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重庆市巫山中学2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


重庆市巫山中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. (5 分)设集合 A={﹣1,0,1},B={x∈R|x>0},则 A∩B=() A.{﹣1,0} B.{﹣1} C.{0,1} D.{1} 2. (5 分)下列函数中哪个与函数 y=x(x≥0)是同一个函数() A. B. C. D.

3. (5 分)已知 A.5 B. 2

,则 f(﹣1)=() C . ﹣1
0.5

D.﹣2

4. (5 分)已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.6 .则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b 5. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4)

D.c>b>a

D.(e,+∞)

6. (5 分)要得到函数 y=cos(2x+ A.向右平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需将 y=cos2x 的图象() B. 向左平移 D.向右平移
2

个单位长度 个单位长度

7. (5 分)已知 tanα,tanβ 是方程 x +3 A.﹣3 B. ﹣

x+4=0 的两根,则 tan(α+β)等于() C. D.3
2

8. (5 分)已知函数 f(x)=(1﹣cos2x)?cos x,x∈R,则 f(x)是() A.最小正周期为 C. 最小正周期为 的奇函数 的偶函数 B. 最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数

9. (5 分)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 最小值等于()

上的最小值是﹣2,则 ω 的

A.

B.

C.

2

D. 3

10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π) ,其部分图象如下图所 示, 且直线 y=A 与曲线 y=f (x) (﹣ +f( )+f( )+…+f( ) 所围成的封闭图形的面积为 π, 则f ( 的值为() )

A.﹣

B.﹣1﹣

C.

D.﹣1+

二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡上. 11. (5 分)函数 f(x)=log3(2x﹣1)的定义域为. 12. (5 分)若 sin (π+x)+cos(π+x)= ,则 sin2x=.

13. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(4, ) ,则

=.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不同的实根,

则实数 k 的取值范围是. 15. (5 分)若函数 f(x)满足:在定义域 D 内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立,则称函数 f(x)为“1 的饱和函数”.给出下列四个函数:①f(x)= ;②f(x)=2 ; ③f(x)=lg(x +2) ;④f(x)=x.其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是.
2 x

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知 值. 17. (13 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f (x)=﹣x +2x
2



<θ<π. (1) 求 tanθ; (2) 求



(Ⅰ)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间上单调递增,求实数 a 的取值范围.

18. (13 分)已知 , (Ⅰ)求 的值; .





(Ⅱ)求 cos(α+β)的值. 19. (12 分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表 示为: ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损?
2

20. (12 分)已知函数 f(x)= 对称轴间的距离为

sin(ωx+φ)+2sin

﹣1(ω>0,0<φ<π) ,相邻两

,且 f(0)=0

(1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度,再把横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象.当 x∈时,求函数 g(x)的值域. 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈,x+y≠0 有(x+y) ?>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
2



(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立.求实数 m 的取值范围.

重庆市巫山中学 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

1. (5 分)设集合 A={﹣1,0,1},B={x∈R|x>0},则 A∩B=() A.{﹣1,0} B.{﹣1} C.{0,1} D.{1} 考点: 交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 由 A 与 B,求出两集合的交集即可. 解答: 解:∵A={﹣1,0,1},B={x∈R|x>0}, ∴A∩B={1}, 故选:D. 点评: 此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键. 2. (5 分)下列函数中哪个与函数 y=x(x≥0)是同一个函数() A. B. C. D.

考点: 判断两个函数是否为同一函数. 专题: 计算题. 分析: 分别求出各选项中的函数的定义域、 值域、 对应法则, 判断三者是否与函数 y=x (x≥0) 相同若相同就是一个函数. 解答: 解:A 中,函数 B 中,函数 C 中,函数 D 中,函数 =x(x∈R) ,与函数 y=x(x≥0)定义域不一致,不满足要求;

=x(x≠0) ,与函数 y=x(x≥0)定义域不一致,不满足要求; =x(x≥0) ,与函数 y=x(x≥0)定义域、解析式一致,满足要求; =|x|(x∈ R) ,与函数 y=x(x≥0)定义域、解析式均不一致,不满足要求;

故选 C 点评: 本题考查判断两个函数是同一个函数必须满足的条件是:定义域、值域、对应法则 都相同.

3. (5 分)已知 A.5 B. 2

,则 f(﹣1)=() C . ﹣1 D.﹣2

考点: 函数的值. 专题: 计算题. 分析: 由分段函数的解析式可得,x=﹣1 符合第二段的解析式,代入计算即可. 解答: 解:∵ ∴f(﹣1)=﹣(﹣1)+1=2 故选 B ,

点评: 本题考查分段函数的函数值的求解,属基础题. 4. (5 分)已知 a=log0.60.5,b=ln0.5,c=0.6 .则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b
0.5

D.c>b>a

考点: 对数值大小的比较. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数和对数函数的性质即可得到结论. 0.5 解答: 解:log0.60.5>1,ln0.5<0,0<0.6 <1, 即 a>1,b<0,0<c<1, 故 a>c>b, 故选:B 点评 : 本题主要考查函数值的大小比较,利用指数函数和对数函数的单调性是解决本题的 关键.

5. (5 分)函数 f(x)=lnx﹣ 的零点所在的区间是() A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞)

考点: 函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据函数零点的判断条件,即可得到结论. 解答: 解:∵f(x)=lnx﹣ ,则函数 f(x)在(0 ,+∞)上单调递增, ∵f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣ >0, ∴f(2)f(3)<0, 在区间(2,3)内函数 f(x)存在零点, 故选:B 点评: 本题主要考查方程根的存在性,利用函数零点的条件判断零点所在的区间是解决本 题的关键.

6. (5 分)要得到函数 y=cos (2x+ A.向右平移 C. 向左平移 个单位长度 个单位长度

)的图象,只需将 y=cos2x 的图象() B. 向左平移 D.向右平移 个单位长度 个单位长度

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据函数 y=cos(2x+ 可得结论. )=cos2(x+ ) ,结合 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,

解答: 解:∵函数 y=cos(2x+ ∴把 y=cos2x 的图象向左平移

)=cos2(x+

) , )的图象,

个单位长度,即可得到函数 y=cos(2x+

故选:B. 点评: 本题主要考查 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于中档题. 7. (5 分)已知 tanα,tanβ 是方程 x +3 A.﹣3 B. ﹣
2

x+4=0 的两根,则 tan(α+β)等于() C. D.3

考点: 两角和与差的正切函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由条件利用韦达定理求得 tanα+tanβ 和 tanα?tanβ 的值,再利用两角和的正切公式求 得 tan(α+β)的值. 2 解答: 解:∵tanα,tanβ 是方程 x +3 x+4=0 的两根,∴tanα+tanβ=﹣3 ,tanα?tanβ=4, ∴tan(α+β)= = = ,

故选:C. 点评: 本题主要考查韦达定理、两角和的正切公式的应用,属于基础题. 8. (5 分)已知函数 f(x)=(1﹣cos2x)?cos x,x∈R,则 f(x)是() A.最小正周期为 C. 最小正周期为 的奇函数 的偶函数 B. 最小正周期为 π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的偶函数
2

考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法;余弦函数的奇偶性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 利用三角函数的恒等变换化简函数 f(x)的解析式为 数的奇偶性和最小正周期. 解答: 解:∵函数 f(x)=(1﹣cos2x)?cos x=2sin x?cos x= sin 2x= , 故函数为偶函数,且最小正周期为 = ,
2 2 2 2



,由此可得函

= ﹣

故选 C. 点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值,复合三角函数的奇偶性,三角函数 的周期性和求法,属于中档题.

9. (5 分)已知函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 最小值等于()

上的最小值是﹣2,则 ω 的

A.

B.

C. 2

D.3

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题. 分析: 先根据 x 的范围求出 ωx 的取值范围,进而根据函数 f(x)在区间 的最小值求出 ω 的范围,再由 ω>0 可求其最小值. 解答: 解:函数 f(x)=2sinωx(ω>0)在区间 取值范围是 ∴ 或 , , 上的最小值是﹣2,则 ωx 的 上

∴ω 的最小值等于 , 故选 B. 点评: 本题主要考查正弦函数的最值和三角函数的单调性.属基础题. 10. (5 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<π) ,其部分图象如下图所 示, 且直线 y=A 与曲线 y=f (x) (﹣ +f( )+f( )+…+f( ) 所围成的封闭图形的面积为 π, 则f ( 的值为() )

A.﹣

B.﹣1﹣

C.

D.﹣1+

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 由图象和已知条件易得函数的解析式,由周期性和可化简要求的式子,代值计算可 得. 解答: 解:由图象易得函数的周期 T 满足 = 解得 ω=4,∴函数的周期 T= 又封闭图形的面积 π= × ∴f(x)=2sin(4x+φ) , 代点(﹣ ,2)可得 2sin(﹣ +φ)=2, , = ﹣(﹣ ) ,

×2A,∴A=2,

结合 0<φ<π 可得 φ= ∴f(x)=2sin(4x+

, ) , )+f( ) )=﹣ )+f( )+f( )=0,

由图象可得一个周期内的函数值之和比如 f( ∴f( =f( )+f( )+f( )+f( )+f( )+…+f( )=0﹣f(

故选:A 点评: 本题考查三角函数图象求解析式,涉及三角函数的周期性,属中档题. 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卡上. 11. (5 分)函数 f(x)=log3(2x﹣1)的定义域为{x|x> }.

考点: 专题: 分析: 解答:

函数的定义域及其求法. 函数的性质及应用. 根据对数函数的真数大于 0,求出函数的定义域即可. 解:∵2x﹣1>0,

∴x> , ∴函数的定义域是:{x|x> }, 故答案为: :{x|x> }. 点评: 本题考察了函数的定义域问题,考察对数函数的性质,是一道基础题.

12. (5 分)若 sin(π+x)+cos(π+x)= ,则 sin2x=



考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意利用诱导公式可得 解答: 解:∵ ∴ 故答案为: . ,平方得 ,∴ . ,平方求得 sin2x 的值. ,

点评: 本题主要考查诱导公式、二倍角公式的应用,属于基础题.

13. (5 分)幂函数 y=f(x)的图象经过点(4, ) ,则

=2.

考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数的定义设 f(x)=x ,结合 y=f(x)的图象经过点(4, ) ,即可求出 f (x) ,从而求得 f( )的值. 解答: 解:∵y=f(x)为幂函数, α ∴设 f(x)=x , 又∵y=f(x)的图象经过点(4, ) , ∴ ,即 2 =2 , ,

﹣1

α

∴2α=﹣1,解得 ∴f(x)= ∴f( )= ∴f( )=2. , =

=2,

故答案为:2. 点评: 本题考查了幂函数的概念、解析式,定义域和单调性.考查了求幂函数的解析式问 题,运用了待定系数法的解题方法,求解析式一般选用待定系数法、换元法、配凑法、消元法 等. 对于幂函数的有关问题, 关键是正确的画出幂函数的图象, 根据幂函数在第一象限的图形, 结合幂函数的定义域、奇偶性,即可画出幂函数的图象,应用图象研究幂函数的性质.属于基 础题.

14. (5 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有三个不同的实根,

则实数 k 的取值范 围是(﹣1,0) . 考点: 根的存在性及根的个数判断. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 令 y=k,画出 f(x)和 y=k 的图象,通过读图一目了然. 解答: 解:画出函数 f(x)的图象(红色曲线) , 如图示:

, 令 y=k,由图象可以读出:﹣1<k<0 时, y=k 和 f(x)有 3 个交点, 即方程 f(x)=k 有三个不同的实根, 故答案为: (﹣1,0) . 点评: 本题考察了根的存在性问题,渗透了数形结合思想,是一道基础题. 15. (5 分)若函数 f(x)满足:在定义域 D 内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立,则称函数 f(x)为“1 的饱和函数”.给出下列四个函数:①f(x)= ;②f(x)=2 ; ③f(x)=lg(x +2) ;④f(x)=x.其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号是②④. 考点: 函数的值. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 利用“1 的饱和函数”的定义和函数的性质求解. 解答: 解:①f(x)= ,D=(﹣∞,0)∪(0,+∞) , 若 f(x)= 是“1 的饱和函数”, 则存在非零实数 x0,使得 即 x0 +x0+1=0, 因为此方程无实数解,所以函数 f(x)= 不是“1 的饱和函数”. ②f(x)=2 ,D=R,则存在实数 x0,使得
x 2 2 x

=



=

+2 解得 x0=1,

因为此方程有实数解, x 所以函数 f(x)=2 是“1 的饱和函数”. 2 ③f(x)=lg(x +2) ,若存在 x,使 f(x+1)=f(x)+f(1) 2 则 lg=lg(x +2)+lg3 2 即 2x ﹣2x+3=0, 2 ∵△=4﹣24=﹣20<0,故方程无解.即 f(x)=lg(x +2)不是“1 的饱和函数”. ④f(x)=x,存在 x,使得 f(x+1)=f(x)+f(1) , 即 f(x)=x 是“1 的饱和函数”.

故答案为:②④. 点评: 本题考查“1 的饱和函数”的判断,是基础题,解题时要注意函数的性质的合理运用 三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (13 分)已知 值. 考点: 三角函数的化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)由 可求 (2)结合(1)可知 tanθ 的值,故考虑把所求的式子化为含“切”的形式,从而在所求的式子 的分子、分母同时除以 cos θ,然后把已知 tanθ 的值代入可求. 解答: 解: (1)∵sin θ+cos θ=1, ∴cos θ= 又 ∴
2 2 2 2



<θ<π. (1) 求 tanθ; (2) 求





<θ<π 结合同角平方关系可求 cosθ,利用同角基本关系



<θ<π,∴cosθ= .

(2)

=



点评: (1)考查了同角平方关系,利用同角平方关系解题时一定要注意角度的取值范围, 以确定所求值的符号. (2)考查了同角基本关系 在三角函数化简、求值中的应用.

17. (13 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x) ,当 x>0 时,f(x)=﹣x +2x (Ⅰ)求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间上单调递增,求实数 a 的取值范围. 考点: 奇偶性与单调性的综合. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (Ⅰ)根据函数奇偶性的对称性,即可求函数 f(x)在 R 上的解析式; (Ⅱ)根据函数奇偶性和单调性的关系,利用数形结合即可求出 a 的取值范围. 2 2 解答: 解: (Ⅰ)设 x<0,则﹣x>0,f(﹣x)=﹣(﹣x) +2(﹣x)=﹣x ﹣2x. 又 f(x)为奇函数,所以 f(﹣x)=﹣f(x)且 f(0)=0. 2 于是 x<0 时 f(x)=x +2x.

2

所以 f(x)=



(Ⅱ)作出函数 f(x)=

的图象如图:

则由图象可知函数的单调递增区间为 要使 f(x)在上单调递增, (画出图象得 2 分) 结合 f(x)的图象知 ,

所以 1<a≤3,故实数 a 的取值范围是(1,3].

点评: 本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用,利用二次函数图象和性质是解决本题的 关键.

18. (13 分)已知 , (Ⅰ)求 的值; .





(Ⅱ)求 cos(α+β)的值. 考点: 运用诱导公式化简求值;两角和与差的余弦函数. 专题: 计算题;三角函数的求值. 分析: (Ⅰ)利用同角三角函数间的关系及角的范围,可求得 cos( (Ⅱ)cos(β﹣ )= ,β﹣ ∈( , ) ,可求得 sin(β﹣ +α)的值;

)= ;利用两角和的余

弦即可求得 cos(α+β)的值. 解答: 解: (Ⅰ)由题知: sin( +α)= ,

∴cos( ∵α∈( ∴

+α)=± ; , ) , , ) ,

+α∈(

∴ cos(

+α)=﹣ ; )= , ,π) ,

(Ⅱ)∵cos(β﹣ ∴sin(β﹣ 故 β﹣ ∈(

)=± ,又 β∈( , )= , ) ,

∴sin(β﹣

cos(α+β)=cos =cos( +α)cos(β﹣ ×4 . )﹣sin( +α)sin(β﹣ )

=﹣ × ﹣ =﹣

点评: 本题考查同角三角函数间的关系,考查两角和与差的余弦函数,考查综合运算求解 能力,属于中档题. 19. (12 分)为了保护环境,发展低碳经济,某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关, 采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为 400 吨,最多为 600 吨,月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表 示为: ,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元.

(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低? (2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则国家至少需要补贴多 少元才能使该单位不亏损? 考点: 函数的最值及其几何意义. 专题: 应用题. 分析: (1)由题意月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似的表示 为: ,两边同时除以 x,然后利用不等式的性质进行放缩,从而求出

最值; (2)设该单位每月获利为 S,则 S=100x﹣y,把 y 值代入进行化简,然后运用配方法进行求 解. 解答: 解: (1)由题意可知,

二氧化碳的每吨平均处理成本为: , 当且仅当 ,即 x=400 时,

(4 分)

才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为 200 元. (8 分) (2)设该单位每月获利为 S, 则 S=100x﹣y (10 分) = =

因为 400≤x≤600,所以当 x=400 时,S 有最大值﹣40000. 故该单位不获利,需要国家每月至少补贴 40000 元,才能不亏损. (16 分) 点评: 此题是一道实际应用题,考查了函数的最值和不等式的基本性质,及运用配方法求 函数的最值.
2

20. (12 分)已知函数 f(x)= 对称轴间的距离为

sin(ωx+φ)+2sin

﹣1(ω>0,0<φ<π) ,相邻两

,且 f(0)=0

(1)求 f(x)的解析式; (2)将函数 y=f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度,再把横坐标缩短到原来的

(纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象.当 x∈时,求函数 g(x)的值域. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简可得 f(x)=2sin(ωx+φ﹣ (2)由图象变换可得 g(x)=2sin(4x﹣ 解答: 解: (1)化简可得 f(x)= = ) ,由题意可得 ω 和 φ 值,可得解析式;

) ,由 x∈和三角函数的性质可得值域.
2

sin(ωx+φ)+2sin )

﹣1

sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)=2sin(ωx+φ﹣ ,∴ =

∵相邻两对称轴间的距离为 ∴f(x)=2sin(2x+φ﹣ ) ,

,解得 ω=2,

∵f(0)=0,0<φ<π,∴φ= ∴f(x)=2sin(2x) ; (2)函数 y=f(x)的图象沿 x 轴方向向右平移 个单位长度,的函数 y=2sin(2x﹣ ) ;

再把横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变) ,得到函数 y=g(x)的图象, ∴g(x)=2sin(4x﹣ ∴sin(4x﹣ ) ,∵x∈,∴4x﹣ ∈,

)∈,∴函数的值域为

点评: 本题考查三角函数图象的变换以及三角函数图象和性质,属基础题. 21. (12 分)已知函数 f(x)是定义在上的奇函数,且 f(1)=1,若 x,y∈,x+y≠0 有(x+y) ?>0. (1)判断 f(x)的单调性,并加以证明; (2)解不等式
2



(3)若 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立.求实数 m 的取值范围. 考点: 函数恒成立问题;奇偶性与单调性的综合. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)设 x1,x2∈,且 x1<x2,则 x1﹣x2<0,利用 x,y∈,x+y≠0 有(x+y)?>0,可 得 f(x1)+f(﹣x2)<0,根据函数 f(x)是定义在上的奇函数,即可得函数 f(x)在上单调 增; (2)由(1)知, ,解之即可;
2

(3)先确定函数 f(x)在上的最大值为 f(1)=1,将 f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成 2 立转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立,从而可求实数 m 的取值范围. 解答: 解: (1)函数 f(x)在上单调增,证明如下 由题意,设 x1,x2∈,且 x1<x2 则 x1﹣x2<0 ∵x,y∈,x+y≠0 有(x+y)?>0. 令 x=x1,y=﹣x2, ∴f(x1)+f(﹣x2)<0 ∵函数 f(x)是定义在上的奇函数 ∴f(x1)﹣f(x2)<0 ∴函数 f(x)在上单调增; (2)由(1)知, ,解得:

(3)由于函数 f(x)在上单调增, ∴函数 f(x)在上的最大值为 f(1)=1 2 2 ∴f(x)≤m ﹣2am+1 对所有 x∈,a∈恒成立可转化为:0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立 ∴ ,

解得 m≥2 或 m≤﹣2 或 m=0

点评: 本题以抽象函数的性质为载体,考查函数的单调性,考查单调性与奇偶性的结合, 同时考查了恒成立问题, 解题的关键是: f (x) ≤m ﹣2am+1 对所有 x∈, a∈恒成立转化为: 0≤m ﹣2am 对所有 a∈恒成立
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