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含参数不等式的解法


含参数不等式的解法

例1.解关于x的不等式 .解关于 的不等式
分析: 分析:

ax?b > 0

参变数可分为三种情况,即 a > 0, a = 0和a < 0 , 分别解出当 a > 0 , a = 0 和 a < 0 时的解集即可。 原不等式可化为:ax > b

解:

b b 当 a > 0 时,则 x > 当 a < 0 时,则 x < a a 当 a = 0 时,则原不等式变为: 0 > b
若 b ≥ 0, 则原不等式的解集为 Φ 若b < 0, 则原不等式的解集为R
综上所述原不等式的解 集为 :

b 当 a > 0 时 , 解集为 { x | x > } a
b 当 a < 0 时 , 解集为 { x | x < } a 当 a = 0且 b ≥ 0时 , 解集为 Φ
当 a = 0 且 b < 0时 , 解集为 R

例2.解关于 的不等式 .解关于x的不等式

x ? (a + a ) x + a
2 2

3

> 0(a ∈ R )

分析: 分析:

( x ? a )( x ? a 2 ) > 0 原不等式可化为: 则原不等式的解集应 a, a 2 之外,但是a, a 2 谁大? 需要讨论.而a 2 ? a = a (a ? 1) ,

当 a = 0、 时,   有 a 2 = a 1 当0 < a < 1时, 有a 2 < a 当a < 0、a > 1时, 有a2 > a

解: 原不等式可化为:

( x ? a )( x ? a ) > 0
2

∴当a < 0时, 则a < a 2 , 原不等式的解集为{x | x < a或x > a 2 }

当a = 0时, 则a = a = 0, 原不等式的解集为{x | x ≠ 0}
2

当0 < a < 1时 , 则 a 2 < a , 原不等式的解集为 { x | x < a 2或 x > a}

当a = 1时, 则a 2 = a = 1, 原不等式的解集为 x | x ≠ 1} {
当a > 1时, 则a 2 > a, 原不等式的解集为{x | x < a或x > a 2 }

解关于x的不等式 例3. 解关于 的不等式
ax ? ( a + 1) x + 1 < 0
2

(a ∈ R)

分析:原不等式可转化为:( x ? 1)(ax ? 1) < 0 先分 a > 0 或 a = 0 或 a < 0 三种情况再具体分析 解:原不等式可转化为: x ? 1)(ax ? 1) < 0 (

1 当 a < 0 时,则不等式可化为: x ? 1)( x ? ) > 0 ( a

? ∴原不等式的解集为:? x x > 1或x < ?

1 Q <1 a

1? ? a?

当 a = 0 时,则不等式可转化为:(?1)( x ? 1) < 0 ∴原不等式的解集为 x x > 1

{

}

1 当 a > 0 时,则原不等式可化为: ( x ? 1)( x ? ) > 0 a
1 若0 < a < 1, 则不等式的解集为: {x | 1 < x < } a

若a = 1, 则不等式的解集为 : Φ

1 若a > 1, 则不等式的解集为 {x | < x < 1} : a

例4.解关于x的不等式

1 log a (1 ? ) > 1 x
分析: 因为a作为对数的底数,故a的取值为 a > 1或 0 < a < 1 所以要分成 a > 1 或 0 < a < 1 两种情况进行讨论.

解: 原不等式可化为: log

1 a (1 ? ) > log a a x

当 a > 1 时,原不等式等到价于不等式组:
? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1 >0 1 1 x , 因为 < 1 ? a < 0, 所以 x < 0, 故有 <x<0 1 x 1? a >a x

当 0 < a < 1 时,原不等式等价于不等式组:
? ?1 ? ? ? ?1 ? ? ? 1 >0 1 1 x , 因为 > 1 ? a > 0 , 所以 x > 1, 故有 1 < x < 1 x 1? a <a x

综上所述,当a > 1时,不等式的解集为:

1 ? ? < x < 0? ?x | ? 1? a ?
当 0 < a < 1 时,不等式的解为:

1 ? ? ?x | 1 < x < ? 1? a ? ?

题型3:有关恒成立求参数取值范围 题型 有关恒成立求参数取值范围

例1. 若函数 f(x) =

2

x 2 ? 2 ax ? a

? 1 的定义域为 R,

的取值范围为___ 则a的取值范围为 的取值范围为

2

x 2 ? 2 ax ? a
2

≥1= 2

0

? x ? 2ax ? a ≥ 0
? ? = (2a ) + 4a ≤ 0 ? a (a + 1) ≤ 0 ∴?1 ≤ a ≤ 0.
2

例2、不等式ax2 +(a-1)x+ a-1<0对所有实数 、不等式 ( ) < 对所有实数 x∈R都成立,求a的取值范围 都成立, 的取值范围. ∈ 都成立 的取值范围 分析:开口向下, 分析:开口向下,且与x轴无交点 。 由题目条件知: 解:由题目条件知: (1)a = 0时,不等式为 ) 时 不等式为-x-1 <0 不符合题意 (2) a < 0,且△ < 0. , 因此a 因此 < -1/3。 。 综上所述: 的取值范围是 综上所述:a的取值范围是
1? ? ?a | a < ? ? 3? ?

当 x ∈ (1, 时,不等式 x + mx + 4 < 0 恒成立, 2)
2

则m的取值范围是 ___ 的取值范围是 构造函数: 构造函数: f ( x ) =

2] x + mx + 4, x ∈ [1,
2

由于当 x ∈ (1, 时, 不等式 2)

x + mx + 4 < 0 恒成立
2

f (1) ≤ 0, f (2) ≤ 0

∴1 + m + 4 ≤ 0, 4 + 2m + 4 ≤ 0
∴ m ≤ ?5

课堂练习: 解下列关于x的不等式 :

(1)56 x + ax ? a < 0
2 2

a? ? a 1.当a < 0时, 解集为? x | < x < ? ? 7? ? 8 当a = 0时, 解集为Φ a ? 当a > 0时, 解集为? x | ? < x < 7 ? a? ? 8?

(2)ax ? (2a + 1) x + 2 > 0
2

? 1 ? 当a < 0时, 解集为? x | < x < 2? ? a ? 当a = 0时, 解集为{x | x | x < 2} 1 1 ? ? 当0 < a < 时, 解集为? x | x > 或x < 2? 2 a ? ? 1 当a = 时, 解集为{x | x ≠ 2} 2 1 1? ? 当a > 时, 解集为? x | x > 2或x < ? 2 a? ?

2a 2 解关于x的不等式:x|x-a|≤ (a>0). 9

[解析]当x≥a时,不等式可化为
?x ≥ a ?x ≥ a ?9 x( x ? a ) ≤ 2a 2 即 ?9 x 2 ? 9ax ? 2a 2 ≤ 0 ∴a≤x≤ ? ?

3 + 17 a 6

?x < a x<a 当x<a时,不等式可化为 ? 即? 2 ?9 x ( a ? x ) ≤ 2 a 2 9 x ? 9ax + 2a 2 ≥ 0 ? ?
∴x≤
a 2a 3 + 17 a 2a a] . 或 ≤ x < a 故不等式的解集为(?∞, ] U [ , 3 3 6 3 3

小结: 1、解含参数的不等式,往往要对参数的取值进 行分类讨论,分类讨论要做到不重、不漏。 2、不等式的解集按参数的分类写出,千万不 可合并

作业:
满足3 ? x ≥ x ? 1的x的集合为A, 满足x 2 ? (a + 1) x + a ≤ 0 的x的集合为B. (1)若A ? B, 求a的取值范围 (2)若A ? B, 求a的取值范围 (3)若A ∩ B为仅含一个元素的集合, 求a的值


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