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浙江省温州市十校联合体2016届高三数学上学期期中试题 文


2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 试 卷(文)
(满分 150 分,考试时间:120 分钟) 一. 选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 ) 1.已知全集为 R ,集合 A ? x x ? 0 , B ? x x ? 6 x ? 8 ? 0 ,则 A ? ?CR B? ? (
2

?

?

?

?



A. x x ? 0

?

?

B. x 2 ? x ? 4

?

?

C. x 0 ? x ? 2或x ? 4

?

?

D. x 0 ? x ? 2或x ? 4 )

?

?

2 2 2.已知 a , b 都是实数,那么“ a ? b ”是“ a ? b ”的 (

A.充分不必要条件 件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条

3.某几何体的三视图如图所示,其中俯视图为扇形,则该几何 体的体积为( A. ) B.

2? 3

16? 9

C.

? 3

D.

2? 9
第3题

4.已知等比数列{ a n}首项为 1 ,公比 q ? 2 ,前 n 项和为 S n , 则下列结论正确的是 ( A. ?n ? N , S n ? a n ?1 C. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?2 ? 2an0 ?1 5.函数 f ( x) ? sin x ? ln | x | 的图象大致是
?

) B. ?n ? N , an ? an?1 ? an? 2 D. ?n0 ? N ? , an0 ? an0 ?3 ? an0 ?1 ? an0 ?2 ( )
?

?y ? 3 ? 6.若实数 x,y 满足不等式组 ?3 x ? 7 y ? 24 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值是( ?x ? 3 y ? 8 ? 0 ?
A.6 B.7 C.8 D.9

)

7.如图, 将菱形 ABCD 沿对角线 BD 折起, 使得 C 点至 C ? , E点 在 线段 AC ? 上, 若二面角 A ? BD ? E 与二面角 E ? BD ? C ? 的大小分

C?

D
C
(第 7 题) B

E A
1

别为和 45°和 30°,则 A. 5

AE = ( EC ?
C. 3

) . D. 2

B. 2

8.若存在实数 a,对于任意实数 x ?[0, m] ,均有 (sin x ? a)(cos x ? a) ? 0 ,则实数 m 的最 大值是( A. ) B.

5? 4

3? 4

C.

? 2

D.

? 4

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 ) 9.已知 0 ? ? ? ? , sin ? ? 1 ,则 cos ? ? ______ ; cos 2? ? ______.

2

3

10.在等差数列 {an } 中, 若 a4 ? a8 ? 8, a7 ? a11 ? 14 , ak ? 18 ,则 k ? _________ ; 数列 {an } 的前 n 项和 S n ? . ; .

11.已知直线 l :mx ? y ? 4 ,若直线 l 与直线 x ? (m ? 1) y ? 1 垂直,则 m 的值为 若直线 l 被圆 C : x2 ? y 2 ? 2 y ? 8 ? 0 截得的弦长为 4,则 m 的值为

12. 已 知 函 数 f ( x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ? 0 时 , f ( x) ? ? x 2 ? ax , 则

f (? 2 )?


_________ ; 若 函 数 f ( x ) 为 R 上 的 单 调 减 函 数 , 则 a 的 取 值 范 围 .

13.已知非零向量 a ? 3b ? 3c, b ? c ? 1, 若 a 与 b 的夹角为 14.若 x ? [ ?

? ,则 a = 4



? ?

3sin 2 x ? 2 , ] ,则 f ( x) ? 的最大值为 6 4 sin x cos x ? cos 2 x



15.设 F 为双曲线

x2 y2 ? ? 1?a ? 0, b ? 0 ? 的右焦点,P 是双曲线上的点, 若它的渐近线上 a2 b2

存在一点 Q (第一象限内) , 使 得 FP ? 3PQ , 则 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 为 .

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.(本小题满分 14 分)△ABC 中,已知 sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? sin 2 A . (Ⅰ)求角 A 的大小;
2

(Ⅱ)求 2 3 cos 2

C 4? ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3

17. (本小题满分 15 分)已知 {an } 是各项为正数的等比数列, Sn 为前 n 项和,满足

7 2 1 1 ? ? , a3 ? S3 ? . a3 a 4 a5 64 (Ⅰ)求 an ;
(Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,求所有的正整数 k ,使得对任意的 n ? N ,不等式
*

S n?k ?

Tn ? 1 恒成立. 4

18.(本题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?PAC 是正三角形, ?CAB ? 90? ,
AB ? 2 AC .

P

(Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值.
C

A B
(第 18 题)

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F , O 为坐标原点,过 Q(0, m) 作 直线交抛物线 C 于 A, B 两点,点 P 在抛物线 C 上,且满足 FA ? FB ? FP ? 0 . (Ⅰ)记△OFA,△OFB,△OFP 的面积分别为 S1 , S2 , S3 ,求 (Ⅱ)求△ ABP 的面积(用 m 表示) . 证: S1 ? S2 ? S3 为定值;
2 2 2

3

20. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? 1(a, b ? R) . (Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, (Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的 最小值.

?3 ?4

? ?

4

2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考 数 学 (文)参考答案

一、选择题:本大题共有 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 A 5 A 6 C 7 D 8 B

二.填空题(本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。 ) 9. 10. 20 7 n 2 ? 3n

11. 13.

2 2 3 1 ? 2

9
?2
12. 14.

2
4 ? 2a a?0
15. (1,4)

3 2

?

1 2

三.解答题(本大题有 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 ) 16.(本小题满分 14 分)△ABC 中,已知 sin 2 B ? sin 2 C ? sin B sin C ? sin 2 A . (Ⅰ)求角 A 的大小; C 4? (Ⅱ)求 2 3 cos2 ? sin( ? B) 的最大值,并求取得最大值时角 B、C 的大小. 2 3 2 2 sin B ? sin C ? sin B sin C ? sin 2 A , 2 分 解 (Ⅰ)由已知 得 b2 ? c 2 ? a 2 ? ?bc 1 ∴ cos A ? ? 2 -------------------------------------- 4 分 0? A?? ∵ 2? ∴ A? . -------------------------------------- 6 分 3 2? ? ? (Ⅱ)∵ A ? ,∴ B ? ? C , 0 ? C ? . 3 3 3 C 4 ? 1 ? cos C ? ? 2 3 cos2 ? sin( ? B) ? 2 3 ? ? sin( ? B) ? 3 ? 2sin(C ? ) .------3 2 3 2 3 分 ? ? ? 2? ∵ 0 ? C ? ,∴ ? C ? ? , 3 3 3 3 ? ? C 4? ? ∴当 C ? ? , 2 3 cos2 ? sin( ? B) 取最大值 3 ? 2 ,解得 B ? C ? . --3 2 2 3 6 分

, ,

10

14

17. (本小题满分 15 分)已知 {an } 是各项为正数的等比数列, Sn 为前 n 项和,满足

7 2 1 1 ? ? , a3 ? S3 ? . a3 a 4 a5 64 (Ⅰ)求 an ;
(Ⅱ)设数列 {an } 的前 n 项积为 Tn ,求所有的正整数 k ,使得对任意的 n ? N ,不等式
*

5

Tn ? 1 恒成立. 4 解: (Ⅰ)设等比数列 {an } 的首项为 a1 (a1 ? 0) ,公比为 q ( q ? 0) , S n?k ?

? 2 a1 (1 ? q 3 ) 7 aq ? ? ? ? 1 1 ? q 64 , 则由条件得 ? 2 1 1 ? ? ? 2 ? a1q 3 a1q 4 ? a1q
解得 a1 ? q ?

--------------4 分

1 1 ,则 an ? n 2 2
a1(1 - qn ) 1 = 1- n 1- q 2

--------------7 分
1 又 Tn ? ( ) 2
n ( n ?1) 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 S n =

--------------10 分

若存在正整数 k ,使得不等式 S n? k ? 则1?
1 2
n?k

Tn ? 1 对任意的 n∈N*都成立, 4

1 ?( ) 2

n ( n ?1) ?2 2

? 1 ,即 k ?

n( n ? 1) ? 2 ,正整数 k 只有取 k ? 1 --------15 分 2

18.(本小题满分 15 分)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?PAC 是正三角形, ?CAB ? 90? ,
AB ? 2 AC .

(Ⅰ)求证: AB ? PC ; (Ⅱ)求直线 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值.

P

A
C
(第 18 题)

B

解: (Ⅰ) Q AB ? AC ,且平面 PAC ? 平面 ABC ,交线为 AC ;
? AB ? 平面 PAC

P D A B
(第 18 题)

--------3 分

--------6 分 C (Ⅱ)取 AP 的中点 D ,连接 CD , DB . 则 CD ? PA , Q AB ? 平面 PAC ,? 平面 PAB ? 平面 PAC , 平面 PAB I 平面 PAC = PA , ? CD ? 平面 PAB ,则 ?CBD 为所求线面角; 由已知不妨设: AC ? 1 ,则 CD ?
? sin ?CBD ? CD 15 ? , BC 10
15 10 3 , AB ? 2, BC ? 5 2

又 Q PC ? 平面 PAC ? AB ? PC

--------10 分 --------12 分

即直线 BC 与平面 PAB 所成角的正弦值为

--------15 分

6

19. (本题满分 15 分)已知抛物线 C : x2 ? 4 y 的焦点为 F , O 为坐标原点,过 Q(0, m) 作 直线交抛物线 C 于 A, B 两点,点 P 在抛物线 C 上,且满足 FA ? FB ? FP ? 0 。 (Ⅰ)记△OFA,△OFB,△OFP 的面积分别为 S1 , S2 , S3 ,求证:
P

S12 ? S22 ? S32 为定值; (Ⅱ)求△ ABP 的面积(用 m 表示) 。 解: (Ⅰ) 记 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ), P( x3 , y3 ) ,由 FA ? FB ? FP ? 0 知 y1 ? y2 ? y3 ? 3


Q

xi 2 ? 4 yi (i ? 1,2,3)

1 S12 ? S2 2 ? S32 ? (x12 ? x2 2 ? x32 ) ? y1 ? y2 ? y3 ? 3 , 4 S12 ? ? S22 S2 所 以 , 为 3
-------------------------------5 分 (Ⅱ)设直线 AB 方程为 y ? kx ? m 联立 ?





3.

? y ? kx ? m



2 ?x ? 4 y , x 2 ? 4kx ? 4m ? 0 ,所以 ? ? 16k 2 ? 16m ? 0 , x1 ? x2 ? 4k , x1x2 ? 4m

AB ? 1 ? k 2 ? 16k 2 ? 16m ? 4 (1 ? k 2 )(k 2 ? m)


x1 ? x2 ? x3 ? 0, y1 ? y2 ? y3 ? 3 ,所以 x3 ? ?4k , y3 ? 3 ? ( y1 ? y2 ) ? 3 ? 4k 2 ? 2m

所以,P 到直线 AB 的距离为 d ? 所
2
2

3m ? 3 1? k 2



2

S△ABP ?

1 AB d ? 6 m ? 1 k 2 ? m 2

--------------------------------10 分 而 x3 ? 4 y3 ,所以 16k ? 12 ? 16k ? 8m
2 即 8k ? 3 ? 2m ,结合 ? ? 0 ,得 ?

1 3 ?m? , 2 2

进一步整理得 S△ABP ?

1 3 6 AB d ? 6 m ? 1 k 2 ? m ? m ? 1 2m ? 1 2 2 1 3 3 6 ? ?m? ? (1 ? 2m)(m ? 1) 2 ( , 2 2 2



-------------------------15 分

20. (本题 15 分)已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1(a, b ? R) 。
2

7

(Ⅰ)若函数 f ( x)的值域为? , 且 f ( x ? 1) ? f (? x) ,求函数 f ( x) 解析式; ? ? ?, (Ⅱ)若 设b ? a ? 1 ,当 0 ? a ? 1 时,对任意 x ? ?0,2? ,都有 m ? f ( x) 恒成立,求 m 的 最小值。 解(Ⅰ)由已知得 a ? 0,

?3 ?4

? ?

4a ? b 2 3 b 1 ? , ? ,则 a ? 1, b ? 1 4a 4 2a 2
――――――――――― 5分

f ( x) ? x2 ? x ? 1

(Ⅱ)①当 a=0 时, f ( x) ?| x ? 1 | 在[0,2]上的最大值为 1------------------ 7 分 ② 0 ? a ? 1 时,对称轴为 x ? 若

a ?1 2 >0, ? ? (a ? 1) ? 0 2a

a ?1 1 ? 2 即 0 ? a ? 时, f ( x) max ? max{| f (0) |, | f (2) |} ? max{ 1, | 2a ? 1 |} , 2a 3
----------------------------------10 分

而 2a ? 1 ? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ③若

1 a ?1 ? 2 即 ? a ? 1, 3 2a

f ( x)max ? max{| f (0) |, | f (

a ?1 (a ? 1)2 ) |, | f (2) |} ? max{ 1, , | 2a ? 1 |} 2a 4a



1 (a ? 1)2 ? a ? 1, ? ? 1, | 2a ? 1 |? 1 ,所以 f ( x) max ? 1 ------------- 13 分 3 4a
------------------ 15 分

综上: m ? 1

8

附件 2 2015 学年第一学期十校联合体高三期中联考数学试卷细目表(文科) 考查点 参考《指导意见》 、 《考 试说明》 1 2 3 4 5 6 7 集合运算与不等式 充要条件 三视图 逻辑连结词 三角函数 线性规划 立体几何 函数问题 三角函数求值 数列 直线与圆 函数与奇偶性 向量问题 基本不等式 圆锥曲线离心率 三角与解三角形 数列 立体几何 抛物线 函数综合运用 5 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 4 4 4 14 15 15 15 15 考查要求 A 了解 B 理解 C 应用 D 综合 B B B B B B C C B B B C B D D C C C D D 试题难度 I 容易 II 稍难 III 较难 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 3 3 1 2 2 3 3 题目来源 (原创或改编) 改编 改编 原创 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 改编 原创 原创 改编 改编 改编 改编 原创 原创

题号

分 值

选 择 题

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

非 选 择 题

9


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