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高中数学必修2测试试卷


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高中数学必修 2 测试试卷
本试卷分第Ⅰ部分(选择题)和第Ⅱ部分(非选择题)共 150 分 考试时间 120 分钟. 第Ⅰ部分(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的. 题 答 号 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1. 已知直线 ax ? by ? c ? 0(abc ? 0)与圆x 2 ? y 2 ? 1 相切,则三条边长分别为|a|,|b|,|c|的三角 形 。 A.是锐角三角形 B.是直角三角形 C.是钝角三角形 D.不存在 2. a=3 是直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+(a-1)y=a-7 平行且不重合的 A. B. C. D. 2 2 3. 点 M(x0,y0)是圆 x +y =a2 (a>0)内不为圆心的一点, 则直线 x0x+y0y=a2 与该圆的位置关系是 ( ) A.相切 B.相交 C.相离 D.相切或相交 4.圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2 的点共有( )

A.1 个 B .2 个 C.3 个 D.4 个 5.一个三棱锥,如果它的底面是直角三角形,那么它的三个侧面( ) A.必定都不是直角三角形 B.至多有一个直角三角形 C.至多有两个直角三角形 D.可能都是直角三角形 6.长方体的三个相邻面的面积分别为 2,3,6,这个长方体的顶点都在同一个球面上,则这个球面 的表面积为( ) A.

7? 2

B.56π

C.14π

D.64π

7.棱锥被平行于底面的平面所截,当截面分别平分棱锥的侧棱、侧面积、体积时,相应的截面面积 分别为 S1、S2、S3,则( ) A.S1<S2<S3 B.S3<S2<S1 C.S2<S1<S3 D.S1<S3<S2 8. 图 8-23 中多面体是过正四棱柱的底面正方形 ABCD 的顶点 A 作 截面 AB1C1D1 而截得的,且 B1B=D1D。已知截面 AB1C1D1 与底面 ABCD 成 30°的二面角,AB=1,则这个多面体的体积为( ) A.

6 6 6 B. C. 2 3 4

D.

6 6

9.设地球半径为 R,在北纬 30°圈上有甲、乙两地,它们的经度 差为 120°,那么这两地间的纬线之长为( ) A.

3 πR 3

B. 3 π R

C.π R

D.2π R

10.如图 8-24,在一个倒置的正三棱锥容器内,放入一个钢球,钢球恰好与棱锥的四个面都接触上, 经过棱锥的一条侧棱和高作截面,正确的截面图形是( )
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11 . 如图 8-25,在三棱柱的侧棱 A1A 和 B1B 上各有一动点 P,Q,且满足 A1P=BQ, 过 P、Q、C 三点的截面把棱柱分成两部分,则其体积之比为( ) A.3∶1 B.2∶1 C.4∶1 D. 3 ∶1

12.如图 8-26,下列四个平面形中,每个小四边形皆为正方形,其中可以沿两个 正方形的相邻边折叠围成一个立方体的图形 是( )

第Ⅱ部分(非选择题 共 90 分)
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. 13.已知定点 A(0, 1),点 B 在直线 x+y=0 上运动, 当线段 AB 最短时, 点 B 的坐标是___________________. 14.圆 x +y -2x-2y+1=0 上的动点 Q 到直线 3x+4y+8=0 距离的最小值为______. 15.集合 A={(x,y)|x +y =4} ,B={(x,y)|(x-3) +(y-4) =r } ,其中 r>0,若 A∩B 中有且仅有一 个元素,则 r 的值是______________. 16.α、β 是两个不同的平面,m、n 是平面 α 及 β 之外的两条不同直线,给出四个论断:① m⊥ n,② α⊥ β, ③ n⊥ β,④ m⊥ α. 以 其 中 三 个 论 断 作 为 条 件 , 余 下 一 个 作 为 结 论 , 写 出 你 认 为 正 确 的 一 个 命 题:_______________ 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12 分) 如图 8-12,球面上有四个点 P、A、B、C,如果 PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a,求这个球的表面积。
2 2 2 2 2 2 2

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18. (12 分)如图 7-15,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长都等 于 a,D、E 分别是 AC1、BB1 的中点, (1)求证:DE 是异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线段,并求其 长度; (2)求二面角 E—AC1—C 的大小; (3)求点 C1 到平面 AEC 的距离。 解:

19. (12 分) 如图 7-4,已知△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且 AD=1,BD=2,△ACD 绕 CD 旋转至 A′CD,使点 A′与点 B 之间的距离 A′B= 3 。 (1)求证:BA′⊥平面 A′CD; (2)求二面角 A′-CD-B 的大小; (3)求异面直线 A′C 与 BD 所成的角的余弦值。 解:

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20. (12 分 ) 自点 A(-3 , 3) 发出的光线 L 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程。 解:

21.(12 分)已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。 解:

22. (14 分)设圆满足:①截 y 轴所得弦长为 2;②被 x 轴分成两段圆弧,其弧长的比为 3∶1,在满 足条件①、②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程。 解:

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必修 2 测试试卷详细解答 一、 选择题 1. 【分析】本题考查三角形分类、直线和圆的位置关系及其有关的运算. 解法一:由于直线与圆相切则有:圆心到直线的距离等于半径即
2 2

k a 2 ? b2

=1 ? |a| +
2

|b| =|c| ,∴为 Rt△,选 B.. 解法二:圆心坐标为 (0 , 0) ,半径为 1 ,因为直线和圆相切,利用点到直线距离公式得: d=

|c| a 2 ? b2

=1,即 a +b =c ,所以,以|a|、|b|、|c|为边的三角形是直角三角形.∴选 B.

2

2

2

2.【分析】本题考查的是两直线平行且不重合的充要条件.若 l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,(i) 为平行直线则:

A1 B1 C A B a = ≠ 1 ,(ii)为相交,则 1 ≠ 1 (iii)为垂直,A1B2+A2B1=0.a=3 时, 3 A2 B 2 C 2 A2 B2

=

2 3a ≠.∴a=3 是已知二直线不重合而平行的充要条件.∴选 C. a?2 ? ( a ? 7)

3.C 4.C 5.D 6.C 7.A 8.D 9.A 10.B 11.B 12.C 二、 填空题: 13.【分析】本题考查两点间的距离公式、求最值和点到直线的距离等,以及基本的运算技能,本 解法一:代数法,根据两点间的距离公式建立一个函数关系,即|AB| =(x-0) +(y-1) ,又 y=x, 则| AB|2=x2+(x+1)2=2x2+2x+1 ,转化为二次函数求最值,可见当 x=2 2 2

1 2

时,|AB| 最小为

2

1 ,∴|AB 2

1 1 2 ,∴B(- , ) 2 2 2

解法二:几何法,直线上的点 B 与 A 点的连线中当 AB 与 x+ y=0 垂直时,AB 最短,∴AB:y=x+1,∴B 点为 ?

?y ? x ?1 1 1 的交点为(- , ). 2 2 ?y ? x ? 0

14.【分析】本题考查圆的性质与直线的位置关系、函数以及基本的运算技能.本题有两种做法①做 与直线 3x+4y+8=0 平行的直线且与圆相切,将来会得到两条,有两个切点,这两切点到 3x+4y+8=0 的距离就得到圆上的点到直线的最大值和最小值.②以圆心做标准, 到直线的距离减去或加上半径就 是圆上的点到直线的最小值和最大值.圆心到直线的距离 d=

|3? 4?8| =3,∴动点 Q 到直线距离的最小值 d-r=3-1=2. 5
15. 【分析】本题主要考查两圆的位置关系和基本的运算技能,已知⊙ O1(x-a) +(y-b) = r1 ,⊙
2 2

2

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O2(x-c) +(y-d) = r22 ,其中 r1>0,r2>0,①当|O1O2|=|r1-r2|时,⊙O1 与⊙O2 相内切,②当|
2 2

O1O2|=|r1+r2|时,⊙O1 与⊙O2 相外切,③当 0≤|O1O2|<|r1-r2|时两圆内含,④当|r1-r2| <|O1O2|<|r1+r2|时,两圆相交,⑤当| O1O2|> r1+r2 时两圆相离. 本题中 A∩B 只有一个元素,∴两圆相内切或外切, ∴ | O1O2 | = | r1 ± r2 | . 当 两 圆 外 切 时 ,

32 ? 42 =2+r,r=3,两圆内切时, 32 ? 42 =r-2,r=7,所以 r 的值是 3 或 7.
16. 答:①③④?②或②③④?① 三、解答题:本题共 6 小题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(12 分) 如图 8-12, 球面上有四个点 P、 A、 B、 C, 如果 PA, PB, PC 两两互相垂直, 且 PA=PB=PC=a, 求这个球的表面积。 解 如图 8-12,设过 A、B、C 三点的球的截面圆半径为 r,圆心为 O′, 球心到该圆面的距离为 d。在三棱锥 P—ABC 中, ∵PA,PB,PC 两两互相垂直,且 PA=PB=PC=a, ∴AB=BC=CA= 2 a,且 P 在△ABC 内的射影即是△ABC 的中心 O′。

由正弦定理,得

2a 6 =2r,∴r= a。 sin 60? 3

又根据球的截面的性质,有 OO′⊥平面 ABC,而 PO′⊥平面 ABC, ∴P、O、O′共线,球的半径 R= r 2 ? d 2 。又 PO′= PA2 ? r 2 = a ?
2

2 2 3 a, a = 3 3

∴OO′=R -

3 3 2 2 6 2 3 a=d= R 2 ? r 2 ,(R- a) =R – ( a) ,解得 R= a, 3 3 3 2

∴S 球=4π R2=3π a2。 注 本题也可用补形法求解。将 P—ABC 补成一个正方体,由对称性可知,正方体内接于球, 则球的直径就是正方体的对角线,易得球半径 R=

3 a,下略 2

18.如图 7-15,在正三棱柱 ABC—A1B1C1 中,各棱长都等于 a,D、E 分别是 AC1、BB1 的中点, (1)求证:DE 是异面直线 AC1 与 BB1 的公垂线段,并求其 长度; (2)求二面角 E—AC1—C 的大小; (3)求点 C1 到平面 AEC 的距离。
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解 (1)过 D 在面 AC1 内作 FG∥A1C1 分别交 AA1、CC1 于 F、G,则面 EFG∥面 ABC∥面 A1B1C1, ∴△EFG 为正三角形,D 为 FG 的中点,ED⊥FG。 连 AE, C1 E ∴ AE ? EC1 ∵D、E 分别为 AC1、BB1 的中点,

DE ? AC1 。又∵面 EFG⊥BB1,
3 a。 2

∴ED⊥BB1,故 DE 为 AC1 和 BB1 的公垂线,计算得 DE=

(2)∵AC=CC1,D 为 AC1 的中点,∴CD⊥AC1,又由(1)可知,ED⊥AC1,∴∠CDE 为二 面角 E—AC1—C 的平面角,计算得∠CDE=90°。或由(1)可得 DE⊥平面 AC1,∴平面 AEC1⊥ 平面 AC1,∴二面角 E—AC1—C 为 90°。 (3)用体积法得点 C1 到平面 ACE 的距离为

3 a。 2

19. 如图 7-4,已知△ABC 中, ∠ACB=90°,CD⊥AB,且 AD=1,BD=2,△ACD 绕 CD 旋转至 A′CD,使点 A′与点 B 之间的距离 A′B= 3 。 (1)求证:BA′⊥平面 A′CD; (2)求二面角 A′-CD-B 的大小; (3)求异面直线 A′C 与 BD 所成的角的余弦值。 解 (1)∵CD⊥AB, ∴CD⊥A′D,CD⊥DB, ∴CD⊥平面 A′BD, ∴CD⊥BA′。 又在△A′DB 中,A′D=1,DB=2,A′B= 3 , ∴∠BA′D=90°,即 BA′⊥A′D, ∴BA′⊥平面 A′CD。 (2)∵CD⊥DB,CD⊥A′D, ∴∠BDA′是二面角 A′—CD—B 的平面角。 又 Rt△A′BD 中,A′D=1,BD=2, ∴∠A′DB=60°, 即 二面角 A′—CD—B 为 60°。 (3)过 A′作 A′E∥BD,在平面 A′BD 中作 DE⊥A′E 于 E,连 CE,则∠CA′E 为 A′C 与 BD 所成角。 ∵CD⊥平面 A′BD,DE⊥A′E,∴A′E⊥CE。 ∵EA′∥AB,∠A′DB=60°,∴∠DA′E=60°, 又 A′D=1,∠DEA′=90°,
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1 2

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∴A′E=

又∵在 Rt△ACB 中,AC= ∴A′C=AC= 3

AD ? AB = 3

1 A' E 2 3 ∴Rt△CEA′中,cos∠CA′E= = = , A' C 3 6
即异面直线 A′C 与 BD 所成角的余弦值为

3 。 6

20.自点 A(-3, 3)发出的光线 L 射到 x 轴上, 被 x 轴反射, 其反射光线所在直线与圆 x2+y2-4x-4y+7=0 相切,求光线 L 所在直线的方程。 解法一 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,它关于 x 轴的对称圆的方程是(x-2)2+(y+2)2=1。 设光线 L 所在的直线的方程是 y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题设知对称圆的圆心 C′(2,-2) 到这条直线的距离等于 1,即 d=

| 5k ? 5 | 1? k 2

=1。整理得 12k2+25k+12=0,解得 k= -

3 4 或 k= - 。故 4 3

所求直线方程是 y-3= -

4 4 (x+3),或 y-3= - (x+3),即 3x+4y+3=0 或 4x+3y+3=0。 3 3

解法二 已知圆的标准方程是(x-2)2+(y-2)2=1,设交线 L 所在的直线的方程是

3(1 ? k ) ,0) , k 3(1 ? k ) 因为光线的入射角等于反射角,所以反射光线 L ′所在直线的方程为 y= -k(x+ ) ,即 k
y-3=k(x+3)(其中斜率 k 待定) ,由题意知 k≠0,于是 L 的反射点的坐标是(y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切,故圆心到直线的距离为 1,即 d=

| 5k ? 5 | 1? k 2

=1。以下同解

法一。 21.已知曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 (1)当 m 为何值时,曲线 C 表示圆; (2)若曲线 C 与直线 x+2y-4=0 交于 M、N 两点,且 OM⊥ON(O 为坐标原点),求 m 的值。 .解 (1)由 D2+E2-4F=4+16-4m=20-4m>0,得 m<5。 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),由 OM⊥ON 得 x1x2+ y1y2=0。 将直线方程 x+2y-4=0 与曲线 C:x2+y2-2x-4y+m=0 联立并消去 y 得 5x2-8x+4m-16=0, 由韦达定理得 x1+x2=

8 4m ? 16 1 ①,x1x2= ②, 又由 x+2y-4=0 得 y= (4-x), ∴ 2 5 5


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x1x2+y1y2=x1x2+

1 1 5 8 (4-x1)? (4-x2)= x1x2-( x1+x2)+4=0。将①、②代入得 m= . 2 2 4 5

22.设圆满足: ①截 y 轴所得弦长为 2; ②被 x 轴分成两段圆弧, 其弧长的比为 3∶1, 在满足条件①、 ②的所有圆中,求圆心到直线 l:x-2y=0 的距离最小的圆的方程。 解法一 设圆的圆心为 P(a,b),半径为 r,则点 P 到 x 轴,y 轴的距离分别为|b|,|a|。由题设知 圆 P 截 x 轴所得劣弧所对的圆心角为 90°,∴圆 P 截 x 轴所得的弦长为 2 r,故 r2=2b2。又圆 P 截 y 轴所得的的弦长为 2,所以有 r2=a2+1。从而得 2b2-a2=1。又点 P(a,b)到直线 x-2y=0 的距离为 d=

| a ? 2b | 5

,所以 5d2=|a-2b|2=a2+4b2-4ab≥a2+4b2 -2(a2+b2)=2b2-a2=1,当且仅当 a=b 时,上式等号成

立,从而要使 d 取得最小值,则应有 ?

?a ? b ?2b ? a ? 1
2 2

,解此方程组得 ?

?a ? 1 ?a ? ?1 或? 。又由 r2=2b2 b ? 1 b ? ? 1 ? ?

知 r= 2 。于是,所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2。 解法二 同解法一得 d=

| a ? 2b | 5

,∴a-2b=± 5 d,得 a2=4b2± 4 5 bd+5d2



将 a2=2b2-1 代入①式,整理得 2b ±4 5 bd+5d2+1=0 ②
2

把它看作 b 的二次方程,由于方程

有实根,故判别式非负,即△=8(5d2-1)≥0,得 5d2≥1。所以 5d2 有最小值 1,从而 d 有最小值
2

5 。 5

将其代入②式得 2b ±4b+2=0,解得 b=±1。将 b=±1 代入 r2=2b2 得 r2=2,由 r2=a2+1 得 a=±1。综 上 a=±1, b=±1, r2=2。 由|a-2b|=1 知 a, b 同号。 于是, 所求圆的方程是(x-1)2+(y-1)2=2 或(x+1)2+(y+1)2=2。

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