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天津市2013届高三数学总复习之综合专题:数列通项公式的求法——特殊方法(教师版)


数列通项公式的求法之特殊方法
? a 1 ( n ? 1) 1、 S n 法,即 a n ? ? 。 ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

思路:如果数列 ?a n ? 满足的某种关系是由数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 给出时,则可以构造出 S n 式①和 S n ? 1 式②,然后利用
? a 1 ( n ? 1) 公式 a n ? ? ,将①式和②式做差,使其转化为数列 ?a n ? 的递推关系,再根据递推关系的特点,按照构 ? S n ? S n ?1 ( n ? 2 )

造辅助数列等的方法求出数列 ?a n ? 通项公式。 例 1:已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 2 a n ? 2 n 。 (1)写出数列的前 3 项 a 1 , a 2 , a 3 ; (2)求数列 ?a n ? 的通项公式。 解: (1)由 a 1 ? S 1 ? 2 a 1 ? 2 ,得 a 1 ? ? 2 。 由 a 1 ? a 2 ? S 2 ? 2 a 2 ? 4 ,得 a 2 ? ? 6 ,由 a 1 ? a 2 ? a 3 ? S 3 ? 2 a 3 ? 6 ,得 a 3 ? ? 14 (2)当 n ? 2 时,有 a n ? S n ? S n ? 1 ? 2 ? a n ? a n ? 1 ? ? 2 ,即 a n ? 2 a n ? 1 ? 2 ; 令 a n ? ? ? 2 ? a n ?1 ? ? ? ,则 a n ? 2 a n ?1 ? ? ,与①比较得, ? ? ? 2 ;

? ?a n ? 2 ? 是以 a 1 ? 2 ? ? 4 为首项,以 2 为公比的等比数列;
? a n ? 2 ? (?4) ? 2
n ?1

? ?2

n ?1

,故 a n ? ? 2
4 3

n ?1

? 2。
?2
n ?1

补充练习:设数列 ? a n ? 的前 n 项的和 S n ? (1)求首项 a 1 与通项 a n ;
2
n

a n?

1 3

?

2 3

,n ? N

*



n

(2)设 T n ?

,n ? N

*

Sn

,证明: ? T i ?
i ?1

3 2



a1 ? S 1 ?
解: (1)

4 3
4 3

a1 ?

1 3
4 3

? 2

2

?

2 3 ,解得: a 1 ? 2 ;

a n ?1 ? S n ?1 ? S n ?

a n ?1 ?

an ?

1 3

?2

n?2

? 2

n ?1

?

? a n ?1 ? 2
n

n ?1

? 4 ? an ? 2
n ?1

n

?;

所以数列 得:

?a

n

? 2
n

n

?

是公比为 4 的等比数列,所以:
n

a n ? 2 ? ? a1 ? 2

1

?? 4



an ? 4

? 2

,n ? N

*

。 -1-

Sn ?
(2)

4 3
?

an ?
3 2

1 3

?2

n ?1

?

2 3
2
n

?

4 3

?4

n

?2

n

??
3

1 3

?2

n ?1

?

2 3

?

2 3

?2

n ?1

? 1? ? 2 ? 1?
n



Tn ?

2

n

?

Sn
n

?2

n ?1

? 1? ? 2

n

? 1?

?

1 1 ? ? ?? n ? n ?1 ? 2 2 ?1? ? 2 ?1



?
所以,
i ?1

Ti ?

1 1 3 ? ? ? ? 1 ? n ?1 ? ? 2 2 ?1? 2 ? 2 ?1 。 3

2、对数变换法 思路:将一阶递推公式 a n ? 1 ? ca
p n

取对数得 lg a n ? 1 ? p lg a n ? lg c 。
2

例 2:若数列 ?a n ? 中, a 1 ? 3 且 a n ? 1 ? a n ( n 是正整数) ,则它的通项公式是 a n ?



解: 因为 a n ? 0 , a n ? 1 ? a n 两边取对数得 lg a n ? 1 ? 2 lg a n , 将 即

2

lg a n ? 1 lg a n

? 2, 所以数列 {lg a n } 是以 lg a 1 ? lg 3

为首项,公比为 2 的等比数列, lg a n ? lg a 1 ? 2

n ?1

? lg 3

2

n ?1

,即 a n ? 3

2

n ?1



补充练习:已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? a n ? 1 ( n ? 2 ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。
2

解:由 a n ? a n ? 1 可得, lg a n ? 2 lg a n ? 1 ∴ lg a n ? lg a 1 ? 2 故a

2

n ?1

? lg 2 ? 2

n ?1

? lg 2

2

n ?1

n

? 2

2

n ?1



3、平方(开方)法 例 3:若数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 且 a n ? 解:将 a n ?
2 2

3 ? a n ?1 ( n ? 2 ) ,求数列 ?a n ? 的通项公式。
2

3 ? a n ? 1 两边平方整理得 a n ? a n ? 1 ? 3 。数列 { a n } 是以 4 为首项,3 为公差的等差数列,
2

2

2

2

a n ? a 1 ? ( n ? 1 ) ? 3 ? 3 n ? 1 。因为 a n ? 0 ,所以 a n ?

3n ? 1 。

4、求差(商)法 例 4:若数列 ?a n ? 满足

1 2

a1 ?

1 2
2

a 2 ? ...... ?

1 2
n

a n ? 2 n ? 5 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。

解:当 n ? 1 时, 当 n ? 2 时,

1 2

a 1 ? 7 ? a 1 ? 14 ,设

1 2

a1 ?

1 2
2

a 2 ? ...... ?

1 2
n

an ? 2n ? 5 ①

1 2

a1 ?

1 2
2

a 2 ? ... ?

1 2
n ?1

a n ?1 ? 2 n ? 3 ②

-2-

①—②得:

1 2
n

an ? 2 ? an ? 2

n ?1

?14 , n ? 1 。 , n ? 2 ,综上, a n ? ? n ?1 ,n ? 2 ?2

5、迭代法

例 5:已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 1 ? a n
3 ( n ?1) 2
n

3 ( n ?1) 2

n

, a 1 ? 5 ,求数列 { a n } 的通项公式。
3 n ?2
n ?1

解:因为 a n ? 1 ? a n

,所以 a n ? a n ? 1

? [an?2

3 ( n ?1 )?2

n?2

]

3 n ?2

n ?1

? an?2
3

2

( n ?1 )?n ?2

( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

? [an?3 ? an?3
3
3

3 ( n ? 2 )?2

n?3

]

3

2

( n ?1 ) ?n ?2

( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

( n ? 2 )( n ?1 ) n ?2

( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

? ? ? a1 ? a1
3
n ?1

? 2 ? 3? ? ( n ? 2 ) ? ( n ? 1 ) ? n ? 2

1 ? 2 ? ? ? ? ( n ? 3 ) ? ( n ? 2 ) ? ( n ?1 )

n ( n ?1 )

3

n ?1

? n !? 2

2

n ( n ?1 )

又 a 1 ? 5 ,所以数列 ?a n ? 的通项公式为

an ? 5

3

n ?1

? n !? 2

2



评注:本题还可综合利用累乘法和对数变换法求数列的通项公式。即先将等式 a n ? 1

? an

3 ( n ?1) 2

n



边取常用对数得 lg a n ? 1 ? 3 ( n ? 1) ? 2

n

? lg a n ,即

lg a n ? 1 lg a n

? 3 ( n ? 1) 2

n

,再由累乘法可推知

lg a n ?
an ? 5
3
n ?1

lg a n lg a n ? 1
n ( n ?1) 2

?

lg a n ? 1 lg a n ? 2

?? ?

lg a 3 lg a 2

?

lg a 2 lg a 1

n ( n ?1 )

? lg a 1 ? lg 5

3

n ?1

? n !? 2

2

,从而

? n !? 2



6、换元法

例 6:已知数列 ?a n ? 满足 a n ? 1 ?

1 16

(1 ? 4 a n ?
1

1 ? 2 4 a n ), a 1 ? 1 ,求数列 ?a n ? 的通项公式。
1 24

解:令 b n ?

1 ? 2 4 a n ,则 a n ?

24

( b n ? 1) ,故 a n ? 1 ?
2

( b n ? 1 ? 1) ,
2

-3-

代入 a n ? 1 ?

1 16

(1 ? 4 a n ?

1 ? 24an ) 得

1 24

( b n ? 1 ? 1) ?
2

1 16

[1 ? 4

1 24

( b n ? 1) ? b n ] ,
2

即 4 b n ? 1 ? ( b n ? 3) ,因为 b n ?
2 2

1 ? 2 4 a n ? 0 ,故 b n ? 1 ?
3 2 1 2

1 ? 2 4 a n ?1 ? 0 ,

则 2 b n ? 1 ? b n ? 3 ,即 b n ? 1 ? 所以 { b n ? 3} 是以 b1 ? 3 ?

1 2

bn ?

,可化为 b n ? 1 ? 3 ?

(bn ? 3) ,
1 2

1 ? 2 4 a1 ? 3 ?
,则 b n ? (
1 2 )
n?2

1 ? 2 4 ? 1 ? 3 ? 2 为首项,以
? 3 ,即 1 ? 2 4 a n ? ( 1 2 )
n?2

为公比的等比数列,因此

bn ? 3 ? 2 (
得an ?

1 2

)

n ?1

? (

1 2

)

n?2

?3 ,

2 1 n 1 n 1 ( ) ? ( ) ? 。 3 4 2 3

补充练习:
2an ? 1 4

1、已知正数数列 ?a n ? 中, a 1 ? 2 ,且关于 x 的方程 x

2

?

a n ?1 x ?

? 0 n ? N ? ,有相等的实根。

(1)求 a 2 , a 3 的值;
1 1 ? a1 1 1 ? a2 1 1 ? an 2 3

(2)求证:

?

? ... ?

?

,n ? N ? 。

解: (1)由 ? ? a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ? 0 得 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ,又 a 1 ? 2 ,则 a 2 ? 5 , a 3 ? 11 。

2 (2)由 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 得 a n ? 1 ? 1 ? ( a n ? 1), a n ? 1 ? 3 ? 2

n ?1



1 1 ? an
n

?

1 3? 2
n ?1

1 1 ? a1

?

1 1 ? a2

? ... ?

1 1 ? an

?

1 3

(1 ?

1 2

?

1 2
2

? ... ? 2

1
n ?1

) ?

1 3

1? ( ? 1?

1

) 2 1 2

?

2 3

? (1 ?

1 2
n

) ?

2 3

。 已知数列 ?a n ? 2、

中 a 1 ? 1 , a n ?1 ?

1 an
2

? 4 ? 1 ,记 S n ? a 1

2

? a2

2

? ... ? a n ,若 S

2

2 n ?1

? S

n

?

m 30

对任意的 n ? N ?

恒成立,则正整数 m 的最小值为



解:由 a n ? 1 ?

1 an
2

? 4 ? 1知

1 a n ?1
1
2

?

1 an
2

? 4,

1 an
2

?

1 a1
2

? ( n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 3

an

2

?

1 4n ? 3

S 2 n ?1 ? S n ?

4n ? 1

?

1 4n ? 5 1

? ... ?

1 4 ( 2 n ? 1) ? 3



记 f (n) ?

1 4n ? 1

?

1 4n ? 5

? ... ?

4 ( 2 n ? 1) ? 3



-4-

则 f ( n ? 1) ?

1 4n ? 5

?

1 4n ? 9 1

? ... ?

1 4 ( 2 n ? 1) ? 3 1 4n ? 1

?

1 4 (2 n ? 3) ? 3 1 4n ? 1



所以 f ( n ? 1 ) ? f ( n ) ?

4 (2 n ? 3) ? 3

?

?

1 8n ? 9

?

? 0,

f ( n ) 关于 n 单调递减, f ( n ) 的最大值为 f ( 1)? S 3 ? S 1 ,

又 a1 ? 1 , a n
m

2

?

1 4n ? 3

,则 a 1
28

2

? 1, a 2

2

?

1 5

, a3

2

?

1 9

,S 3 ? S1 ? a2

2

? a3

2

?

14 45



,又 m ? N ? ,故 m 的最小值为 10。 30 45 3 3、 (汉诺塔问题)传说在古代印度的贝拿勒斯圣庙里,安放了一块黄铜板,板上插了三根宝石柱,在其中一根宝石柱上,自 由题意知
?

14

,m ?

上而下按由小到大的顺序串有 64 个金盘。要求将左边柱子上的 64 个金盘按照下面的规 则移到右边的柱子上。试问一共移动了多少次?规则:①一次只能移一个盘子;②盘子只能在三个柱子上存放;③任何时候 大盘不能放在小盘上面。 解:若当 A 上有 n 个铁片时,共需要移动 a n 次才能将铁片全部移到 C 上,则当 A 上有 n ? 1 个铁片时,为了将 A 上面的 n 个铁片先移到 B 上, 根据假设为此需移动 a n 次, 这样在移动 1 次就可将 A 上的最下面的一个大铁片移到 C 上, 然后将 B 上 的 n 各铁片移到 C 上,这又需要移动 a n 次,于是一共移动了 a n ? 1 ? 2 a n ? 1 ( n ? N )次。由此可得,数列 ?a n ? 的递推

?a1 ? 1 公式为 ? ? a n ?1 ? 2 a n ? 1

(n ? N )



即 a n ? 1 ? 1 ? 2 ( a n ? 1) ,则数列 { a n ? 1} 是以 a 1 ? 1 为首项,

a n ?1 ? 1 an ? 1
? 1。

? 2 为公比的等比数列,

所以, a n ? 1 ? ( a 1 ? 1) 2

n ?1

, a n ? ( a 1 ? 1) ? 2

n ?1

?1 ? 2

n

-5-


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