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数学:2.3.4圆与圆的位置关系 课件二(新人教B版必修2)


§2.3圆与圆的位置关系

一、 温故:

1.直线与圆的位置关系:
相离
r O
O

相切

相交

d L

O
d=r L

r

d L

图1

图2

图3

d >r

d =r

d <r

2.判断直线与圆的位置关系的方法
(1)几何方法:根据圆心到直线的距离 与圆半径的大小关系;
(2)判别式法:由直线方程和圆方程组成一 个方程组,通过代入法得到一个一元二次方 程,根据这个方程的判别式大于、等于或小 于0。

二、知新 1.回忆:初中学过的两圆的位置关系

外离

外切

相交

内切

内含

列表如下:
外 离 外 切 相 交 内 切 内 含

d ? r1 ? r2 d ? r1 ? r2 r2 ? rr1 ? d ? r1 ? r2 ?2 1 1 2

d ? rr1 ? r12 d ? rr1 ? rr2 d ? 2 ? 1 2

r1
d d

r1
r2
d

r1
r2

r1
d r2

r1
d r2

r2

2. 如何根据两圆的方程判断两圆的 位置关系呢?

根据圆的方程求出圆心距d和两圆半 径r1,r2,然后观察d与r1、r2关系。

平面几何法判断圆与圆的位置关系步骤:
1 求出两圆的圆心坐标和半径r1,r2; 2 根据圆心坐标计算出两圆的圆心距d; 3 根据d与r1,r2之间的关系,判断两圆的位 置关系 。
(1)外离:r1+r2<d;
(2)外切:r1+r2=d; (3)相交:|r1-r2|<d<r1+r2; (4)内切:|r1-r2|=d; (5)内含:|r1-r2|>d.

例1 判断下列两圆的位置关系:
(1)( x ? 2 ) ? ( y ? 2 ) ? 1 与 ( x ? 2 ) ? ( y ? 5) ? 1 6
2 2

2

2

(2) x ? y ? 6 x ? 7 ? 0
2 2



x ? y ? 6 y ? 27 ? 0
2 2

解:(1)两圆圆心分别为(-2,2)和(2,5),半径 分别为r1=1和r2=4,且圆心距 :
d ? (?2 ? 2) ? (2 ? 5)
2 2

? 5 ? r1 ? r2

所以两圆外切. (2)化为标准方程后知两圆圆心分别为 (-3,0)和(0,-3),半径分别为r1=4和r2=6, 且圆心距:d ? 3 2 易见 r ? r ? d ? r ? r ,所以两圆相交。
1 2 1 2

3.感受数学思想方法 解析几何的核心-坐标法
坐标法又称解析法,是求解解析几何问题的重要 方法。它通过建立适当的坐标系,把几何问题转化为 代数问题,再加以计算和研究,从而巧妙的解决几何 问题。 总的来说,解析几何运用坐标法可以解决两类基 本问题:一类是求满足给定条件点的轨迹,通过坐标 系建立它的方程;另一类是通过对方程的讨论,研究 方程所表示的曲线的性质。 坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决 几何问题。许多几何学中的难题,都可以用坐标法更 简单地解决。

坐标法解决几何问题的步骤:

1.建立适当的平面直角坐标系; 2.把已知点的轨迹的几何条件“翻译” 成代数方程; 3.运用代数工具对方程进行研究; 4.把代数方程的性质用几何语言叙述, 从而得到原先几何问题的答案。

让我们一起来感受坐标法的魅力! 例2 用坐标法讨论圆与圆的位置关系。
1. 建立坐标系 如图,以O1为坐标原点,使x轴通过O1,O2,且 O2在x轴的正半轴上,建立直角坐标系xOy。 2.由已知几何条件求出 代数方程:
x ? y ? r1
2 2 2 2

y r1 r2
O1 O O2 (d,0)

?1?
2 2

x

( x ? d ) ? y ? r2

?2?

3.运用代数方法进行研究; 将(1)(2)两式联立研究此方程组的解: 由(1)-(2)整理得: x ? r ? r ? d (3) 2d 将(3)代入(1)得:
2 2 2 1 2

y

2

? r1 ?
2 2

( r1 ? r2 ? d )
2 2 2

2

4d
2 2

2 2 2 2

? ? ? ? ?

4 d r1 ? ( r1 ? r2 ? d ) 4d
2 2 2 2

( 2 d r1 ? r1 ? r2 ? d )( 2 d r1 ? r1 ? r2 ? d )
2 2 2

4d
2 2 2 2

2 2

[( r1 ? d ) ? r2 ][ r2 ? ( r1 ? d ) ] 4d ( r1 ? r2 ? d )( r1 ? r2 ? d )( r1 ? r2 ? d )( r2 ? r1 ? d ) 4d [( r1 ? r2 ) ? d ][ d
2 2 2 2 2 2

? ( r1 ? r2 ) ]

4d

即:y

2

?

[( r1 ? r2 ) ? d ][ d
2 2

2

? ( r1 ? r2 ) ]
2

4d

2

(4)

4. 分析方程组的解,得出相应的几何特征: (1) 当 | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r2时,(4)式右边大于0, 此时方程组有两组解:
2 2 2 ? r1 ? r2 ? d ?x ? 2d ? ? 2 2 2 2 [( r1 ? r2 ) ? d ][ d ? ( r1 ? r2 ) ] ? ? y1 ? 2d ?
2 2 2 ? r1 ? r2 ? d ? x ? 2d ? ? 2 2 2 2 ? [( r1 ? r2 ) ? d ][ d ? ( r1 ? r2 ) ] ? ? y2 ? 2d ?

y

这时两圆相交于 (x,y1),(x,y2)两点。

(x,y1) O1 O O2 (d,0) (x,y2)

x

(2) 当 r1 ? r2 ? d 或 | r1 ? r2 |? 此时方程组有唯一解:
y
? r1 ? r2 ? d ?x ? 2d ? ?y ? 0 ?
2 2 2

d

时,(4)式右边为0,
y
(x,0)

O1 O

(x,0) O2 (d,0)

x

O1 O2 (d,0) O

x

r1 ? r2 ? d

| r1 ? r2 | ? d

这时两圆相切(外切或内切)于点(x,0)。 (3) 当 r1 ? r2 ? d 或 | r1 ? r2 |? d 时,(4)式右边小于 y 0,此时方程组无解。 y 这时两圆不相 交(相离或内含) 。
O1 O

O2 (d,0)

x

O1
O2 O (d,0)

r1 ? r2 ? d

| r1 ? r2 |? d

三、练习
圆C1:x2+y2-2x-3=0; 圆C2:x2+y2-4x+2y+3=0; 试判断两圆的位置关系;若有交点, 求出交点坐标。 1.已知:

2.求圆心坐标为(3,4)并与圆 相切的圆的方程。

x ? y ?1
2 2

圆C1:x2+y2-2x-3=0; 圆C2:x2+y2-4x+2y+3=0; 试判断两圆的位置关系,若有交点,求 出交点坐标。 1.已知:
解:(1) 变为标准方程:C1:(x-1)2+y2=4; C2:(x-2)2+(y+1)2=2。 圆心坐标分别为(1,0)和(2,-1), 圆心距d= 2 ,半径分别为r1=2,r2=
? ? ? | r1 ? r2 | ? 2 ? 2 , r1 ? r2 ? 2 ? 2 | r1 ? r2 |? d ? r1 ? r

2

,

这两个圆相交。

(2) 将C1和C2的方程联立,削去x2和y2项, 化简得: x=y+3,
2

y 将上式代入C1得: ? 2 y ? 0

解得: 相应地有:

y1 ? 0 ,

y2 ? ?2

x1=3,x2=1。

即交点坐标为(3,0)和(1,-2)。

2.求圆心坐标为(3,4)并与圆C1: x ? y ? 1 相切的圆的方程。 解:由已知得圆C1的圆心为(0,0),半径r1=1, 由两圆相切知两圆的圆心距 d ? 3 2 ? 4 2 ? 5 , 设所求圆的方程C2为: (x-3)2+(y-4)2=r22 则当两圆外切时有: d ? r1 ? r2 ? 1 ? r2 ? 5 ,即r2=4; 当两圆内切时有: d ? r2 ? r1 ? r2 ? 1 ? 5 ,即r2=6;
2 2

故所求圆的方程为: (x-3)2+(y-4)2=16或(x-3)2+(y-4)2=36。

四、小结
1.两圆的位置关系的 判断方法。 2.重要的数学方法--坐标法。

学到 了什 么?





必做: 课本P104 习题2-3A,B; 基础训练A 选做: 基础训练B


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