择,需认真选择诱导公式,不
能错用公式.对于nπ+α,若n是偶数,则角nπ+α的三角函 数值等于角α的同名三角函数值;若n为奇数,则角nπ+α的 三角函数值等于角π+α的同名三角函数值. ? π sin ,n为偶数 ? π? ? 3 [正解] sin?nπ+3?=? ? ? ? ? ?sin?π+π?,n为奇数 ? ? 3?

? π ?sin3,n为偶数 =? ?-sinπ,n为奇数. 3 ?

? π? π π ? ? sin 2nπ±3 =sin(± )=± sin . 3 3 ? ? ? ? nπ sin?nπ+(-1) 3? ? ? ? ? ? nπ (-1) 3?,n为偶数 ?sin? ? ? =? ? ? ?sin?π+(-1)nπ?,n为奇数 3? ? ?

? π ?sin3,n为偶数 =? ? ? π ?sin?π- ?=sinπ,n为奇数. 3? 3 ? ?

? ? ? ? nπ nπ ?=cos?(-1) ·? cos?2nπ+(-1) · 6 6? ? ? ?

π π =cos =sin . 6 3 π 故③④与 sin 相等,应选 B. 3

一、选择题 1.(2010· 全国卷Ⅰ文)cos300° = 3 A.- 2 1 C.2 1 B.-2 3 D. 2 ( )

[答案] C
[解析] 1 cos300° =cos(360° -60° )=cos60° =2.

2.sin600° +tan240° 的值是 3 A.- 2 1 C.- + 3 2 3 B. 2 1 D. + 3 2

(

)

[答案] B
[解析] sin600° +tan240° =sin(360° +180° +60° )+tan(180° +60° ) 3 3 =-sin60° +tan60° =- + 3= . 2 2

3.下列各三角函数值: ①sin1125° ; 37π 37π ②tan 12 · sin 12 ; sin3 ③ ; tan3 ④sin1-cos1. 其中为负值的个数是 A.1 个 C.3 个 [答案] B B.2 个 D.4 个 ( )

[解析]

1125° =1080° +45° ,则 1125° 是第一象限的

37π 13 37 角,所以 sin1125° >0;因 =2π+ π,则 π 是第三象 12 12 12 37 37 37 37 限角,所以 tan12π>0,sin12π<0,故 tan12π·sin12π<0;因 3 sin3 π 弧度的角在第二象限,则 sin3>0.tan3<0 ,故 tan3<0 ;因4 π <1<2,则 sin1-cos1>0.∴②③为负数.因此选 B.

4.化简 1+2sin(π-3)cos(π+3)的结果是( A.sin3-cos3 B.cos3-sin3 C.± (sin3-cos3) D.以上都不对

)

[答案] A

[解析]

1+2sin(π-3)cos(π+3)

= 1+2sin3(-cos3) = (cos3-sin3)2=|cos3-sin3|. π ∵2<3<π,∴sin3>0>cos3. ∴原式=sin3-cos3.

二、填空题
5.cos(-945°)的值等于________.

[答案]
[解析]

2 - 2
cos( - 945° ) = cos945° = cos(2×360° +

2 225° )=cos225° =cos(180° +45° )=-cos45° =- 2 .

6 .已知 f(x) = asin(πx + α) + bcos(πx + β) ,其中, a 、 b 、
α、β均为非零实数,且f(2005)=1,则f(2006)=________. [答案] -1 [ 解析 ] f(2005) = asin(π + α) + bcos(π + β) =- asinα - bcosβ=-(asinα+bcosβ)=1,

∴asinα+bcosβ=-1,f(2006)=asinα+bcosβ=-1.

三、解答题 1 7.已知 tan(π+α)=-2,求下列各式的值. 2cos(π-α)-3sin(π+α) (1) ; 4cos(α-2π)+sin(4π-α) (2)sin(α-7π)·cos(α+5π).

1 1 [解析] tan(π+α)=- ?tanα=- , 2 2 -2cosα+3sinα -2+3tanα (1)原式= = 4cosα-sinα 4-tanα
? 1? -2+3×?-2? 7 ? ? = =- ; ? 1? 9 4-?-2? ? ?

(2)原式=-sinα· (-cosα) sinα· cosα tanα =sinα· cosα= 2 = sin α+cos2α tan2α+1

1 - 2 2 =? =- . 1?2 5 ?- ? +1 ? 2?



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