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2015届高考调研文科课时作业79


课时作业(七十九)
1.(2013· 陕西)已知 a,b,m,n 均为正数,且 a+b=1,mn=2,则(am+ bn)(bm+an)的最小值为________. 答案 解析 2 (am + bn)(bm + an) = abm2 + (a2 + b2)mn + abn2 = ab(m2 + n2) + 2(a2 +

b2)≥2abmn + 2(a2 + b2)= 4ab + 2(a2 + b2)= 2(a2 + 2ab + b2)= 2(a + b)2 = 2( 当且仅 当 m=m= 2时等号成立). 2.(2014· 沧州七校联考)若 logxy=-2,则 x+y 的最小值为________. 答案 解析 3 3 2 2 1 由 logxy=-2,得 y=x2.

3 xx 1 3 1 33 2 1 x x 1 x 1 而 x+y=x+x2=2+2+x2≥3 2· · = ,当且仅当 2=3 2x 4 2 2=x2即 x= 3 3 3 2 2时取等号.所以 x+y 的最小值为 . 2 3.已知关于 x 的不等式 2x+ 的最小值为________. 答案 解析 3 a≥ . 2 4.若 a,b,c∈R+,且 a+b+c=1,则 a+ b+ c的最大值为________. 答案 解析 3 方法一:( a+ b+ c)2=a+b+c+2 ab+2 bc +2 ca ≤a+b+c 3 2 2x+ 2 2 =2(x-a)+ +2a≥2 x-a x-a 2?x-a? 2 +2a=2a+4≥7, ∴ x-a 2 ≥7 在 x∈(a,+∞)上恒成立,则实数 a x-a

+(a+b)+(b+c)+(c+a)=3. 当且仅当 a=b=c 时取等号成立.

方法二:柯西不等式:( a+ b+ c)2=(1× a+1× b+1× c)2≤(12+12 +12)(a+b+c)=3. 5.若不等式|a-1|≥x+2y+2z,对满足 x2+y2+z2=1 的一切实数 x,y,z 恒成立,则实数 a 的取值范围是________. 答案 解析 a≥4 或 a≤-2 由柯西不等式,得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,由题意

|a-1|≥3,∴a≥4 或 a≤-2. 6.把一条长是 m 的绳子裁成三段,各围成一个正方形,则这三个正方形的 面积和的最小值为________. 答案 解析 m2 48 设三段的长度分别为 x,y,z,则 x+y+z=m,三个正方形的面积和

x y z 1 为 S=(4)2+(4)2+(4)2=16(x2+y2+z2). 因为(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x+y+z)2=m2, m 当且仅当 x=y=z= 3 时等号成立. m2 m2 所以 x2+y2+z2 有最小值 3 ,从而 S 有最小值48 . 7.已知实数 a,b,c,d 满足 a2+b2=1,c2+d2=2,则 ac+bd 的最大值为 ________. 答案 解析 2 ∵(ac+bd)2=(ac)2+(bd)2+2abcd

≤(ac)2+(bd)2+(ad)2+(bc)2=(a2+b2)(c2+d2)=2, ∴|ac+ad|≤ 2,即- 2≤ac+bd≤ 2. x y z 1 1 1 8.已知 x,y,z 均为正数.求证:yz+zx+xy≥ x+ y+ z . 答案 证明 略 x y 1x y 2 y z 2 因为 x, y, z 均为正数, 所以yz+zx= z (y+x)≥ z , 同理可得zx+xy≥ x,

z x 2 xy+yz≥ y,当且仅当 x=y=z 时,以上三式等号都成立,将上述三个不等式两边

x y z 1 1 1 分别相加,并除以 2,得yz+zx+xy≥x +y + z . 9.(2014· 东北三校)已知实数 x,y,z 满足 x2+4y2+9z2=a(a>0),且 x+y+z 的最大值是 1,求 a 的值. 答案 解析 36 49 由柯西不等式,得

1 1 1 1 [x2+(2y)2+(3z)2][12+(2)2+(3)2]≥(x+2×2y+3×3z)2(当且仅当 x=4y=9z 时取等号). 因为 x2+4y2+9z2=a(a>0), 49 7 a 7 a 所以36a≥(x+y+z)2,即- 6 ≤x+y+z≤ 6 . 7 a 36 因为 x+y+z 的最大值是 1,所以 6 =1,a=49. 36 9 4 所以当 x=49,y=49,z=49时,x+y+z 取最大值 1. 36 所以 a 的值为49. 10.已知实数 m,n>0. a2 b2 ?a+b? (1)求证: m + n ≥ ; m+n 2 9 1 (2)求函数 y= x+ 〔x∈(0,2)〕的最小值. 1-2x 答案 (1)略 (2)25
2

(1)证明

因为 m,n>0,利用柯西不等式,

a2 b2 得(m+n)( m + n )≥(a+b)2, a2 b2 ?a+b? 所以 m + n ≥ . m+n (2)解析 ?2+3?2 2 9 22 32 由(1),函数 y=x+ = + ≥ =25, 1-2x 2x 1-2x 2x+?1-2x?
2

2 9 1 1 所以函数 y=x + 〔x∈(0,2)〕的最小值为 25,当且仅当 x=5时取得. 1-2x 11.已知实数 a,b,c,d 满足 a+b+c+d=3,a2+2b2+3c2+6d2=5,试

求 a 的最值. 答案 解析 amax=2,amin=1 由柯西不等式,得

?1 1 1? (2b2+3c2+6d2)?2+3+6?≥(b+c+d)2, ? ? 即 2b2+3c2+6d2≥(b+c+d)2,由条件, 可得 5-a2≥(3-a)2, 解得 1≤a≤2,当且仅当 2b 3c 6d = = 时等号成立, 1 1 1 2 3 6

1 1 1 2 1 即当 b=2,c=3,d=6,amax=2;b=1,c=3,d=3时,amin=1.


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