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全国高中数学竞赛讲义数列、组合


竞赛试卷 §16 排列,组合 1.排列组合题的求解策略 (1)排除:对有限条件的问题,先从总体考虑,再把不符合条件的所有情况排除,这 是解决排列组合题的常用策略. (2)分类与分步 有些问题的处理可分成若干类,用加法原理,要注意每两类的交集为空集,所有各类的 并集是全集;有些问题的处理分成几个步骤,把各个步骤的方法数相乘,即得总的方法数, 这是乘法原理. (3)对称思想:两类情形出现的机会均等,可用总数取半得每种情形的方法数. (4)插空:某些元素不能相邻或某些元素在特殊位置时可采用插空法.即先安排好没 有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入到排好的元素之间. (5)捆绑:把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个“大元素” ,然后与其它“普通元素” 全排列,然后再“松绑” ,将这些特殊元素在这些位置上全排列. (6) 隔板模型: 对于将不可辨的球装入可辨的盒子中, 求装的方法数, 常用隔板模型. 如 将 12 个完全相同的球排成一列, 在它们之间形成的 11 个缝隙中任意插入 3 块隔板, 把球分 3 成 4 堆,分别装入 4 个不同的盒子中的方法数应为 C11 ,这也就是方程 a ? b ? c ? d ? 12 的 正整数解的个数. 2.圆排列 (1)由 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个元素排在一个圆环上,叫 做一个圆排列(或叫环状排列) . (2) 圆排列有三个特点: (i) 无头无尾; (ii) 按照同一方向转换后仍是同一排列; (iii) 两个圆排列只有在元素不同或者元素虽然相同, 但元素之间的顺序不同, 才是不同的圆排列. (3)定理:在 A ? {a1 , a2 , a3 ,?, an } 的 n 个元素中,每次取出 r 个不同的元素进行圆 排列,圆排列数为 3.可重排列 允许元素重复出现的排列,叫做有重复的排列. 在 m 个不同的元素中,每次取出 n 个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序那么 第一、第二、…、第 n 位是的选取元素的方法都是 m 种,所以从 m 个不同的元素中,每次 取出 n 个元素的可重复的排列数为 m . 4.不尽相异元素的全排列 如果 n 个元素中,有 p1 个元素相同,又有 p 2 个元素相同,…,又有 p s 个元素相同 ( p1 ? p2 ? ? ? ps ? n ) ,这 n 个元素全部取的排列叫做不尽相异的 n 个元素的全排列, 它的排列数是 n Pnr . r n! p1!? p 2 !?? ? p s ! 5.可重组合 (1)从 n 个元素,每次取出 p 个元素,允许所取的元素重复出现 1,2, ?, p 次的组合叫 从 n 个元素取出 p 个有重复的组合. 竞赛试卷 r (2)定理:从 n 个元素每次取出 p 个元素有重复的组合数为: H np ? Cn ?( p ?1) . 例题讲解 1.数 1447,1005,1231 有某些共同点,即每个数都是首位为 1 的四位数,且每个四位数中恰 有两个数字相同,这样的四位数共有多少个? 2.有多少个能被 3 整除而又含有数字 6 的五位数? 3.有 2 n 个人参加收发电报培训,每两人结为一对互发互收,有多少种不同的结对方式? 4.将 n ? 1 个不同的小球放入 n 个不同的盒子中,要使每个盒子都不空,共有多少种放法? 5.在正方体的 8 个顶点,12 条棱的中点,6 个面的中心及正方体的中心共 27 个点中,共线 的三点组的个数是多少个? 6.用 8 个


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