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浙江省温州市2016年高三第三次适应性测试数学文试题


数学(文科)试题

2016 年温州市高三第三次适应性测试 数学(文科)试题
150 分,考试时间 120 分钟。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 柱体的体积公式: V ? Sh 其中 S 表示柱体的底面积, h 表示柱体的高

2016.5

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页。满分

1 Sh 3 台体的体积公式: V ? 1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3
锥体的体积公式: V ? 球的表面积公式: S ? 4? R 2

其中 S 表示锥体的底面积, h 表示锥体的高 其中 S1、S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 球的体积公式: V ? 4 ?R 3 其中 R 表示球的半径

3

选择题部分(共 40 分)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.
2 1.若命题 P : ?x0 ? 0, x0 ? 2 x0 ? 3 ? 0 ,则命题 P 的否定 ? P 是(


2

)

A. ?x ? 0, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

B. ?x ? 0, x ? 2 x ? 3 ? 0
2 D. ?x ? 0, x ? 2 x ? 3 ? 0

C. ?x ? 0, x ? 2 x ? 3 ? 0
2

2.已知 a , b 是实数,那么“ a 2 ? b 2 ”是“ | a |? b ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件 A.若 ? ? ? , m // ? ,则 m ? ? C.若 ? // ? , ? // ? ,则 ? // ? 4.将函数 y ? sin x 的图像向右平移



)

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ▲ ) B.若 m ? ? , n ? ? ,且 m ? n ,则 ? ? ? [来 D.若 m // ? , n // ? ,则 m // n

3.设 m, n 是不同的直线, ? , ? , ? 是不同的平面,则下列命题中真命题的是(

?
6

个单位,再将所得函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的

2 倍(纵坐标不变) ,得到函数 y ? sin(? x ? ? ),(? ? 0,| ? |? A. ? ? 2,? ? ?

?
2

) 的图像,则( ▲ )
D. ? ?

?
6

B. ? ? 2,? ? ?

?
3

C. ? ?

1 ? ,? ? ? 2 6

1 ? ,? ? ? 2 3

5.数列 ?an ? 满足 a1 ? 2 , an ?1 ?

an ,则 a 5 的值为( ▲ ) an ? 1

A.

2 5

B.

2 7

C.

2 9

D.

2 11

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第 1 页(共 4 页)

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6.定义点 P( x0 , y0 ) 到直线 l : ax ? by ? c ? 0(a 2 ? b2 ? 0) 的有向距离为 d ? ▲ ) P 1, P 2 到直线 l 的有向距离分别是 d1 , d 2 ,下面命题正确的是(

ax0 ? by0 ? c a 2 ? b2

.已知点

A.若 d1 ? d 2 ? 0 ,则直线 P 1P 2 与直线 l 平行 B.若 d1 ? d 2 ? 0 ,则直线 P 1P 2 与直线 l 平行 C.若 d1 ? d 2 ? 0 ,则直线 P 1P 2 与直线 l 垂直 D.若 d1 ? d 2 ? 0 ,则直线 P 1P 2 与直线 l 相交 7.已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0,b ? 0) 的左、右焦点分别为 F1 , F2 , P 是直线 x ? a 上一点,且 a 2 b2

,则双曲线的离心率是( ▲ ) PF1 ? PF2 , PF 1 ? PF 2 ? 2 2a

2 3 C. 2 D. 3 3 ? 8. 如图, 扇形 AOB 中,OA ? 1, ?AOB ? 90 ,M 是 OB 中点,P 是弧 AB 上的动点,N 是线段 OA B ???? ? ???? P 上的动点,则 PM ? PN 的最小值为( ▲ )
A. 2 B. A. 0 B. 1
M

3 C. 2

5 D. 1 ? 2

O

N

A

第 8 题图

非选择题部分(共 110 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分. 9. 已知 A ? {x | x2 ? 4 x ? 0}, B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} , 全集 U ? R , 则 A? B ? ▲ . ▲ , f [ f (3)] ? ▲ . ▲ ,(CU A) ? (CU B) ?

?2 x , x ? 0 ? 10.已知函数 f ( x) ? ?log x, x ? 0 ,则 f (?3) ? 1 ? ? 2

11.右图为某几何体的三视图,其中俯视图为边长为 2 的正三角形,正视图为长为 2,宽为 1 的矩形, 则该三视图的体积为 ▲ ,表面积为 ▲ .

?y ? x ? 2 ? 12.在平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? y ? 2 表示 ?2 x ? y ? 0 ?
的平面区域的面积是 ▲ .
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第 11 题图



,若函数 y ?| 2 x ? m | 与该区域有公共点,则实数 m 的取值范围是

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13.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f ( x) 在 [0, ??) 上是增函数, 若 f (2m ? 1) ? f (m2 ? 1) ? 0 ,则 m 的取值范围为 14.设 P 为椭圆 ▲ .

x2 y2 ? ? 1 上一点, F 为椭圆的右焦点, A(2, 2) , 4 3
▲ .

则 PA ? PF 的最小值为

15 .如图,已知正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, P 是平面 ABCD 上一动 点,则直线 BE 与直线 B1 D 所成角的余弦值的取值范围是 ▲ .
第 15 题图

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本题 14 分)已知函数 f ( x) ? sin x cos x ? 3 cos2 x . (Ⅰ)求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ)在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a,b,c,且

(a ? c) ( s i n A?

sC i n? ) b

(s A ? in

Bs i nf ( A )) 的取值范围. ,求

17. (本题 15 分)已知正项数列 {an } 的奇数项 a1 , a3 , a5 ,?a2k ?1 ,? 构成首项 a1 ? 1 等差数列,偶 数项构成公比 q ? 2 的等比数列,且 a1 , a2 , a3 成等比数列, a 4 , a5 , a7 成等差数列. (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {an } 的前 2 n 项和 S 2 n .

18. (本题 15 分)如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为四边形, ?ABD 是边长为 2 的正三 角形, BC ? CD, BC ? CD , PD ? AB ,平面 PBD ? 平面 ABCD (Ⅰ)求证: PD ? 平面 ABCD ; (Ⅱ)若二面角 C ? PB ? D 的平面角的余弦值为

6 ,求 PD 的长. 6

第 18 题图

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数学(文科)试题

19.如图,在直角坐标系 xoy 中,点 P(1, 2) 到抛物线 E : y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点的距离为 5 ,过 抛物线 E 的焦点 F 作两条相互垂直的直线分别交抛物线于 A, B , C , D 四点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)求四边形 ACBD 面积的最小值.

第 19 题图

20.已知函数 f ( x) ? ax2 ? | x ? 2a| ,其中 a ? 0 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求 f ( x) 在 [0, ??) 上的最小值; (Ⅱ)若函数 g ( x) ? f ( x) ? b 在 [0, ??) 上有两个零点,求实数 b 的取值范围(用 a 表示) .

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2016 年温州市高三第三次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
2016.5

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合 题目要求.

题号 答案

1 A

2 A

3 C

4 C

5 C

6 D

7 B

8 D

二、填空题:本大题共 7 小题,多空题每题 6 分,单空题每题 4 分,共 36 分。

9. (4, ??) ; ( ??, 4] . 12.

10.

1 1 ; 8 3

11.

3 ,6?2 3

4 ; [?2,0] ? [2,8] .13. (0,??) ? (??,?2) 3
15. [0,

14. 13 ? 4 .

6 ] . 3

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16. (本题 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 3 ? …4 分 ? sin(2 x ? ) ? 2 2 3 2 2? ?T ? ? ? …………………6 分 2

(Ⅱ)由正弦定理得: (a ? c)(a ? c) ? b(a ? b) …………………8 分

? c2 ? a 2 ? b2 ? ab 2 2 2 又由余弦定理: c ? a ? b ? 2ab cos C 1 ? ? cos C ? , ?C ? , 而 C ? (0, ? ) 2 3 2? ? A ? (0, ) ………………………………………………11 分 3 ? ? ? 3 ? 2 A ? ? (? , ? ) ,?sin(2 A ? ) ? (? ,1] 3 3 3 2 3 ? f ( A) 的取值范围是 (? 3,1 ? ] ……………………14 分 2

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数学(文科)试题
2 ?a 2 ? a1 a3 ,……………………………………2 分 2 a ? a ? a 4 7 ? 5

17.解: (Ⅰ)由题意: ?

设 a1 , a3 , a5 ,?a2k ?1 ,? 的公差为 d ,则 a3 ? 1 ? d , a5 ? 1 ? 2d , a7 ? 1 ? 3d , a4 ? 2a2 , 代入
2 ?a 2 ? 1(1 ? d ) ?a ? 2 ,又 a 2 ? 0 ,故解得 ? 2 , ? ?d ? 3 ?1 ? d ? 2a 2

…………………………6 分

? 3n ? 1 , n为奇数 ? 故数列 {an } 的通项公式为 a n ? ? 2 , ……………………8 分 n ? 2 ?2 , n为偶数 n(1 ? 3n ? 2) 2(1 ? 2n ) 3n 2 ? n ? ? ? 2n ?1 ? 2 ………………15 分 (Ⅱ) S 2 n ? 2 1? 2 2
18. (本题 15 分) (Ⅰ)连 AC 交 BD 于点 O ,由平面几何知识易知 AC ? BD , 又平面 ABCD ? 平面 PBD , BD 是交线,
P y D C O A B x z

AC ? 平面ABCD , ? AC ? 平面PBD ,又 PD ? 平面PBD
? AC ? PD ,又 PD ? AB,AC ? AB ? A ? PD ? 平面 ABCD …………7 分 (Ⅱ) 解法 1: 如图, 以 O 为坐标原点, OC 为 x 轴,OD y 为 轴, 建立如图空间直角坐标系,设 PD ? a ,则

C (1,0,0), D(0,1,0), B(0, ?1,0), P(0,1, a) ……9 分

?? ? ??? ? ??? ? BC ? (1,1,0), BP ? (0, 2, a) ,设 n2 ? ( x, y, z) 是平面 PBC 的一个法向量,则 ?? ? ??? ? ?? ? ? n ? BC ? x? y ?0 ? 2 ,取 n2 ? (a, ?a, 2) ……………………………12 分 ? ??? ? ? ?? n ? BP ? 2 y ? az ? 0 ? ? 2 ?? ?? ? n1 ? n2 a 6 ? ? ……………………………14 分 ? cos ? ? ?? ?? ? 2 6 | n1 | ? | n2 | 1? 2a ? 4
解得: a ? 1 ,所以 PD 的长为 1…………………………………………………15 分

易知 n1 ? (1,0,0) 是平面 PBD 的一个法向量,

??

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解 法 1 : 如 图 , 作 OE ? PB 于 点 E , 连 CE , ? OC ? 面PBD ,? CE ? PB ??CEO 就是二面角 C ? PB ? D 的平面角,

P

? cos ?CEO ?

6 , 6

D E O A B C

5 , ? tan ?CEO ? 5 ,? OE ? 5
设 PD ? a ,则 PB ? a2 ? 4 ,由 PD ? DB ? 2OE ? PB

5 得 2a ? 2 ? ? a 2 ? 4 ,得 a ? 1 (舍去负值) 5 所以 PD 的长为 1 ……………………………………………………15 分
19.(本题 15 分)解: (Ⅰ)抛物线的焦点为 (

p ,0) ,则 2

p ( ? 1) 2 ? 4 ? 5 2 解得 p ? 4或p ? (舍去) 0

? 求抛物线 E 的方程为 y 2 ? 8x ……………………………………5 分
(Ⅱ)由题意知,直线 AB, CD 的斜率都存在,且都不为零 设直线 AB 的方程为 x ? m y ? 2 , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )

? y 2 ? 8x ,得 y 2 ? 8my ?16 ? 0 ?x ? m y? 2 则 y1 ? y2 ? 8m, y1 y2 ? ?16 …………………7 分
联立方程组 ?

AB ? 1 ? m 2 ? (8m) 2 ? 4 ? (?16) ? 8(1 ? m 2 ) …………………10 分
(由抛物线定义知: | AB |? x1 ? x2 ? 4 ? m( y1 ? y2 ) ? 8 ? 8(m ? 1) 同样给 3 分)
2

同理 CD ? 8(1 ?

? S四边形ACBD
2

1 ) …………………12 分 m2 1 1 ? ? 8(1 ? m 2 ) ? 8(1 ? 2 ) 2 m

1 1 ? 32(2 ? m ? 2 ) ? 32(2 ? 2 m 2 ? 2 ) ? 128 m m 当且仅当 m ? ?1 时,取等号 即四边形 ACBD 面积的最小值为 128.………………………………15 分

…………………13 分

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2 ? ? x ? x ? 2, x ? 2 20. (本题 15 分)解: (Ⅰ) f ( x) ? x ? x ? 2 ? ? 2 ? ? x ? x ? 2, x ? 2 1 1 ? f ( x) 在 [2,??) 上单调递增, (?? , ] 上单调递减, [ ,2) 上单调递增 2 2 1 7 ? f ( x) min ? f ( ) ? ………………………………………………6 分 2 4 (Ⅱ)函数 g ( x) ? f ( x) ? b 在 [0, ??) 上有两个零点 即直线 y ? b 与函数 y ? f ( x) 的图像有两个交点…………………7 分 2 2 ? ?ax ? x ? 2a, x ? [2a,??) f ( x) ? ? 2 ? ?ax ? x ? 2a, x ? [0,2a] ? f ( x) 在 [2a,??) 上单调递增

(1)当 a ?

1 1 ? [0,2a ] 时, f ( x) ? ax2 ? x ? 2a ,对称轴 x ? 2 2a 1 1 f ( x) 在 [0, ] 上单调递减,在 [ 2a ] 上单调递增 2a 2a,

? fm i ( n x) ? f (

1 1 ) ? 2a ? , f (0) ? 2a, f (2a) ? 4a 2 ? 2a 2a 4a 1 1 ,2a] ;……… 11 分 所以,当 a ? 时, b 的取值范围是 [2a ? 2 4a 1 (2)当 0 ? a ? 时, f ( x) min ? f (2a) ? 4a3 2 f ( x) 在 [0,2a] 上单调递减, f (0) ? 2a ? b 的取值范围是 [4a 3 ,2a] ……………………………… 13 分
1 1 ,2a ] 时, b 的取值范围是 [2a ? 2 4a 1 当 0 ? a ? 时, b 的取值范围是 [4a 3 ,2a] ………………15 分 2

综上所述,当 a ?

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