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2014届高考数学(理科)二轮专题突破辅导与测试课件专题二 第1讲 三角函数的图像与性质选择、填空题型


第一讲

三角函数的图像与性质?选择、填空题型?

考点 三角函数的图像 三角函数的性质 求函数的解析式 求三角函数的值域 或最值

考情 1.对三角函数图像的考查主要是平移、伸 缩变换,或由图像确定函数的解析式,如2013 年四川T5,山东T5等. 2.三角函数的性质是考查的重点,可以单 独命题,也可与三角变换交汇,综合考查三角 函数的单调性、周期性、最值等.另外由性质 确定函数的解析式也是高考考查的重点,如 2013年江西T11,新课标全国卷ⅠT15等.

1.(2013· 山东高考)将函数 y=sin(2x+φ)的图像沿 x 轴向左 π 平移 个单位后,得到一个偶函数的图像,则 φ 的一个 8 可能取值为 3π A. 4 C.0 π B. 4 π D.- 4 ( )

π 解析:把函数y=sin(2x+φ)的图像向左平移 8 个单位后,
? ? π 得到的图像的解析式是y=sin ?2x+4+φ? ,该函数是偶函数 ? ?

π π 的充要条件是 4 +φ=kπ+ 2 ,k∈Z,根据选项检验可知φ π 的一个可能取值为4.

答案:B

2.(2013· 四川高考)函数f(x)=2sin(ωx+
? π ?ω>0,- φ) 2 ?

π? < φ<2?的部分图像如图 ? ( )

所示,则ω,φ的值分别是 π A.2,-3 π C.4,-6

π B.2,-6

π D.4,3 5π ? π? 2π 3 5π ?- ? = 解析:因为 12 - 3 ω · ,所以ω=2.又因为2× 12 +φ 4 ? ?

π π π π =2+2kπ(k∈Z),且-2<φ<2,所以φ=-3. 答案:A

3.(2013· 江西高考)函数y=sin 2x+2 3 sin2x的最小正周期T为 ________.

解析:y=sin 2x+2
? π? 2sin?2x-3?+ ? ?

3 sin2x=sin 2x-

3 cos 2x+

3=

2π 3,所以该函数的最小正周期为T= 2 =π.

答案:π

4.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设当x=θ时,函数f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则cos θ=________.

解析:f(x)=sin x-2cos x= 5

? ? ? ?

? 5 2 5 ? sin x- 5 cos x? = 5sin 5 ?

2 5 5 π (x-φ),其中sin φ= 5 ,cos φ= 5 ,当x-φ=2kπ+ 2 (k∈ π Z)时函数f(x)取到最大值,即θ=2kπ+ 2 +φ(k∈Z)时函数f(x) 2 5 取到最大值,所以cos θ=-sin φ=- 5 . 2 5 答案:- 5

1.六组诱导公式

sin(2kπ+α)=sin α(k∈Z),cos(2kπ+α)=cos α(k∈ 公式一 Z),tan(2kπ+α)=tan α(k∈Z) sin(π+α)=-sin α,cos(π+α)=-cos α, 公式二 tan(π+α)=tan α
sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α, tan(-α)=-tan α sin(π-α)=sin α,cos(π-α)=-cos α, 公式四 tan(π-α)=-tan α

公式三

公式五
公式六

?π ? sin?2-α?=cos ? ?

?π ? α,cos?2-α?=sin ? ?

α

?π ? ?π ? sin?2+α?=cos α,cos?2+α?=-sin α ? ? ? ?

2.三种函数的图像和性质

函数

y=sin x

y=cos x

y=tan x

图像

单 调 性

? π π 在 -2 +2kπ , 2+2kπ? ? ? (k ∈ Z) 上 单 调 递 增 ; 在

在[-π+2kπ, 2kπ](k∈Z)上单 调递增;在 ?π ? 3π ? +2kπ?(k [2kπ,π+2kπ](k ? +2kπ , 2 ?2 ? ∈Z)上单调递减 ∈Z)上单调递减

? ? ? ?

? π 在?-2+kπ ?



? π ? 2+kπ? (k∈Z)上

单调递增

函数

y=sin x
对称中心: (kπ,0)(k∈

y=cos x
对称中心:
?π ? ? +kπ,0? ?2 ?

y=tan x

对称性

Z);

π 对称轴:x= 2 对称轴: +kπ(k∈Z) x=kπ(k∈Z)

∈Z);

(k 对称中心: ?kπ ? ? ,0?(k∈Z) ?2 ?

3.三角函数的两种常见图像变换 向左?φ>0?或向右?φ<0? (1)y = sin x ――――――――――→ y = sin(x + φ) 横 坐 平移|φ|个单位 纵坐标变为原来的A倍 ?????? y=sin(ωx+φ)――――――――――→ ? 纵坐标不变 横坐标不变 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).
?
1 横坐标变为原来的 倍 1 标变为原来的 倍

? (2)y=sin x ??????? y=sin ωx 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 向左? ? ? 0 ?或向右? ? ? 0 ? ??????? y=sin(ωx+φ)――――――――――→ ? ? 平移 个单位 横坐标不变 ?

?

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0).

三角函数的概念、基本关系式和诱导公式
[例1]
? 5π 5π? (1)已知角α的终边上一点的坐标为 ?sin 6 ,cos 6 ? , ? ?

则角α的最小正值为 5π A. 6 (2)若3cos ________. 2π B. 3
?π ? ? -θ? ?2 ?

( 5π C. 3
2

)

11π D. 6

1 +cos(π+θ)=0,则cos θ+ 2 sin 2θ的值是

[自主解答]

5π 5π (1)∵sin 6 >0,cos 6 <0,∴α为第四象限角.

5π 3 cos 6 - 2 5π 又tan α= 5π = 1 =- 3,∴α的最小正值为 3 . sin 6 2
?π ? ? -θ?+cos(π+θ)=0,∴3sin (2)∵3cos 2 ? ?

1 θ-cos θ=0,从而tan θ=3.

1 4 1+3 cos2θ+sin θcos θ 1+tan θ 3 1 6 ∴cos2θ+2sin 2θ= = = = 10 =5. ?1?2 sin2θ+cos2θ 1+tan2θ 1+?3? 9 ? ?

[答案]

(1)C

6 (2)5

——————————规律· 总结————————————

应用三角函数的概念和诱导公式应注意两点 (1)当角的终边所在的位置不是唯一确定的时候要注意 分情况解决,机械地使用三角函数的定义就会出现错误. (2)使用三角函数诱导公式常见的错误有两个:一个是函 数名称,一个是函数值的符号. ——————————————————————————

4 1.已知角α的终边过点P(-8m,-6sin 30° ),且cos α=-5,则 m的值为________.

解析:由点P(-8m,-6sin 30° )在角α的终边上且cos α 4 =- 5 ,知角α的终边在第三象限,则m>0,又cos α= -8m 4 1 =-5,所以m=2. ?-8m?2+9

1 答案:2

2.已知角α的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边
?π ? cos?2+α?sin?-π-α? ? ? 上一点P(-4,3),则 ?11π ? ?9π ?的值为________. cos? 2 -α?sin? 2 +α? ? ? ? ?

-sin α· α sin 解析:原式= =tan α.根据三角函数的定义,得 -sin α· α cos y 3 3 tan α=x=-4,所以原式=-4.

3 答案:-4

y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像与解析式
[例2] (1)(2013· 济南模拟)已知函数f(x)= Msin(ωx+φ)(M,ω,φ是常数,M>0, ω>0,0≤φ≤π)的部分图像如图所示,其中 A,B两点之间的距离为5,那么f(-1)= ( A.-2 C.2 B.-1 D.-1或2 )

(2)(2013· 海口模拟)将函数y=sin ωx(ω>0)的 π 图像向左平移 6 个单位,平移后的图像如图所 示,则平移后的图像所对应的函数解析式为 (
? π? A.y=sin?x+6? ? ? ? π? C.y=sin?2x+3? ? ? ? π? B.y=sin?x-6? ? ? ? π? D.y=sin?2x-3? ? ?

)

[自主解答]

(1)由图可知M=2.因为A,B两点分别是函数图像

上相邻的最高点和最低点,设A(x1,2),B(x2,-2),因为|AB|=5, 所以 ?x2-x1?2+?-2-2?2 =5,解得|x2-x1|=3.因为A,B两点的横

T 2π 坐标之差的绝对值为最小正周期的一半,即 2 =3,T=6,所以 ω = π 1 6,解得ω= 3 .因为f(0)=1,所以2sin φ=1,解得sin φ= 2 .因为 π 5π π 0≤φ≤π,所以φ= 6 或φ= 6 .结合图像,经检验,φ= 6 不合题意,
?π ? π 5π? 5π? 5π 舍去,故φ= 6 .所以f(x)=2sin ?3x+ 6 ? .故f(-1)=2sin ?-3+ 6 ? = ? ? ? ?

π 2sin2=2.

π (2)函数y=sin ωx(ω>0)的图像向左平移 6 个单位后对应的 函数解析式为y=sin
? ? ?7π? π? ωπ? ω ?x+6? =sin ?ωx+ 6 ? ,又因为f ?12? =- ? ? ? ? ? ?

7πω ωπ 3π 1,由图可得 12 + 6 = 2 ,解得ω=2,所以平移后的图像对
? π? 应的函数解析式为y=sin?2x+3?. ? ?

[答案]

(1)C

(2)C

——————————规律· 总结————————————

根据三角函数图像确定解析式应注意的问题 在利用图像求三角函数y=Asin(ωx+φ)的有关参数时, 注意直接从图中观察振幅、周期,即可求出A、ω,然后根据 图像过某一特殊点求φ,若是利用零点值来求,则要注意是 ωx+φ=kπ(k∈Z),根据点在单调区间上的关系来确定一个k 的值,此时要利用数形结合,否则就易步入命题人所设置的 陷阱. ————————————————————————

3.已知函数f(x)=Acos(ωx+θ)的图像如图所
?π? ? π? 2 示,f?2?=-3,则f?-6?= ? ? ? ?

( 2 C.3

) 1 D.2

2 A.-3

1 B.-2

解析:由图知,T=2

?11π 7π? ? -12? ? 12 ?

? π? 2π = 3 ,所以f ?- 6? = ? ?

? π 2π? ?π? 2 ?- + ?=f? ?=- . f 6 3 3 ? ? ?2?

答案:A

4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,>0,0<φ<π) 为奇函数,该函数的部分图像如图所示,△ EFG是边长为2的等边三角形,则f(1)的值为 ( 3 A.- 2 C. 3 6 B.- 2 D.- 3 )

π 解析:由函数是奇函数,且0<φ<π可得φ= 2 .由图像可得函 π 数的最小正周期为4,ω= 2 .由△EFG的高为 3,可得A= 3.所以f(x)=
?π π? 3cos?2x+2?,所以f(1)= ? ?

3cos π=- 3.

答案:D

三角函数的奇偶性与对称性
[例3]
? ? ? ? ?a1 (1)定义行列式运算 ? ?a ? 3

a2? ? ? =a1a4-a2a3.将函数f(x)= a4?

3 sin x? ? ? 的图像向左平移n(n>0)个单位,所得图像对应的函数 1 cos x ? ( 5π C. 6 2π D. 3 )

为偶函数,则n的最小值为 π A.6 π B.3

(2)(2013· 皖南八校联考)已知函数f(x)=2cos(ωx+φ)(ω>0)
?π? π 的图像关于直线x=12对称,且f?3?=0,则ω的最小值为( ? ?

)

A.2
[自主解答]

B.4

C.6

D.8
? π? x=2cos?x+6?, ? ?

(1)由定义知 f(x)= 3cos x-sin

将其图像向左平移 n 个单位后得到

? ? π ?x+ +n?的图像,要 y=2cos 6 ? ?

π π 使该函数为偶函数,应有 6+n=kπ(k∈Z),即 n=kπ-6(k∈Z), 5π 因此,当 k=1 时,n 取得最小值 6 .

π π π (2)由题意知 ω· +φ=k1π,ω·+φ=k2π+2,其中 k1,k2 12 3 ∈Z,两式相减可得 ω=4(k2-k1)+2,又 ω>0,易知 ω 的最小 值为 2.

[答案]

(1)C

(2)A

在本例(1)中,把“偶函数”改为“奇函数”,如何选择?
π 解析:若平移后所得图像对应的函数为奇函数,则 6 +n π π =2+kπ,即n=3+kπ,k∈Z. π ∴n的最小值为3.

答案:B

——————————规律· 总结————————————
1.奇偶性的三个规律 (1)函数y=Asin(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z),是偶函数 π ?φ=kπ+2(k∈Z); π (2)函数y=Acos(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ+ 2 (k∈Z),是偶函 数?φ=kπ(k∈Z);

(3)函数y=Atan(ωx+φ)是奇函数?φ=kπ(k∈Z).

2.对称性的三个规律 π (1)函数 y=Asin(ωx+φ)的图像的对称轴由 ωx+φ=kπ+2 (k∈Z)解得,对称中心的横坐标由 ωx+φ=kπ(k∈Z)解得; (2)函数 y=Acos(ωx+φ)的图像的对称轴由 ωx+φ=kπ(k π ∈Z)解得,对称中心的横坐标由 ωx+φ=kπ+2(k∈Z)解得; kπ (3)函数 y=Atan(ωx+φ)的图像的对称中心由 ωx+φ= 2 (k∈Z)解得. ————————————————————————

? ?π ? π? * 5.若函数y=cos ?ωx+6? (ω∈N )的一个对称中心是 ?6,0? ,则ω ? ? ? ?

的最小值为 A.1 C.4 B.2

(

)

D.8 ?πω π? πω π π ? ? =0,∴ 解析:∵cos 6 +6 6 + 6 = 2 +kπ(k∈Z),∴ω= ? ?
2+6k,又ω∈N*,∴ω的最小值为2.

答案:B

?π ? 6.若函数f(x)=Asin?2x+φ?(A>0)满足f(1)=0,则 ? ?

(

)

A.f(x-2)一定是奇函数 B.f(x+1)一定是偶函数 C.f(x+3)一定是偶函数 D.f(x-3)一定是奇函数

2π 解析:由于函数周期为 π =4,又由f(1)=0可知(1,0)为函数 2 f(x)图像的一个对称中心,且f(x-3)的图像是由函数f(x)的 图像向右平移3个单位所得,故函数f(x-3)图像的一个对称 中心为(4,0),又函数周期为4,故(0,0)也是函数f(x-3)图像 的一个对称中心,即图像关于原点对称,故函数f(x-3)为 奇函数.

答案:D

三角函数的周期性、单调性与最值
[例 4] (1)(2013· 沈阳模拟)函数 f(x)=Asin(ωx+ωπ)(A>0, ω>0) ω 的最大值是( D.2
2?π

? 3π 3π? 的图像在?- 2 ,- 4 ?上单调递增,则 ? ?

)

1 A. 2

3 B. 4

C.1
?

(2)设 a∈R,f(x)=cos x(asin x-cos x)+cos = f(0) , 则 函 数

? ? π? -x?满足 f?- ? 2 ? ? ? 3?

?π 11π? f(x) 在 ?4, 24 ? 上 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 ? ?

________,________.

[自主解答] (1)因为A>0,ω>0,所以f(x)=Asin(ωx+ωπ) π 2kπ-2 π π 的递增区间满足2kπ- 2 ≤ωx+ωπ≤2kπ+ 2 (k∈Z),即 ω π 2kπ+2 ω
? 3π 3π? ?- ,- ? 2 4? ? ?ω≤2+8k, ? ? ?ω≤1-4k, ?

-π≤x≤

-π(k∈Z),所以

?

π π ? ? 2kπ+2 ?2kπ-2 ? ? ? (k∈Z),解得 -π, ω -π ? ω ? ω≤1,所以ω的最大值为1.



a (2)f(x)=asin xcos x-cos2x+sin2x=2sin 2x-cos 2x.
? π? 3? a 1 ? ?- ?·+ =-1,解得a=2 3. 由f -3?=f(0),得 ? 2 ?2 2 ? ? ?π π? 11π? π ? ? ? 因此f(x)= 3sin 2x-cos 2x=2sin?2x-6? ,由x∈ ?4, 24 ? ,可得2x- 6 ∈ ? ? ? ? ? ?π 3π? ? ? ? , 4 ?. ?3 ? ?π π? π ?π π? ? ? 当x∈?4,3?时,2x-6∈?3,2?,f(x)为增函数; ? ? ? ? ? ? ?π 11π? π ?π 3π? ? ? 当x∈?3, 24 ?时,2x-6∈?2, 4 ?,f(x)为减函数, ? ? ? ? ? ? ?π ?π? 11π? ? ? 所以f(x)在?4, 24 ?上的最大值为f?3?=2. ? ? ? ? ? ? ?π? ?11π? ?π ?11π? 11π? ? ? ? ? ? ? 又f?4?= 3,f? 24 ?= 2,故f(x)在?4, 24 ?上的最小值为f? 24 ?= 2. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ?

[答案]

(1)C

(2)2

2

在本例(2)中,求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间.
? π? 2π ?2x- ?,∴f(x)的最小正周期为T= =π. 解:∵f(x)=2sin 6? 2 ?

π π 3π 由2+2kπ≤2x-6≤ 2 +2kπ(k∈Z), π 5π 得3+kπ≤x≤ 6 +kπ,(k∈Z),
?π ? 5π ∴函数f(x)的单调递减区间为?3+kπ, 6 +kπ?,(k∈Z). ? ?

——————————规律· 总结————————————
三角函数的单调性、周期性及最值的求法 (1)三角函数单调性的求法: 求形如 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))(A、 φ 为常数, ω、 A≠0, ω>0)的单调区间的一般思路是令 ωx+φ=z,则 y=Asin z(或 y=Acos z),然后由复合函数的单调性求得. (2)三角函数周期性的求法: 2π 函数 y=Asin(ωx+φ)(或 y=Acos(ωx+φ))的最小正周期 T= .应 |ω| π 特别注意 y=|Asin(ωx+φ)|的周期为 T= . |ω| (3)三角函数值域的求法: 在求最值(或值域)时,一般要先确定函数的定义域,然后结合正弦 函数性质可得函数 f(x)的最值.

————————————————————————

? π? 7.设函数f(x)=cos?|x|+6?(x∈R),则f(x) ? ? ? 5π ? A.在区间?- 6 ,0?上是增函数 ? ? ? 5π? B.在区间?0, 6 ?上是增函数 ? ? ? π π? C.在区间?-3,3?上是增函数 ? ? ? π π? D.在区间?-3,3?上是减函数 ? ?

(

)

解析:依题意,f(-x)=f(x),函数 f(x)是偶函数,注意到函数 f(x)
? 5π? 在?0, 6 ?上是减函数,因此 ? ? ? 5π ? f(x)在?- 6 ,0?上是增函数. ? ?

答案:A

课题 8 [典例]

三角函数图像变换

(2013· 新课标全国卷Ⅱ)函数 y=cos(2x+φ)(-

? π? π π≤φ<π)的图像向右平移 个单位后,与函数 y=sin?2x+3 ? 2 ? ?

的图像重合,则 φ=________.

[考题揭秘]

本题主要考查三角函数图像的平移、三角函数

的性质、三角运算等知识,意在考查考生的运算求解能力及转化 与化归思想的应用. [审题过程] 第一步:审条件.已知平移前后函数的解析式
? π? y=sin?2x+3 ?;平移方向和平移单位分 ? ?

分别为 y=cos(2x+φ)和

π 别为“向右”、“ ”. 2 第二步:审结论.求 φ 的值. 第三步:建联系.由于平移后两个函数图像重合,故对应解 析式应该相同.

[规范解答]

y = sin

? π? ?2x+ ? 3? ?

= cos

?? π? ??2x+ ? 3? ??

π? - 2? = ?

? π? cos?2x-6?.?????????????????????① ? ? ? ? ? π? π y=cos(2x+φ)向右平移2个单位后得到 y=cos?2?x-2?+φ?= ? ? ? ?

cos(2x-π+φ).??????????????????②

π 由题意可知-π+φ=-6+2kπ(k∈Z), 5π 即φ= 6 +2kπ(k∈Z).??????????????③ 又因为φ∈[-π,π), 5π 所以φ= 6 .???????????????????④

[答案]

5π 6

[模型归纳] 解决函数图像变换问题的模型示意图如下:

[变式训练]
1.函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0, |φ|<π)的图像如图所示,为了得到 g(x) =-Acos ωx 的图像,可以将 f(x)的图 像 π A.向右平移 个单位长度 12 C.向左平移 π 个单位长度 12 ( )

5π B.向右平移 个单位长度 12 D.向左平移 5π 个单位长度 12

1 7π π π 2π 解析:由图像可知A=1,∵ 4 T= 12 - 3 = 4 ,∴T=π,ω= π = 2,由f
?7π? ? ? ? 12 ?

=sin

?7π ? ? +φ? ?6 ?

π =-1,|φ|<π,知φ= 3 ,∴函数f(x)= 2x=

? π? sin?2x+3?=sin ? ? ? π? sin ?2x-2? =sin ? ?

? π? 2?x+6?的图像要平移得到函数g(x)=-cos ? ?

? π? π 2 ?x-4? 的图像,需要将f(x)的图像向右平移 6 - ? ?

? π? 5π ?- ?= 个单位长度. ? 4 ? 12

答案:B

π 2.将函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像向左平移 2 个单 位,所得函数的图像与函数y=f(x)的图像关于x轴对称,则ω 的值不可能是 A.2 B.4
? π? ?x+ ? 2? ?

( C.6

)

解析:依题意,f Asin
? ? ωπ ?ωx+ ? 2 +φ? ?

=Asin

D.10 ? ? ? π? ?ω?x+ ?+φ? 2? ? ? ?



的图像与y=f(x)的图像关于x轴对称,于是 +Asin(ωx+φ)=0,注意到ω=4时,

有Asin

? ? ωπ ?ωx+ ? 2 +φ? ?

? ? 4π Asin?4x+ 2 +φ?+Asin(4x+φ)=2Asin(4x+φ)不恒等于零. ? ?

答案:B

预测演练提能


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