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2013-2014(1)微积分总练习题


微积分 B 第一学期总练习题
第六章 定积分
1. F ( x) ?
x

?

1

(2 ?

1 1 )dt ( x ? 0) 的单调减少区间为__ (0, ] ____. 4 t

2. 函数 F ( x) ? 3.设 f ( x) ? (A)

?

x

0

te ? t dt 在点 x =__0__处有极值.

?

sin x

0

sin(t 2 )dt , g ( x) ? sin x ? x ,则当 x ? 0 时有( B ).
(B) f ( x) 与 g ( x) 同阶,但 f ( x) 不等价于 g ( x) (D) g ( x) ? o( f ( x))

f ( x ) ~ g ( x)

(C) f ( x) ? o( g ( x))

4. 求

?

e2

1

dx . 2( 3 ? 1) x 1 ? ln x
x ?1

5. 求

?e
0

1

dx . 2e 2 ( 2 ? 1)

dt? C ) (其中 x ? 6. ?()?(
2

?t

x

sint

?
2

).

(A)

sin x x

(B)

sin x ?C x sin x 2 ? ?C x ?
1 __. 12
.

(C)

sin x 2 ? x ?

(D)

7. 设 f ( x) 是连续函数,且

?

x3

0

f (t )dt ? x ,则 f (8) =___

2 8.曲线 y ? 1 ? ( x ? 1) 绕 x 轴旋转一周得到的旋转体的体积 V 为

4 ? 3

9. lim
x ?0

?

x 0

ln(1 ? sin t )dt 1 ? cos x
=___1__ ; lim
x ?0

?

x2 0

costdt
=__1__ .

ln(1 ? x 2 )

10. 设 I ?

d d b f ( x ) dx ? f ( x)dx ? ? f ?( x)dx 存在,则(C ). dx ? dx ?a
(B) I ? f ( x) ? C (C) I ? C (D) I ? 0

(A) I ? f ( x)

11.下列广义积分中收敛的是( D ).

A.

?

?

1

ln x dx x
dx x(ln x)
1 2

B.

?

?

e

dx x ln x

C.

?

?

e

D.

?

?

e

dx x (ln x) 2

12.将长为 a 的铁丝分成两段,一段绕成一个圆形,另一段绕成一个正方形,要使两者面积 之和最小,应该如何分法? 一段长为 x ?

?a 4a ,另一段长为 ? ?4 ? ?4
F (sin x) ? C

第五章 不定积分
1. 若 F ?(u) ? f (u) ,则 2. 若

? f (sin x) cos xdx ? ___.

? f ( x)dx ? sin 2 x ? C , 则 f ( x) =___.
x
2

2 cos 2 x

3.

? f ( x)dx ? 1 ? x

? C ,则 ? sin xf (cos x)dx ? ___. ? 1 1
2

cos x ?C sin 2 x

4. 若

? f (u )du ? F (u ) ? C .则 ? f ( x ) ? x
sin x ? cos x

1 dx ? ___. ? F ( ) ? C x

5.求

? sin x ? cos x dx ? _____.
?
1 x 2 (e x ? 1)
1

? ln sin x ? cos x ? C
1

6. 求

dx .

1 ? ln e x ? 1 ? C x

?x 7. 已知 f ( x) 的一个原函数为 e ,求 xf ?(2 x )dx . ? 1 e ?2 x ( 1 ? x) ? C 2 2

?

8.求 ?

cos 2 x 1 dx . ? ?C sin 2 2 x 2sin 2 x

第四章 导数应用
1. lim ?
x ?0

ln x ? ______.1 ln sin x

2. 函数 f ( x) ? x( x ?1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4) 的导函数有_____个零点.4 3. 曲线 y ? e 的渐近线是______. x ? 0, y ? 1
x2 1

4. 下列极限中,不能使用罗必塔法则的是(B ). (A) lim x
x ?1 1 1? x

x 2 sin
(B) lim
x ?0

1 x

sin x

(C) lim

ln x x ??? 3 x

(D) lim x ln
x ???

x?a x?a

sin x 5. 设 y ? f ( x ) 满足方程 y?? ? y? ? e ? 0 ,且 f ?( x0 ) ? 0 ,则 f ( x) 在(A ).

(A) x0 处取得极小值 (C) x0 的某个邻域内单调增加

(B) x0 处取得极大值 (D) x0 的某个邻域内单调减少

6. 若 f ( x) 与 g ( x) 可导, lim f ( x) ? lim g ( x) ? 0 ,且 lim
x?a x?a

x ?a

f ( x) ? A ,则( C ). g ( x)

(A)必有 lim
x ?a

f ?( x) ? B 存在,且 A ? B g ?( x) f ?( x) ? B 存在,且 A ? B g ?( x) f ?( x) ? B 存在,则 A ? B g ?( x) f ?( x) ? B 存在,不一定有 A ? B g ?( x)

(B) 必有 lim
x ?a

(C) 如果 lim
x ?a

(D) 如果 lim
x ?a

7. 设偶函数 f ( x) 具有连续的二阶导数,且 f ??( x) ? 0 ,则 x ? 0 ( B ). (A) 不是函数 f ( x) 的驻点 (B) 一定是函数 f ( x) 的极值点 (C) 一定不是函数 f ( x) 的极值点 (D) 是否为函数 f ( x) 的极值点还不能确定 8. 若 lim
x ?a

f ( x) ? f (a ) ? ?3 ,则在点 x ? a 处 ( C ). ( x ? a) 2

(A) f ( x) 的导数存在,且 f ?(a) ? 0 (B) f ( x) 的导数不存在 (C) f ( x) 取得极大值 (D) f ( x) 取得极小值

9.求曲线 y ?

1 2?

e

?

x2 2

的单调区间、极值、拐点并研究图形的凹向.

x
曲线 y

? ??, ?1?
单调增 上凹

?1
拐点

? ?1,0?
1 2? e
单调增 下凹

0 极 大值

(0,1)
单调减 下凹

1
拐点

(1, ??)
单调减 上凹

(?1,

)

1 2?

(1,

1 2? e

)

10.求函数 f ( x) ? ( x ? 4) ? 3 ( x ? 1) 2 的极值和拐点并讨论函数图形的单调性与凹向.
f ?( x )
f ??( x)

x

(??, ?2)

?2

(?2, ? 1)

?1

(?1,1)

1

(1, ??)

f ( x)

+ ↑下凹

+ 0 拐
(?2,6)



+ + ↑上凹

不存在 不存在 极大值 0

+ 上凹 ?

0 + 极小值 ?3 3 4.

+ + ↑上凹

第三章 导数
1.设对于任意的 x ,都有 f (? x) ? ? f ( x) ,且 f ?(? x0 ) ? ?k ? 0 ,则 f ?( x0 ) =____ ? k . 2.若直线 y ?

3 1 x ? b 是抛物线 y ? x2 在某点处的法线,则 b ? _____. 2 2

3.设 f ( x ) 是可导函数,则 lim (A) 0 (C) 2 f ?( x) 4.若 f ( x) ? ?

?x ?0

f 2 ( x ? ?x) ? f 2 ( x) ? ( D). ?x
(B) 2 f ( x) (D) 2 f ( x) f ?( x)

?

eax

x?0

?b ? sin 2 x x ? 0

在 x ? 0 处可导,则 a , b 值应为( A ). (B) a ? 1, b ? 2 (D) a ? 1, b ? ?2

(A) a ? 2, b ? 1 (C) a ? ?2, b ? 1
2 2

5. 设 y ? f (sin x) ? f (cos x) ,其中 f (u ) 是可微函数,求

dy dy dy , , . dx d cos x d cos 2 x

答案:

dy ? sin 2 x[ f ?(sin 2 x) ? f ?(cos 2 x)] ; dx

dy dy ? 2 cos x[ f ?(cos 2 x) ? f ?(sin 2 x)] , ? f ?(cos 2 x) ? f ?(sin 2 x) 2 d cos x d cos x
2 6.曲线 y ? ax ? 1 在点 x ? 1 处的切线与直线 y ?

1 x ? 1 垂直,则 a ? ___. -1 2

7.设 f ( x) ? 2 ,则 lim
x
x ?0

f ?( x) ? f ?(0) ? ____. 2x ln 2 2 x

8. 设 F ( x) ? max ? f1 ( x), f2 ( x)?,0 ? x ? 2 ,其中 f1 ( x) ? x, f 2 ( x) ? x 2 ,则( D ).

1 ? 1 0? x? ? ? 2 (A) F ?( x) ? ? ?2 x 1 ? x ? 2 ? ? 2
(B) F ?( x) ? ?

? 1 0 ? x ?1 ?2 x 1 ? x ? 2 ? 1 0 ? x ?1 ?2 x 1 ? x ? 2 ? 1 0 ? x ?1 ?2 x 1 ? x ? 2
.

(C) F ?( x) ? ?

(D) F ?( x) ? ?

1 3 5 9.曲线 (5 y ? 2) ? (2 x ? 1) 在点 (0,? ) 处的切线方程是 10x ? 15y ? 3 ? 0 5

第一、二章 函数极限与连续
1. f ( x ) 定义域是[2,3],则 f ( 9 ? x 2 ) 的定义域是___. [? 5, 5 ] 2. 设 g ( x) ? 2 ? x ,当 x ? 1 时, f ?g ( x)? ? 3. 若点 (1,2) 在函数 y ? ( B ). (A) (?3,?7) 4.设 f ( x) ? ? (B) (?3,7) (C) (3,?7) (D) 不存在

3 x ,则 f ( ) ? _ _. -1 2 x ?1

ax ? b 的图像上,又在它反函数的图像上,则数对 ( a, b) 为

?0 x ? 0 ? 0 , g ( x) ? ? 2 ?x x ? 0 ?? x

x?0 . x?0

求: f ? f ( x)? , f ?g ( x)? , g?g ( x)? , g? f ( x)? .

(

f ? f ( x)? ? f ( x) , f ?g ( x)? ? 0 , g?g ( x)? ? 0 , g? f ( x)? ? ?( f ( x))2

) D).

5. 设函数 f ( x ) 和 g ( x) ,其中一个是偶函数,一个是奇函数,则必有( (A) f (? x) ? g (? x) ? f ( x) ? g ( x) (B) f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) ? g ( x) (C) f (? x) ? g (? x) ? f ( x) ? g ( x) (D) f (? x) ? g (? x) ? ? f ( x) ? g ( x) 6.若 lim

x2 ? 6 bx 4 ? 2 x 2 ? 4
1 , b ? 16 2

x ?? 4

? a ,则(A )
(B) a ?

(A) a ?

1 ,b ? 1 2

(C) a ? 2, b ? 16

(D) a ? 2, b ? 1
20

?1 ? 2 x ? ?1 ? 3x ? 7. lim
10 x ??

?1 ? 6 x ?

2 15

.

3 ( )5 2

8. lim ?

? 1 1 ? ? ? n ?? 1 ? 3 3?5 ?

?

? 1 ?. ? 2n ? 1?? 2n ? 1? ? ? 2 1

9. lim
x ??

3x ? 5 . 3 1 3 x sin 2 x

? 1 ? ?(1 ? x) x ? 10. 设 f ( x ) ? ? 1 ? x ? x ? sin e ?
11. lim
x ?0

x?0 x?0 x?0
,求 lim f ( x ) . e
x?0

5 1 ? tan x ? 3 1 ? tan x . 2sin x 12 e ?1


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