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2015-2016学年高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 7椭圆及其标准方程课时作业 新人教A版选修2-1


课时作业(七)
1.椭圆 + =1 的焦点坐标为( 16 7

椭圆的定义及其标准方程
A 组 基础巩固 )

x2

y2

A.(-4,0)和(4,0) B.(0,- 7)和(0, 7) C.(-3,0)和(3,0) D.(0,-9)和(0,9) 2 2 解析:由已知椭圆的焦点在 x 轴上,且 a =16,b =7, 2 ∴c =9,c=3. ∴椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0). 答案:C 2.设 F1、F2 是椭圆 + =1 的焦点,P 是椭圆上的点,则△PF1F2 的周长是( 25 9 A.16 B.18 C.20 D.不确定 解析:由方程 + =1 知 a=5,b=3,∴c=4, 25 9 ∴|PF1|+|PF2|=2a=10,|F1F2|=2c=8, ∴△PF1F2 的周长为 18.故选 B. 答案:B 2 2 3.“m>n>0”是方程 mx +ny =1 表示焦点在 y 轴上的椭圆的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

x2

y2

)

x2

y2

)

x y 1 1 2 2 解析:将方程 mx +ny =1 转化为 + =1,要使焦点在 y 轴上必须满足 > >0,即 m 1 1 n m m
>n>0,反之亦成立,故选 C. 答案:C

n

?3 ? ? 4 ? 4.以两条坐标轴为对称轴的椭圆过点 P? ,-4?和 Q?- ,3?,则此椭圆的方程是( ?5 ? ? 5 ?
A. B. C.

)

y

2

25

+x =1 +y =1
2 2 2

2

x2
25

+y =1 或 x + =1 25 25 D.以上都不对 9 ? ?25m+16n=1, mx +ny =1(m>0,n>0,m≠n),则? 16 ? ?25m+9n=1,
2 2

x2

y2

解析:设椭圆方程为

解得

m=1, ? ? ? 1 n= , ? 25 ?
∴椭圆方程为 x + =1.故选 A. 25 答案:A
-12

y2

5.椭圆 + =1 的一个焦点为 F1,点 P 在椭圆上,如果线段 PF1 的中点 M 在 y 轴上,那 12 3 么点 M 的纵坐标为( ) 3 2 3 3 A.± B.± C.± D.± 4 2 2 4

x2

y2

解析: 如图, 当 P 在 x 轴上方时, OM 为△PF1F2 的中位线, 所以 P?3, 同理,P 在 x 轴下方时 M?0,- 答案:D

? ?

3? 3? ? 所以 M?0, ?. ?, 2? 4? ?

? ?

3? ?,故选 D. 4?

6.已知椭圆的方程为 2+ =1(a>5),它的两个焦点分别为 F1、F2,且|F1F2|=8,弦 AB a 25 过 F1,则△ABF2 的周长为( ) A.10 B.20 C.2 41 D.4 41 2 解析:由已知得 a =25+16=41,∴△ABF2 的周长是 4a=4 41. 答案:D 2 2 7 .以椭圆 9x + 5y = 45 的焦点为焦点,且经过点 M(2 , 6) 的椭圆的标准方程为 __________. x2 y2 2 2 解析:9x +5y =45 化为标准方程形式为 + =1,焦点为(0,±2),∴c=2,设所求 5 9 方程为 2+

x2

y2

y2 x2 =1, 2 a a -4
2

代入(2, 6),解得 a =12.∴方程为 + =1. 12 8 答案: + =1 12 8

y2

x2

y2

x2

x y → → 8.已知 F1、F2 是椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上一点,且PF1⊥PF2. a b
若△PF1F2 的面积为 9,则 b=________. 1 ? ?2|PF ||PF |=9,① 解析:由题意,得? |PF | +|PF | =?2c? ,② ? ?|PF |+|PF |=2a,③
1 2 2 2 2 1 1 2 2

2

2

解得 a -c =9,即 b =9,所以 b=3. 答案:3 9.已知椭圆 + =1 的上、下两个焦点分别为 F1,F2,点 P 为该椭圆上一点,若|PF1|, 4 9 2 |PF2|为方程 x +2mx+5=0 的两根,则 m=________. 解析:由已知|PF1|+|PF2|=2a=6. 2 又∵|PF1|,|PF2|为方程 x +2mx+5=0 的两根, ∴|PF1|+|PF2|=-2m,∴m=-3. 经检验,m=-3 满足题意. 答案:-3

2

2

2

x2 y2

-2-

10.设 F1、F2 分别是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点,当 a=2b 时,点 P 在椭圆上, 且 PF1⊥PF2,|PF1|?|PF2|=2,求椭圆方程. 2 2 2 2 2 解:∵a=2b,b +c =a ,∴c =3b . 2 2 2 2 又 PF1⊥PF2,∴|PF1| +|PF2| =(2c) =12b . 2 2 2 2 2 由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a=4b,(|PF1|+|PF2|) =12b +4=16b ,∴b =1,a = 4. ∴椭圆方程为 +y =1. 4 B 组 能力提升 11.已知椭圆的焦点是 F1,F2,P 是椭圆上的一个动点,如果延长 F1P 到 Q,使得|PQ|= |PF2|,那么动点 Q 的轨迹是( ) A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.无法确定 解析:由题意得|PF1|+|PF2|=2a(a 为大于零的常数,且 2a>|F1F2|),|PQ|=|PF2|, ∴|PF1|+|PF2|=|PF1|+|PQ|=2a, 即|F1Q|=2a. ∴动点 Q 到定点 F1 的距离等于定长 2a,故动点 Q 的轨迹是圆. 答案:A 12.已知椭圆 + =1 上一点 M 到左焦点 F1 的距离为 6,N 是 MF1 的中点,则|ON|= 25 9 ________. 解析:设右焦点为 F2,连接 F2M, ∵O 为 F1F2 的中点,N 是 MF1 的中点, 1 ∴|ON|= |MF2|. 2 又∵|MF1|+|MF2|=2a=10,|MF1|=6, ∴|MF2|=4,∴|ON|=2. 答案:2 13.在直线 l:x-y+9=0 上取一点 P,过点 P 以椭圆

x2 y2 a b

x2

2

x2

y2

x2
12

+ =1 的焦点为焦点作椭圆. 3

y2

(1)P 点在何处时,所求椭圆长轴最短; (2)求长轴最短时的椭圆方程. 解:(1)由题意知椭圆两焦点坐标分别为 F1(-3,0)、F2(3,0). 设点 F1(-3,0)关于直线 l 的对称点 F′1 的坐标为(x0,y0),

y ? ?x +3=-1, 则? x -3 y ? ? 2 - 2 +9=0,
0 0 0 0

解之得?

? ?x0=-9, ?y0=6, ?

∴F′1(-9,6). 则过 F′1 和 F2 的直线方程为

y-6 x+9
-6

= , 3+9

整理得 x+2y-3=0 ? ? ?x+2y-3=0, ?x=-5, 联立? 解之得? ?x-y+9=0, ?y=4, ? ? 即 P 点坐标为(-5,4) (2)由(1)知 2a=|F′1F|= 180, 2 ∴a =45.

-3-

∵c=3,∴b =a -c =36. ∴所求椭圆的方程为 + =1. 45 36 14.已知 P 是椭圆 +y =1 上的一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点. 4 (1)当∠F1PF2=60°时,求△F1PF2 的面积; (2)当∠F1PF2 为钝角时,求点 P 横坐标的取值范围. 解:(1)如图,由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=4,且 F1(- 3,0),F2( 3,0). ①

2

2

2

x2

y2

x2

2

在△F1PF2 中,由余弦定理得|F1F2| =|PF1| +|PF2| -2|PF1||PF2|cos60°. ② 4 由①②得|PF1||PF2|= . 3 1 3 所以 S? PF1F2 = |PF1||PF2|sin∠F1PF2= . 2 3 → → (2)设点 P(x,y),由已知∠F1PF2 为钝角,得PF1?PF2<0,即(x+ 3,y)?(x- 3,y) <0,又 y =1- , 4 3 2 2 6 2 6 所以 x <2,解得- <x< , 4 3 3
2

2

2

2

x2

? 2 6 2 6? 所以点 P 横坐标的取值范围是?- , ?. 3 ? ? 3

15.如图,已知点 P(3,4)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点,F1、F2 是椭圆的两个焦点, → → 若PF1?PF2=0. (1)求椭圆的方程; (2)求△PF1F2 的面积. 解析: 1 → → (1)∵PF1?PF2=0,∴△PF1F2 是直角三角形,∴|OP|= |F1F2|=c. 2 又|OP|= 3 +4 =5,∴c=5. ∴椭圆方程为 2+
2 2

x2 y2 a b

x2 y2 =1. 2 a a -25

9 16 又 P(3,4)在椭圆上,∴ 2+ 2 =1, a a -25 2 2 ∴a =45 或 a =5. 2 又 a>c,∴a =5 舍去. 故所求椭圆方程为 + =1. 45 20 (2)由椭圆定义知:|PF1|+|PF2|=6 5,① 2 2 2 又|PF1| +|PF2| =|F1F2| ,②
-4-

x2

y2

由① -②得 2|PF1|?|PF2|=80, 1 1 ∴ S? PF1F2 = |PF1|?|PF2|= ?40=20. 2 2

2

-5-



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