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2015届高考数学(理)二轮专题配套练习:专题8


第2讲 数形结合思想 热点一 1.数形结合的数学思想:包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面,其应用大致可以分为两种情形:一是 借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系,即以形作为手段,数作为目的,比如应用函数的图象来直观 地说明函数的性质;二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性,即以数作为手段,形作为目 的,如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质. 2.运用数形结合思想分析解决问题时,要遵循三个原则: (1)等价性原则.在数形结合时,代数性质和几何性质的转换必须是等价的,否则解题将会出现漏洞.有 时,由于图形的局限性,不能完整的表现数的一般性,这时图形的性质只能是一种直观而浅显的说明,要注 意其带来的负面效应. (2)双方性原则.既要进行几何直观分析,又要进行相应的代数抽象探求,仅对代数问题进行几何分析容易 出错. (3)简单性原则.不要为了“数形结合”而数形结合.具体运用时,一要考虑是否可行和是否有利;二要选 择好突破口,恰当设参、用参、建立关系、做好转化;三要挖掘隐含条件,准确界定参变量的取值范围,特 别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线. 3.数形结合思想解决的问题常有以下几种: (1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围. (2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围. (3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系. (4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式. (5)构建立体几何模型研究代数问题. (6)构建解析几何中的斜率、截距、距离等模型研究最值问题. (7)构建方程模型,求根的个数. (8)研究图形的形状、位置关系、性质等. 4.数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法与技巧,特别是在解选择题、填空题时发挥着奇特功 效,这就要求我们在平时学习中加强这方面的训练,以提高解题能力和速度.具体操作时,应注意以下几 点: (1)准确画出函数图象,注意函数的定义域. (2)用图象法讨论方程(特别是含参数的方程)的解的个数是一种行之有效的方法,值得注意的是首先要把方 程两边的代数式看作是两个函数的表达式 ( 有时可能先作适当调整,以便于作图 ) ,然后作出两个函数的图 象,由图求解. 热点二 数为( 例1 利用数形结合思想讨论方程的根 (2014· 山东)已知函数 f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程 f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值 ) C.(1,2) D.(2,+∞) 范围是( 1 1 A.(0, ) B.( ,1) 2 2 2 ? ?x +bx+c,x≤0, 设函数 f(x)=? 若 f(-4)=f(0),f(-2)=-2,则关于 x 的方程 f(x)=x 的解的个 ?2, x>0, ? ) C.3 D.4 A.1 B.2 利用数形结合思想解不等式、求参数范围 例 2 (1) 已知奇函数 f(x)的定义域是{x|x≠0,x∈R},且在(0,+∞)上单调递增,若 f(1)=0,则满足 x· f(x)<0 的 x 的取值范围是________. 1 (2)若不等式|x-2a|≥ x+a-1 对 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是________. 2 思维升华 求参数范围或解不等式问题时经常联系函数的图象,根据不等式中量的特点,选择适当的两个(或 多个)函数,利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决问题,往往可以避免烦琐的运算,获得 简捷的解答. (1)设 A={(x,y)|x2+(y-1)2=1},

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