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2017年广西百色市中考数学试卷


2017 年广西百色市中考数学试卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.化简:|﹣15|等于( A.15 B.﹣15 C.±15 ) D. )

2.多边形的外角和等于(

A.180°B.360°C.720°D. (n﹣2)?180° 3.在以下一列数 3,3,5,6,7,8 中,中位数是( A.3 B.5 C.5.5 D.6 ) C.x2÷x﹣2=x2 D.x﹣1?x﹣2=x2 ) )

4.下列计算正确的是(

A. (﹣3x)3=﹣27x3 B. (x﹣2)2=x4

5.如图,AM 为∠BAC 的平分线,下列等式错误的是(

A. ∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC 6.5 月 14﹣15 日“一带一路”论坛峰会在北京隆重召开,促进了我国与世界各国 的互联互通互惠,“一带一路”地区覆盖总人数约为 44 亿人,44 亿这个数用科学 记数法表示为( )

A.4.4×108 B.4.4×109 C.4×109 D.44×108 7.如图所示的正三棱柱,它的主视图、俯视图、左视图的顺序是( )

A.①②③ B.②①③ C.③①② D.①③② 8.观察以下一列数的特点:0,1,﹣4,9,﹣16,25,…,则第 11 个数是( A.﹣121 B.﹣100 C.100 D.121
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9.九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组,各小组人数分布如图所示,则在 扇形图中,第一小组对应的圆心角度数是( )

A.45° B.60° C.72° D.120° 10.如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当 动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10 秒钟后,动车车头到 达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是( 秒. )米/

A.20(

+1) B.20(

﹣1)

C.200 D.300

11.以坐标原点 O 为圆心,作半径为 2 的圆,若直线 y=﹣x+b 与⊙O 相交,则 b 的取值范围是( A.0≤b<2 ) C.﹣2 2 D.﹣2 <b<2

B.﹣2

12.关于 x 的不等式组 值是( A.3 ) B.2 C.1 D.

的解集中至少有 5 个整数解,则正数 a 的最小

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.若分式 有意义,则 x 的取值范围为 .

14.一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡片,它们的标号分别为 1,2,3, 4,5,随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是 .

15.下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角
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相等;④两直线平行,同位角相等,其中假命题的有

(填序号)

16.如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴正半轴上,点 A 的坐 标为(2,0) ,将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,则点 C 的对应点 坐标为 .

17.经过 A(4,0) ,B(﹣2,0) ,C(0,3)三点的抛物线解析式是 18.阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 2x2﹣x﹣3 的方法. (1)二次项系数 2=1×2; (2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3) ,验算:“交叉相乘之和”;



1×3+2×(﹣1)=1 ×1+2×(﹣3)=﹣5

1×(﹣1)+2×3=5

1×(﹣3)+2×1=﹣1

1

(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系 数﹣1. 即: (x+1) (2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3,则 2x2﹣x﹣3=(x+1) (2x﹣3) . 像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘 法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12= .

三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分) 19.计算: +( )﹣1﹣(3﹣π)0﹣|1﹣4cos30°| ? ÷ 的值.

20.已知 a=b+2018,求代数式

21.已知反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点 B(3,2) ,点 B 与点 C 关于原
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点 O 对称,BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D. (1)求这个反比函数的解析式; (2)求△ACD 的面积.

22.矩形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,CE、AF 分别交 BD 于 G、H 两 点. 求证: (1)四边形 AFCE 是平行四边形; (2)EG=FH.

23.甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为 10 环)统计如下表(不完全) : 运动员 环数 次数 甲 乙 10 10 8 9 9 9 10 a 8 b 1 2 3 4 5

某同学计算出了甲的成绩平均数是 9,方差是 S 甲 2= [(10﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+(10﹣9)2+(8﹣9)2]=0.8,请作答:

(1)在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来; (2)若甲、乙射击成绩平均数都一样,则 a+b= ;

(3)在(2)的条件下,当甲比乙的成绩较稳定时,请列举出 a、b 的所有可能 取值,并说明理由.

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24.某校九年级 10 个班级师生举行毕业文艺汇演,每班 2 个节目,有歌唱与舞 蹈两类节目,年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个. (1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个? (2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中, 每个节目的演出平均用时分别是 5 分钟、6 分钟、8 分钟,预计所有演出节目交 接用时共花 15 分钟,若从 20:00 开始,22:30 之前演出结束,问参与的小品 类节目最多能有多少个? 25.已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F,若 如图 1, . (1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论; (2)设 AE 与 DF 相交于点 M,如图 2,AF=2FC=4,求 AM 的长. = ,

26.以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点,AC 所在的直线为 x 轴,已知 A (﹣4,0) ,B(0,﹣2) ,M(0,4) ,P 为折线 BCD 上一动点,作 PE⊥y 轴于点 E,设点 P 的纵坐标为 a. (1)求 BC 边所在直线的解析式; (2)设 y=MP2+OP2,求 y 关于 a 的函数关系式; (3)当△OPM 为直角三角形时,求点 P 的坐标.

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2017 年广西百色市中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,共 36 分) 1.化简:|﹣15|等于( A.15 B.﹣15 C.±15 ) D.

【考点】15:绝对值. 【分析】根据绝对值的定义即可解题. 【解答】解:∵负数的绝对值是它的相反数, ∴|﹣15|等于 15, 故选 A.

2.多边形的外角和等于(



A.180°B.360°C.720°D. (n﹣2)?180° 【考点】L3:多边形内角与外角. 【分析】根据多边形的外角和,可得答案. 【解答】解:多边形的外角和是 360°, 故选:B.

3.在以下一列数 3,3,5,6,7,8 中,中位数是( A.3 B.5 C.5.5 D.6



【考点】W4:中位数. 【分析】找中位数要把数据按从小到大的顺序排列,位于最中间的一个数(或两 个数的平均数)为中位数. 【解答】解:从小到大排列此数据为:3,3,5,6,7,8, 第 3 个与第 4 个数据分别是 5,6,所以这组数据的中位数是(5+6)÷2=5.5. 故选 C.

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4.下列计算正确的是(

) C.x2÷x﹣2=x2 D.x﹣1?x﹣2=x2

A. (﹣3x)3=﹣27x3 B. (x﹣2)2=x4

【考点】48:同底数幂的除法;46:同底数幂的乘法;47:幂的乘方与积的乘方; 6F:负整数指数幂. 【分析】根据积的乘方等于乘方的积,幂的乘方底数不变指数相乘,同底数幂的 除法底数不变指数相减,同底数幂的乘法底数不变指数相加,可得答案. 【解答】解:A、积的乘方等于乘方的积,故 A 符合题意; B、幂的乘方底数不变指数相乘,故 B 不符合题意; C、同底数幂的除法底数不变指数相减,故 C 不符合题意; D、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故 D 不符合题意; 故选:A.

5.如图,AM 为∠BAC 的平分线,下列等式错误的是(



A. ∠BAC=∠BAM B.∠BAM=∠CAM C.∠BAM=2∠CAM D.2∠CAM=∠BAC 【考点】IJ:角平分线的定义. 【分析】根据角平分线定义即可求解. 【解答】解:∵AM 为∠BAC 的平分线, ∴ ∠BAC=∠BAM,∠BAM=∠CAM,∠BAM=∠CAM,2∠CAM=∠BAC. 故选:C.

6.5 月 14﹣15 日“一带一路”论坛峰会在北京隆重召开,促进了我国与世界各国 的互联互通互惠,“一带一路”地区覆盖总人数约为 44 亿人,44 亿这个数用科学 记数法表示为( )

A.4.4×108 B.4.4×109 C.4×109 D.44×108 【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.
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n 为整数. 【分析】 科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式, 其中 1≤|a|<10, 确 定 n 的值时,要看把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点 移动的位数相同.当原数绝对值>1 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数. 【解答】解:44 亿这个数用科学记数法表示为 4.4×109, 故选:B.

7.如图所示的正三棱柱,它的主视图、俯视图、左视图的顺序是(



A.①②③ B.②①③ C.③①② D.①③② 【考点】U1:简单几何体的三视图. 【分析】根据简单几何体的三视图,可得答案. 【解答】解:主视图是三角形,俯视图是两个矩形,左视图是一个矩形, 故选:D.

8.观察以下一列数的特点:0,1,﹣4,9,﹣16,25,…,则第 11 个数是( A.﹣121 B.﹣100 C.100 D.121



【考点】37:规律型:数字的变化类. 【分析】根据已知数据得出规律,再求出即可. 【解答】解:0=﹣(1﹣1)2,1=(2﹣1)2,﹣4=﹣(3﹣1)2,9=(4﹣1)2, ﹣16=﹣(5﹣1)2, ∴第 11 个数是﹣(11﹣1)2=﹣100, 故选 B.

9.九年级(2)班同学根据兴趣分成五个小组,各小组人数分布如图所示,则在 扇形图中,第一小组对应的圆心角度数是( )

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A.45° B.60° C.72° D.120° 【考点】VB:扇形统计图;VC:条形统计图. 【分析】 根据条形统计图可以得到第一小组在五个小组中所占的比重,然后再乘 以 360°,即可解答本题. 【解答】解:由题意可得, 第一小组对应的圆心角度数是: 故选 C. ×360°=72°,

10.如图,在距离铁轨 200 米的 B 处,观察由南宁开往百色的“和谐号”动车,当 动车车头在 A 处时,恰好位于 B 处的北偏东 60°方向上;10 秒钟后,动车车头到 达 C 处,恰好位于 B 处的西北方向上,则这时段动车的平均速度是( 秒. )米/

A.20(

+1) B.20(

﹣1)

C.200 D.300

【考点】TB:解直角三角形的应用﹣方向角问题;KU:勾股定理的应用. 【分析】作 BD⊥AC 于点 D,在 Rt△ABD 中利用三角函数求得 AD 的长,在 Rt△ BCD 中,利用三角函数求得 CD 的长,则 AC 即可求得,进而求得速度. 【解答】解:作 BD⊥AC 于点 D. ∵在 Rt△ABD 中,∠ABD=60°, ∴AD=BD?tan∠ABD=200 同理,CD=BD=200(米) .
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(米) ,

则 AC=200+200 则平均速度是 故选 A.

(米) . =20( +1)米/秒.

11.以坐标原点 O 为圆心,作半径为 2 的圆,若直线 y=﹣x+b 与⊙O 相交,则 b 的取值范围是( A.0≤b<2 ) C.﹣2 2 D.﹣2 <b<2

B.﹣2

【考点】MB:直线与圆的位置关系;F7:一次函数图象与系数的关系. 【分析】求出直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过一、二、四象限,和当直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过二、三、四象限时 b 的值,则相交时 b 的值在相 切时的两个 b 的值之间. 【解答】解:当直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过一、二、四象限时,如图. 在 y=﹣x+b 中,令 x=0 时,y=b,则与 y 轴的交点是(0,b) , 当 y=0 时,x=b,则 A 的交点是(b,0) , 则 OA=OB,即△OAB 是等腰直角三角形. 连接圆心 O 和切点 C.则 OC=2. 则 OB= OC=2 .即 b=2 ; .

同理,当直线 y=﹣x+b 与圆相切,且函数经过二、三、四象限时,b=﹣2 则若直线 y=﹣x+b 与⊙O 相交,则 b 的取值范围是﹣2 <b<2 .

12.关于 x 的不等式组

的解集中至少有 5 个整数解,则正数 a 的最小
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值是( A.3

) B.2 C.1 D.

【考点】CC:一元一次不等式组的整数解. 【分析】 首先解不等式组求得不等式组的解集,然后根据不等式组的整数解的个 数从而确定 a 的范围,进而求得最小值. 【解答】解: 解①得 x≤a, 解②得 x>﹣ a. 则不等式组的解集是﹣ a<x≤a. ∵不等式至少有 5 个整数解,则 a 的范围是 a≥2. a 的最小值是 2. 故选 B. ,

二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分) 13.若分式 有意义,则 x 的取值范围为 x≠2 .

【考点】62:分式有意义的条件. 【分析】根据分母不为零分式有意义,可得答案. 【解答】解:由题意,得 x﹣2≠0. 解得 x≠2, 故答案为:x≠2.

14.一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡片,它们的标号分别为 1,2,3, 4,5,随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是 【考点】X4:概率公式. 【分析】 根据一个不透明的盒子里有 5 张完全相同的卡片, 它们的标号分别为 1, 2,3,4,5,其中奇数有 1,3,5,共 3 个,再根据概率公式即可得出答案.
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【解答】解:∵共有 5 个数字,奇数有 3 个, ∴随机抽取一张,抽中标号为奇数的卡片的概率是 . 故答案是 .

15.下列四个命题中:①对顶角相等;②同旁内角互补;③全等三角形的对应角 相等;④两直线平行,同位角相等,其中假命题的有 【考点】O1:命题与定理. 【分析】要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假 命题,只需举出一个反例即可. 【解答】解:①对顶角相等是真命题; ②同旁内角互补是假命题; ③全等三角形的对应角相等是真命题; ④两直线平行,同位角相等是真命题; 故假命题有②, 故答案为:②. ② (填序号)

16.如图,在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴正半轴上,点 A 的坐 标为(2,0) ,将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,则点 C 的对应点 坐标为 (1,3) .

【考点】Q3:坐标与图形变化﹣平移. 【分析】将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,即将正方形 OABC 沿先 向右平移 1 个单位, 再向上平移 1 个单位, 根据平移规律即可求出点 C 的对应点 坐标. 【解答】解:∵在正方形 OABC 中,O 为坐标原点,点 C 在 y 轴正半轴上,点 A
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的坐标为(2,0) , ∴OC=OA=2,C(0,2) , ∵将正方形 OABC 沿着 OB 方向平移 OB 个单位,即将正方形 OABC 沿先向右平 移 1 个单位,再向上平移 1 个单位, ∴点 C 的对应点坐标是(1,3) . 故答案为(1,3) .

17.经过 A(4,0) ,B(﹣2,0) ,C(0,3)三点的抛物线解析式是 x+3 .

y=﹣ x2+

【考点】H8:待定系数法求二次函数解析式. 【分析】根据 A 与 B 坐标特点设出抛物线解析式为 y=a(x﹣2) (x﹣4) ,把 C 坐 标代入求出 a 的值,即可确定出解析式. 【解答】解:根据题意设抛物线解析式为 y=a(x+2) (x﹣4) , 把 C(0,3)代入得:﹣8a=3,即 a=﹣ , 则抛物线解析式为 y=﹣ (x+2) (x﹣4)=﹣ x2+ x+3, 故答案为 y=﹣ x2+ x+3.

18.阅读理解:用“十字相乘法”分解因式 2x2﹣x﹣3 的方法. (1)二次项系数 2=1×2; (2)常数项﹣3=﹣1×3=1×(﹣3) ,验算:“交叉相乘之和”;

1×3+2×(﹣1)=1 ×1+2×(﹣3)=﹣5

1×(﹣1)+2×3=5

1×(﹣3)+2×1=﹣1

1

(3)发现第③个“交叉相乘之和”的结果 1×(﹣3)+2×1=﹣1,等于一次项系 数﹣1.
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即: (x+1) (2x﹣3)=2x2﹣3x+2x﹣3=2x2﹣x﹣3,则 2x2﹣x﹣3=(x+1) (2x﹣3) . 像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘 法.仿照以上方法,分解因式:3x2+5x﹣12= (x+3) (3x﹣4) 【考点】57:因式分解﹣十字相乘法等. 【分析】根据“十字相乘法”分解因式得出 3x2+5x﹣12=(x+3) (3x﹣4)即可. 【解答】解:3x2+5x﹣12=(x+3) (3x﹣4) . 故答案为: (x+3) (3x﹣4) .

三、解答题(本大题共 8 小题,共 66 分) 19.计算: +( )﹣1﹣(3﹣π)0﹣|1﹣4cos30°|

【考点】2C:实数的运算;6E:零指数幂;6F:负整数指数幂;T5:特殊角的三 角函数值. 【分析】原式利用二次根式性质,零指数幂、负整数指数幂法则,以及绝对值的 代数意义化简,计算即可得到结果. 【解答】解:原式=2 +2﹣1﹣2 +1=2.

20.已知 a=b+2018,求代数式 【考点】6D:分式的化简求值.

?

÷

的值.

【分析】先化简代数式,然后将 a=b+2018 代入即可求出答案. 【解答】解:原式= =2(a﹣b) ∵a=b+2018, ∴原式=2×2018=4036 × ×(a﹣b) (a+b)

21.已知反比例函数 y= (k≠0)的图象经过点 B(3,2) ,点 B 与点 C 关于原 点 O 对称,BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D. (1)求这个反比函数的解析式;
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(2)求△ACD 的面积.

【考点】G5:反比例函数系数 k 的几何意义;G6:反比例函数图象上点的坐标 特征;R7:坐标与图形变化﹣旋转. 【分析】 (1)根据待定系数法,可得函数解析式; (2)根据三角形的面积公式,可得答案. 【解答】解: (1)将 B 点坐标代入函数解析式,得 =2, 解得 k=6, 反比例函数的解析式为 y= ; (2)由 B(3,2) ,点 B 与点 C 关于原点 O 对称,得 C(﹣3,﹣2) . 由 BA⊥x 轴于点 A,CD⊥x 轴于点 D, 得 A(3,0) ,D(﹣3,0) . S△ACD= AD?CD= [3﹣(﹣3)]×|﹣2|=6.

22.矩形 ABCD 中,E、F 分别是 AD、BC 的中点,CE、AF 分别交 BD 于 G、H 两 点. 求证: (1)四边形 AFCE 是平行四边形; (2)EG=FH.

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【考点】LB:矩形的性质;L7:平行四边形的判定与性质. 【分析】 (1)根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明即可; (2)可证明 EG 和 FH 所在的△DEG、△BFH 全等即可. 【解答】解: (1)证明:∵四边形 ABCD 是矩形, ∴AD∥BC,AD=BC, ∵E、F 分别是 AD、BC 的中点, ∴AE= AD,CF= BC, ∴AE=CF, ∴四边形 AFCE 是平行四边形; (2)∵四边形 AFCE 是平行四边形, ∴CE∥AF, ∴∠DGE=∠AHD=∠BHF, ∵AB∥CD, ∴∠EDG=∠FBH, 在△DEG 和△BFH 中 , ∴△DEG≌△BFH(AAS) , ∴EG=FH.

23.甲、乙两运动员的射击成绩(靶心为 10 环)统计如下表(不完全) : 运动员 环数 次数
第 17 页(共 25 页)

1

2

3

4

5

甲 乙

10 10

8 9

9 9

10 a

8 b

某同学计算出了甲的成绩平均数是 9,方差是 S 甲 2= [(10﹣9)2+(8﹣9)2+(9﹣9)2+(10﹣9)2+(8﹣9)2]=0.8,请作答:

(1)在图中用折线统计图将甲运动员的成绩表示出来; (2)若甲、乙射击成绩平均数都一样,则 a+b= 17 ;

(3)在(2)的条件下,当甲比乙的成绩较稳定时,请列举出 a、b 的所有可能 取值,并说明理由.

【考点】VD:折线统计图;W2:加权平均数;W7:方差. 【分析】 (1)根据表中数据描点、连线即可得; (2)根据平均数的定义列出算式,整理即可得; (3)由 a+b=17 得 b=17﹣a,将其代入到 S 甲 2<S 乙 2,即
2

[(10﹣9)2+(9﹣9)

+(9﹣9)2+(a﹣9)2+(b﹣9)2]<0.8,得到 a2﹣17a+71<0,求出 a 的范围,

根据 a、b 均为整数即可得出答案. 【解答】解: (1)如图所示:

(2)由题意知, ∴a+b=17, 故答案为:17;

=9,

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(3)∵甲比乙的成绩较稳定, ∴S


2

<S



2

,即

[(10﹣9)2+(9﹣9)2+(9﹣9)2+(a﹣9)2+(b﹣9)2]

<0.8, ∵a+b=17, ∴b=17﹣a, 代入上式整理可得:a2﹣17a+71<0, 解得: <a< ,

∵a、b 均为整数, ∴a=8 时,b=9;a=9 时,b=8.

24.某校九年级 10 个班级师生举行毕业文艺汇演,每班 2 个节目,有歌唱与舞 蹈两类节目,年级统计后发现唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个. (1)九年级师生表演的歌唱与舞蹈类节目数各有多少个? (2)该校七、八年级师生有小品节目参与,在歌唱、舞蹈、小品三类节目中, 每个节目的演出平均用时分别是 5 分钟、6 分钟、8 分钟,预计所有演出节目交 接用时共花 15 分钟,若从 20:00 开始,22:30 之前演出结束,问参与的小品 类节目最多能有多少个? 【考点】C9:一元一次不等式的应用;9A:二元一次方程组的应用. 【分析】 (1)设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个,舞蹈类节目有 y 个,根据 “两类节目的总数为 20 个、唱歌类节目数比舞蹈类节目数的 2 倍少 4 个”列方程 组求解可得; (2)设参与的小品类节目有 a 个,根据“三类节目的总时间+交接用时<150”列 不等式求解可得. 【解答】解: (1)设九年级师生表演的歌唱类节目有 x 个,舞蹈类节目有 y 个, 根据题意,得: 解得: , ,

答:九年级师生表演的歌唱类节目有 12 个,舞蹈类节目有 8 个;

第 19 页(共 25 页)

(2)设参与的小品类节目有 a 个, 根据题意,得:12×5+8×6+8a+15<150, 解得:a< ,

由于 a 为整数, ∴a=3, 答:参与的小品类节目最多能有 3 个.

25.已知△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F,若 如图 1, . (1)判断△ABC 的形状,并证明你的结论; (2)设 AE 与 DF 相交于点 M,如图 2,AF=2FC=4,求 AM 的长.

=



【考点】MI:三角形的内切圆与内心. 【分析】 (1) 易证∠EOF+∠C=180°, ∠DOE+∠B=180°和∠EOF=∠DOE, 即可解题; (2)连接 OB、OC、OD、OF,易证 AD=AF,BD=CF 可得 DF∥BC,再根据 AE 长 度即可解题. 【解答】解: (1)△ABC 为等腰三角形, ∵△ABC 的内切圆⊙O 与 AB、BC、AC 分别相切于点 D、E、F, ∴∠CFE=∠CEF=∠BDO=∠BEO=90°, ∵四边形内角和为 360°, ∴∠EOF+∠C=180°,∠DOE+∠B=180°, ∵ = ,

∴∠EOF=∠DOE, ∴∠B=∠C,AB=AC, ∴△ABC 为等腰三角形;
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(2)连接 OB、OC、OD、OF,如图,

∵等腰三角形 ABC 中,AE⊥BC, ∴E 是 BC 中点,BE=CE, ∵在 Rt△AOF 和 Rt△AOD 中, ∴Rt△AOF≌Rt△AOD, ∴AF=AD, 同理 Rt△COF≌Rt△COE,CF=CE=2, Rt△BOD≌Rt△BOE,BD=BE, ∴AD=AF,BD=CF, ∴DF∥BC, ∴ = , =4 × = , . ,

∵AE= ∴AM=4

26.以菱形 ABCD 的对角线交点 O 为坐标原点,AC 所在的直线为 x 轴,已知 A (﹣4,0) ,B(0,﹣2) ,M(0,4) ,P 为折线 BCD 上一动点,作 PE⊥y 轴于点 E,设点 P 的纵坐标为 a. (1)求 BC 边所在直线的解析式; (2)设 y=MP2+OP2,求 y 关于 a 的函数关系式; (3)当△OPM 为直角三角形时,求点 P 的坐标.

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【考点】LO:四边形综合题. 【分析】 (1)先确定出 OA=4,OB=2,再利用菱形的性质得出 OC=4,OD=2,最 后用待定系数法即可确定出直线 BC 解析式; (2)分两种情况,先表示出点 P 的坐标,利用两点间的距离公式即可得出函数 关系式; (3)分两种情况,利用勾股定理的逆定理建立方程即可求出点 P 的坐标. 【解答】解: (1)∵A(﹣4,0) ,B(0,﹣2) , ∴OA=4,OB=2, ∵四边形 ABCD 是菱形, ∴OC=OA=4,OD=OB=2, ∴C(4,0) ,D(0,2) , 设直线 BC 的解析式为 y=kx﹣2, ∴4k﹣2=0, ∴k= , ∴直线 BC 的解析式为 y= x﹣2;

(2)由(1)知,C(4,0) ,D(0,2) , ∴直线 CD 的解析式为 y=﹣ x+2, 由(1)知,直线 BC 的解析式为 y= x﹣2, 当点 P 在边 BC 上时, 设 P(2a+4,a) (﹣2≤a<0) , ∵M(0,4) ,
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2 2 2 2 2 2 2 ∴y=MP2+OP2= (2a+4) + (a﹣4) + (2a+4) +a =2 (2a+4) + (a﹣4) +a =10a2+24a+48

当点 P 在边 CD 上时, ∵点 P 的纵坐标为 a, ∴P(4﹣2a,a) (0≤a≤2) , ∵M(0,4) , ∴y=MP2+OP2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2+(4﹣2a)2+a2=10a2﹣40a+48, (3)①当点 P 在边 BC 上时,即:0≤a≤2, 由(2)知,P(2a+4,a) , ∵M(0,4) ,
2 2 2 2 PM2= =5a2﹣8a+32, OM2=16, ∴OP2= (2a+4) +a =5a2+16a+16, (2a+4) + (a﹣4)

∵△POM 是直角三角形,易知,PM 最大, ∴OP2+OM2=PM2, ∴5a2+16a+16+16=5a2﹣8a+32, ∴a=0(舍) ②当点 P 在边 CD 上时,即:0≤a≤2 时, 由(2)知,P(4﹣2a,a) , ∵M(0,4) , ∴OP2=(4﹣2a)2+a2=5a2﹣16a+16,PM2=(4﹣2a)2+(a﹣4)2=5a2﹣24a+32, OM2=16, ∵△POM 是直角三角形, Ⅰ、当∠POM=90°时, ∴OP2+OM2=PM2, ∴5a2﹣16a+16+16=5a2﹣24a+32, ∴a=0, ∴P(4,0) , Ⅱ 、 当 ∠ MPO=90° 时 , OP2+PM2=5a2 ﹣ 16a+16+5a2 ﹣ 24a+32=10a2 ﹣ 40a+48=OM2=16, ∴a=2+ ∴P( (舍)或 a=2﹣ ,2﹣ ) ,
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即:当△OPM 为直角三角形时,点 P 的坐标为(

,2﹣

) , (4,0) .

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2017 年 7 月 8 日

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