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第3课时 等差等比数列的应用


第3课时 等差、等比数列的运用
? 要点·疑点·考点 ?课

前 热 身 ? 能力·思维·方法 ? 延伸·拓展
?误

解 分 析

要点·疑点·考点
1.差数列前n项和的最值 设Sn是{an}的前n项和,则{an}为等差数列 Sn=An2+Bn,其中A、B是常数. {an}为等差数列, an ≥0 若a1>0,d<0,则Sn有最大值,n可由 确定 an+1≤0 若a1<0,d>0,则Sn有最小值,n可由 an≤0 an+1≥0 确定.

2.递推数列 可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1)或

an a2 a3 an ? a1 ? ? ?? ? 求数列的通项公式. a1 a2 an?1

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课前热身
1.{an}为等比数列,{bn}为等差数列,且b1=0,Cn=an+bn,若 数列{Cn}是1,1,5,…则{Cn}的前10项和为___________. 90或29434 2.如果b是a,c的等差中项,y是x与z的等比中项,且x,y, z都是正数,则(b-c)logmx+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_______. 0

3.下列命题中正确的是( B

)

A.数列{an}的前n项和是Sn=n2+2n-1,则{an}为等差数列 B.数列{an}的前n项和是Sn=3n-c,则c=1是{an}为等比数列的 充要条件 C.数列既是等差数列,又是等比数列

D.等比数列{an}是递增数列,则公比q大于1

4.等差数列{an}中,a1>0,且3a8=5a13,则Sn 中最大的是 C ( ) (A)S10? (B)S11? (C)S20? (D)S21

5.等差数列{an}中,Sn 为数列前n项和,且Sn/Sm=n2/m2 D (n≠m),则an / am值为( ) (A)m/n (B)(2m-1)/n (C)2n/(2n-1) (D)(2n-1)/(2m-1)

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能力·思维·方法
1.设{an}是首项为1的正项数列,且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an =0(n=1,2,3,…),则它的通项公式是an= 1/n.

【解题回顾】这是2000年高考题,因是填空题,本题也 可由条件求出a1=1,a2=1/2,a3=1/3,a4=1/4…后,猜想 an=1/n

2.一个首项为正数的等差数列中,前3项和等于前11项和, 问此数列前多少项的和最大? 【解题回顾】另外,本例还可通过考查项的符号确定n取 何值时Sn取得最大值,即寻求这样的一项:使得这项及它 前面所有项皆取正值或0,而它后面所有各项皆取负值, 则第一项起到该项的和为最大.这是寻求Sn 最大值或最小 值的基本方法之一.还有在学习研究中我们不难发现在等 差数列{an}中,若a1>0,且Sp=Sq(p≠q),(1)当p+q为偶数 时,则n=p+q2时,Sn取得最大值;(2)当p+q为奇数时,则 n=p+q-12或p+q+12时Sn取得最大值这一规律.

3.已知等比数列{an}的首项a1>0,公比q>0.设数列{bn}的通 项bn=an+1+an+2(n∈N*),数列{an}与{bn}的前n项和分别记为 An与Bn,试比较An与Bn的大小.

【解题回顾】遇到涉及等比数列的和的问题时,要根据题 意作具体分析,不要贸然使用求和公式,如本例就是直接 利用数列前n项和的定义,从而避免了运用求和公式所带来 的繁杂运算.

4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=100,S100=10,试 求S110.

【解题回顾】本例解法一是依据等差数列均匀分段求和后 组成的数列仍为等差数列;解法二是依据等差数列的前n项 的算术平均数组成的数列仍为等差数列;解法三是利用数 列的求和定义及等差数列中两项的关系,熟记等差数列的 这些性质常可起到简化解题过程的作用.

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1 ? a1 ? 2 ? a2 ? ? ? n ? an 5.已知数列{an}和{bn}满足bn ? (n∈ 1 ? 2 ??? n
N+),试证明:{an}成等差数列的充分条件是{bn}成等差数 列. 【解题回顾】题设中有a1+2a2+…+nan,应将其看做数列 {nan}的和Sn.而本题要证an+1-an为常数,故应在等式中消 去a1+2a2+…+(n-1)an-1,即消去Sn-1,因此,利用Sn-Sn-1, 就达到了用{bn}中的项表示an的目的.作差法是解决与数列 和有关的问题的常用方法.

延伸·拓展

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误解分析
1.在利用an≥0,an+1≤0或an≤0、an+1≥0求等差数列前n项和Sn 的最值时,符号不能丢掉.
2.在能力· 思维· 方法4中,如果数不清项数,看不清下标, 将会出错.

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