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【高考第一轮复习数学】三角函数、统计概率、数列精选模拟考题


1.在中, sin A ? cos A ? 解法一:

2 ,AC=2, AB=3, 求 tgA 的值和△ABC 的面积. 2

∵ sin A ? cos A ? ∴ cos( A ? 45 ?) ? 又 0? <A<18 0? ,

2 cos(A ? 45?) ?
1 . 2

2 , 2

∴ A ? 45? ? 60?, A ? 105?. ∴ tgA ? tg (45? ? 60?)

=

1? 3 1? 3

? ?2 ? 3

sin A ? sin 105? ? sin(45? ? 60?)
= sin 45? cos60? ? cos 45? sin 60? ?

2? 6 4

= 解法二:

3 ( 2 ? 6 ). 4

∵ sin A ? cos A ?
2

2 , 2
1 , 2



∴ (sin A ? cos A) ?

∴ 2 sin A cos A ? ? . 又∵ 0? <A<18 0? , ∴sinA>0, cosA<0. ∵ (sin A ? cos A) ? 1 ? 2 sin A cos A ?
2

1 2

3 , 2

∴ sin A ? cos A ?

6 . 2 2? 6 . 4



①+②得 sin A ?

①--②得 cos A ?

2? 6 . 4

∴ tgA ?

sin A 2? 6 4 ? ? ? ?2 ? 3. cos A 4 2? 6
1 2 ,乙每次击中目标的概率为 . 2 3

(以下同解法一) 2. 甲、乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为

(Ⅰ)记甲击中目标的次数为ξ ,求ξ 的概率分布及数学期望 Eξ ; (Ⅱ)求乙至多击中目标 2 次的概率; (Ⅲ)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.

1 3 P (? ? ?? ? C30 ( )3 ? ; 2 8 解: (I)

3 1 1 P (? ? 1? ? C3 ( )3 ? ; 2 8

1 3 P(? ? 2? ? C32 ( )3 ? ; 2 8

3 3 1 P (? ? 3? ? C3 ( )3 ? ; 2 8

? 的概率分布如下表: ?
P 0 1 2 3

1 8

3 8

3 8

1 8

1 1 3 3 1 E? ? 0. ? 1. ? 2. ? 3. ? 1.5( 或 E? ? 3. ? 1.5.) 2 8 8 8 8 19 3 2 3 . (II)乙至多击中目标 2 次的概率为 1 ? C3 ( ) ? 3 27
(III)设甲恰比乙多击中目标 2 次为事件 A,甲恰击中目标 2 次且乙恰击中目标 0 次 为事件 B1 ,甲恰击中目标 3 次且乙恰击中目标 1 次为事件 B2 ,则 A ? B1 ? B2 .

B1, B2 为互斥事件.
3 1 1 2 1 P( A) ? P( B1 ) ? P( B2 ) ? . ? . ? . 8 27 8 9 24 1 所以,甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率为 . 24
, 3, ,且 a1,a2,a3 成公比不 3. 数列 ?an ? 中, a1 ? 2 an?1 ? an ? cn ( c 是常数, n ? 1 2,? )
为 1 的等比数列. (I)求 c 的值; (II)求 ?an ? 的通项公式. 解: (I) a1 ? 2 , a2 ? 2 ? c , a3 ? 2 ? 3c , 因为 a1 , a2 , a3 成等比数列,

A

D

O C

B

所以 (2 ? c)2 ? 2(2 ? 3c) , 解得 c ? 0 或 c ? 2 . 当 c ? 0 时, a1 ? a2 ? a3 ,不符合题意舍去,故 c ? 2 . (II)当 n ≥ 2 时,由于

a2 ? a1 ? c , a3 ? a2 ? 2c ,
??

an ? an?1 ? (n ?1)c ,
所以 an ? a1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]c ?

n(n ? 1) c. 2

又 a1 ? 2 , c ? 2 ,故 an ? 2 ? n(n ?1) ? n2 ? n ? 2(n ? 2,?) . 3, 当 n ? 1 时,上式也成立, 所以 an ? n2 ? n ? 2(n ? 1 2, ) . ,? 4. 某条公共汽车线路沿线共有 11 个车站(包括起点站和终点站) ,在起点站开出的一辆公 共汽车上有 6 位乘客,假设每位乘客在起点站之外的各个车站下车是等可能的.求: (I)这 6 位乘客在其不相同的车站下车的概率; (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率; 解: (I)这 6 位乘客在互不相同的车站下车的概率为

P?

6 A10 1512 ? ≥ ?.1512 . 106 106

3 C6 ? 93 1458 ? 6 ? 0.01458 . (II)这 6 位乘客中恰有 3 人在终点站下车的概率为 P ? 106 10

5. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 sin ? x sin(? x ?
2

?
2

)(? ? 0) 的最小正周期为π .

(Ⅰ)求ω 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)在区间[0, 解: (Ⅰ) f ( x) ?

2? ]上的取值范围. 3

1 ? cos 2? x 3 ? sin 2? x 2 2 3 1 1 π? 1 ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? sin ? 2? x ? ? ? . 2 2 2 6? 2 ?
2π ? π ,解得 ? ? 1 . 2?

?

因为函数 f ( x ) 的最小正周期为 π ,且 ? ? 0 ,所以

(Ⅱ)由(Ⅰ)得 f ( x) ? sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 ?? . 6? 2

因为 0 ≤ x ≤

2π π π 7π 1 π? ? ,所以 ? ≤ 2 x ? ≤ ,所以 ? ≤ sin ? 2 x ? ? ≤1 . 3 6 6 6 2 6? ?

因此 0 ≤ sin ? 2 x ?

? ?

π? 1 3 ? 3? ? ? ≤ ,即 f ( x) 的取值范围为 ?0, ? . 6? 2 2 ? 2?

6. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到 A,B,C,D 四个不同的岗位服务,每个岗位至 少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率. 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 A 岗位服务为事件 EA ,那么 P( EA ) ? 即甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率是
3 A3 1 , ? 2 4 C5 A4 40

1 . 40
4 A4 1 ? , 2 4 C5 A4 10

(Ⅱ)设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件 E ,那么 P( E ) ?

所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 P ( E ) ? 1 ? P ( E ) ? 7. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? ? x) cos x . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

9 . 10

w.w. w. k.s .5.u.c.o.m

? ? ?? 上的最大值和最小值. , ? 6 2? ?

解析: (Ⅰ)∵ f ? x ? ? 2sin ?? ? x ? cos x ? 2sin x cos x ? sin 2x , ∴函数 f ( x ) 的最小正周期为 ? . (Ⅱ)由 ?

?
6

?x?

?
2

??

?
3

? 2 x ? ? ,∴ ?

3 ? sin 2 x ? 1 , 2

∴ f ( x ) 在区间 ? ?

3 ? ? ?? . , ? 上的最大值为 1,最小值为 ? 2 ? 6 2?

8. 已知 | an | 为等差数列,且 a3 ? ?6 , a6 ? 0 。 (Ⅰ)求 | an | 的通项公式;

(Ⅱ)若等差数列 | bn | 满足 b1 ? ?8 , b2 ? a1 ? a2 ? a3 ,求 | bn | 的前 n 项和公式. 解: (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差 d 。 因为 a3 ? ?6, a6 ? 0 所以 ?

? a1 ? 2d ? ?6 ? a1 ? 5d ? 0

解得 a1 ? ?10, d ? 2

所以 an ? ?10 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ?12 (Ⅱ)设等比数列 {bn } 的公比为 q 因为 b2 ? a1 ? a 2 ?a3 ? ?24, b ? ?8 所以 ?8q ? ?24 即 q =3

b1 (1 ? q n ) 所以 {bn } 的前 n 项和公式为 Sn ? ? 4(1 ? 3n ) . 1? q
9. 已知函数 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ)求 f ( x ) 在区间 ? ?

?
6

) ? 1.

? ? ?? 上的最大值和最小值。 , ? 6 4? ?

解析: )因为 f ( x) ? 4 cos x sin( x ? (Ⅰ

?
6

) ? 1 ? 4 cos x(

3 1 sin x ? cos x) ? 1 2 2

[高考资源网 KS5U.COM]

? 3 sin 2 x ? 2 cos2 x ? 1 ? 3 sin 2x ? cos2x ? 2 sin( 2 x ?
为? (Ⅱ)因为 ?

?
6

) 所以 f (x) 的最小正周期

?
6

?x?

?
4

, 所以 ?

?
?
6

? 2x ? ??

?
6

?

, 即x ? ? 时, f ( x) 取得最小值—1. 6 6 6 (sin x ? cos x) sin 2 x 10. 已知函数 f ( x) ? 。 sin x
(1)求 f (x) 的定义域及最小正周期; (2)求 f (x) 的单调递增区间。

f (x) 取得最大值 2;当 2 x ?

?

2? ? ? ? . 于是,当 2 x ? ? , 即x ? 时, 3 6 2 6

?

s 解(1) n :i

x ? ? x k( k? Z 0 ? ?)

得:函数 f ( x ) 的定义域为 {x x ? k? , k ? Z}

f ( x) ?

(sin x ? cos x) sin 2 x ? (sin x ? cos x) ? 2 cos x sin x

? sin 2 x ? (1 ? cos 2 x) ? 2 sin(2 x ? ) ? 1 4 2? ?? ; 得: f (x) 的最小正周期为 T ? 2
(2)函数 y ? sin x 的单调递增区间为 [2k? ?

?

, 2k? ? ](k ? Z ) 2 2 ? ? ? ? 3? 则 2 k? ? ? 2 x ? ? 2 k? ? ? k? ? ? x ? k? ? 2 4 2 8 8 ? 3? ](k ? Z ) 得: f (x) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ), ( k? , k? ? 8 8

?

?


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