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2016高考数学大一轮复习 8.1空间几何体及其表面积、体积教师用书 理 苏教版


§8.1

空间几何体及其表面积、体积

1.空间几何体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形. 多面体 (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形. (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多边形. (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到. (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到. 旋转体 (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、 下底中点连线 所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到. (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.柱、锥、台和球的表面积和体积 名称 几何体 柱体(棱柱和圆 柱) 锥体(棱锥和圆 锥) 台体(棱台和圆 台) 表面积 体积

S 表面积=S 侧+2S 底

V=Sh
1 3

S 表面积=S 侧+S 底
1 3

V= Sh V= (S 上+S 下+ S上S下)h

S 表面积=S 侧+S 上+S 下

1

球 3.空间几何体的直观图

S=4π R2

V= π R3

4 3

画空间几何体的直观图常用斜二测画法,基本步骤: (1)在已知图形中取互相垂直的 x 轴、y 轴,两轴相交于点 O,画直观图时,把它们画成对应 的 x′轴、y′轴,两轴相交于点 O′,且使∠x′O′y′=45°(或 135°). (2)已知图形中平行于 x 轴、y 轴的线段,在直观图中分别平行于 x′轴、y′轴. (3)已知图形中平行于 x 轴的线段,在直观图中长度保持不变,平行于 y 轴的线段,长度变为 原来的一半. (4)在已知图形中过 O 点作 z 轴垂直于 xOy 平面, 在直观图中对应的 z′轴也垂直于 x′O′y′ 平面,已知图形中平行于 z 轴的线段,在直观图中仍平行于 z′轴且长度不变. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × (2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × ) )

(3)用斜二测画法画水平放置的∠A 时,若∠A 的两边分别平行于 x 轴和 y 轴,且∠A=90°, 则在直观图中,∠A=45°.( × )

(4)圆柱的侧面展开图是矩形.( √ ) (5)台体的体积可转化为两个锥体的体积之差来计算.( √ )

1.下列说法正确的是________(填序号). ①相等的角在直观图中仍然相等; ②相等的线段在直观图中仍然相等; ③正方形的直观图是正方形; ④若两条线段平行,则在直观图中对应的两条线段仍然平行. 答案 ④ 解析 由直观图的画法规则知,角度、长度都有可能改变,而线段的平行性不变. 2. (2014·陕西改编)将边长为 1 的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周, 所得几何体 的侧面积是________. 答案 2π 解析 底面圆半径为 1,高为 1,侧面积 S=2π rh=2π ×1×1=2π . 3.(2013·课标全国Ⅰ改编)如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体 容器,容器高 8 cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好
2

接触水面时测得水深为 6 cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为________ cm . 答案 500π 3

3

解析 作出该球轴截面的图象如图所示,依题意 BE=2,AE=CE=4,设

DE=x,故 AD=2+x,因为 AD2=AE2+DE2,解得 x=3,故该球的半径 AD
=5, 4 500π 3 所以 V= π R = . 3 3 4.一个三角形在其直观图中对应一个边长为 1 的正三角形,原三角形的面积为________. 答案 6 2

解析 由斜二测画法,知直观图是边长为 1 的正三角形,其原图是一个底为 1,高为 6的三 角形,所以原三角形的面积为 6 . 2

题型一 空间几何体的结构特征 例 1 给出下列命题: ①棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形; ②若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则其三个侧面也两两垂直; ③若有两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱; ④存在每个面都是直角三角形的四面体; ⑤棱台的侧棱延长后交于一点. 其中正确命题的序号是________. 答案 ②③④⑤ 解析 ①不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边

形,但不一定全等;②正确,若三棱锥的三条侧棱两两垂直,则三 个侧面构成的三个平面的二面角都是直二面角;③正确,因为两个 过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;④正确,如 图,正方体 AC1 中的三棱锥 C1-ABC,四个面都是直角三角形;⑤正确,由棱台的概念可知. 思维升华 (1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义,真正把握几何体的结构特征, 可以根据条件构建几何模型,在几何模型中进行判断;(2)解决本类题目的技巧:三棱柱、四 棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型,有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用 反例对概念类的命题进行辨析.
3

给出下列命题: ①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点,则这两点的连线是圆柱的母线; ②有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥; ③直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥; ④棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等. 其中正确命题的个数是________. 答案 0 个 解析 ①不一定,只有当这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都 是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”, 如图 1 所示; ③不一定, 当以斜边所在直线为旋转轴时,其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥,如图 2 所 示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面相似且是对应边平行的 多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.

图1 题型二 几何体的直观图

图2

例 2 (1)关于斜二测画法所得直观图的说法正确的序号为________. ①直角三角形的直观图仍是直角三角形; ②梯形的直观图是平行四边形; ③正方形的直观图是菱形; ④平行四边形的直观图仍是平行四边形. (2)正三角形 AOB 的边长为 a,建立如图所示的直角坐标系 xOy,则它的 直观图的面积是________. 答案 (1)④ (2) 6 2 a 16

解析 (1)由斜二测画法规则可知, 平行于 y 轴的线段长度减半, 直角坐标系变成了斜坐标系, 而平行性没有改变,因此,只有④正确. (2) 画出坐标系 x′O′y′,作出△OAB 的直观图 O′A′B′(如 图).D′为 O′A′的中点. 1 易知 D′B′= DB(D 为 OA 的中点), 2

4

1 2 2 3 2 6 2 ∴S△O′A′B′= × S△OAB= × a = a . 2 2 4 4 16 思维升华 解决有关“斜二侧画法”问题时,一般在已知图形中建立直角坐标系,尽量运用 图形中原有的垂直直线或图形的对称轴为坐标轴,图形的对称中心为原点,注意两个图形中 关键线段长度的关系. (1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图, 结果为如图所示的一个 正方形,则原来的平面图形为________.

(2)如图, 矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图, 其中

O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形的形状为________.
答案 (1)① (2)菱形 解析 (1)平面图形的直观图为正方形,且其边长为 1,对角线长为 2,所以原平面图形为 平行四边形,且位于 x 轴上的边长仍为 1,位于 y 轴上的对角线长为 2 2. (2)如图,在原图形 OABC 中, 应有 OD=2O′D′=2×2 2 =4 2 cm,

CD=C′D′=2 cm.
∴OC= OD +CD
2 2 2

= ?4 2? +2 =6 cm, ∴OA=OC,故四边形 OABC 是菱形. 题型三 空间几何体的表面积 例 3 有三个球,第一个球内切于正方体,第二个球与这个正方体各条棱相切,第三个球过 这个正方体的各个顶点,求这三个球的表面积之比.
5

2

(2)如图,斜三棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 a 的正三角形,侧棱长为 b,侧棱 AA′ 与底面相邻两边 AB 与 AC 都成 45°角,求此斜三棱柱的表面积. 解 (1)设正方体的棱长为 a, ①正方体的内切球球心是正方体的中心,切点是六个面的中心,经过四个切点及球心作截面 如图①所示,有 2r1=a,∴r1= ,S1=4π r1=π a . 2

a

2

2

②球与正方体的各条棱的切点在各棱的中点,过球心作正方体的对角面得截面如图②所示, 有 2r2= 2a,r2= 2 2 a,S2=4π r2 2=2π a . 2

③正方体的各顶点在球面上, 过球心作正方体的对角面得截面如图③所示, 有 2r3= 3a, ∴r3 = 3 2 a,∴S3=4π r2 3=3π a . 2

综上可得,S1∶S2∶S3=1∶2∶3. (2)如图, 过 A′作 A′D⊥平面 ABC 于 D, 过 D 作 DE⊥AB 于 E, DF⊥AC 于 F, 连结 A′E,A′F,AD. 则由∠A′AE=∠A′AF,

AA′=AA′,
得 Rt△A′AE≌Rt△A′AF, ∴A′E=A′F,∴DE=DF,∴AD 平分∠BAC, 又∵AB=AC,∴BC⊥AD,∴BC⊥AA′, 而 AA′∥BB′,∴BC⊥BB′, ∴四边形 BCC′B′是矩形, ∴斜三棱柱的侧面积为 2×a×bsin 45°+ab=( 2+1)ab. 又∵斜三棱柱的底面积为 2× 3 2 3 a = a2, 4 2 3 2 a. 2

∴斜三棱柱的表面积为( 2+1)ab+ 思维升华

(1)解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单的几何体组成的以及这些

简单的几何体的组合情况;(2)在求多面体的侧面积时,应对每一侧面分别求解后再相加,对 于组合体的表面积应注意重合部分的处理.(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积

6

时需要将这个曲面展为平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和. 3 一个正三棱台的上、下底面边长分别是 3 cm 和 6 cm,高是 cm. 2 (1)求三棱台的斜高; (2)求三棱台的侧面积和表面积. 解 (1)设 O1、O 分别为正三棱台 ABC—A1B1C1 的上、下底面正三角形的 3 中心,如图所示,则 O1O= ,过 O1 作 O1D1⊥B1C1,OD⊥BC,则 D1D 为三 2 棱台的斜高; 3 过 D1 作 D1E⊥AD 于 E,则 D1E=O1O= , 2 因 O1D1= 3 3 3 ×3= ,OD= ×6= 3, 6 2 6 3 3 = . 2 2

则 DE=OD-O1D1= 3- 在 Rt△D1DE 中,

D1D= D1E2+ED2=

?3?2+? 3?2= 3(cm). ?2? ? ? ? ? ?2?

故三棱台斜高为 3 cm. (2)设 c、c′分别为上、下底的周长,h′为斜高,

S 侧= (c+c′)h′= (3×3+3×6)× 3= S 表=S 侧+S 上+S 下=
= 99 3 2 (cm ). 4

1 2

1 2

27 3 2 (cm ), 2

27 3 3 3 2 2 + ×3 + ×6 2 4 4

27 3 2 故三棱台的侧面积为 cm , 2 99 3 2 表面积为 cm . 4 题型四 空间几何体的体积 例 4 如图所示,已知 E、F 分别是棱长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1 的棱 A1A、CC1 的中点,求四棱锥 C1—B1EDF 的体积. 思维点拨 思路一,先求出四棱锥 C1—B1EDF 的高及其底面积,再利 用棱锥的体积公式求出其体积; 思路二,先将四棱锥 C1—B1EDF 化为两个三棱锥 B1—C1EF 与 D—C1EF,

7

再求四棱锥 C1—B1EDF 的体积. 解 方法一 连结 A1C1,B1D1 交于点 O1,连结 B1D,EF,过 O1 作 O1H⊥B1D 于 H.∵EF∥A1C1,且

A1C1?平面 B1EDF,∴A1C1∥平面 B1EDF.
∴C1 到平面 B1EDF 的距离就是 A1C1 到平面 B1EDF 的距离. ∵平面 B1D1D⊥平面 B1EDF, 平面 B1D1D∩平面 B1EDF=B1D, ∴O1H⊥平面 B1EDF, 即 O1H 为棱锥的高. ∵△B1O1H∽△B1DD1,∴O1H=

B1O1·DD1 6 = a. B1D 6

1 1 1 1 1 6 1 O1 H = · ·EF·B1D·O1H= · · 2a· 3a· a= a3. ∴ VC1 — B1EDF= S四边形B1EDF · 3 2 3 2 6 6 3
方法二 连结 EF,B1D. 设 B1 到平面 C1EF 的距离为 h1,D 到平面 C1EF 的距离为 h2,则 h1+h2=B1D1= 2a. 由题意得, VC1 ? B1EDF ? VB1 ?C1EF ? VD?C1EF 1 1 = · S?C1EF · (h1+h2 ) = a3. 3 6 思维升华 在求解一些不规则的几何体的体积以及两个几何体的体积之比时,常常需要用到 分割法.在求一个几何体被分成两部分的体积之比时,若有一部分为不规则几何体,则可用 整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积. 如图,在三棱柱 A1B1C1-ABC 中,D,E,F 分别是 AB,AC,AA1 的中点,设三棱锥 F-ADE 的体积为 V1,三棱柱 A1B1C1-ABC 的体积为 V2, 则 V1∶V2=________. 答案 1∶24 解析 设三棱锥 F-ADE 的高为 h, 1 ?1 ? h? AD·AE·sin∠DAE? 3 ?2 ? V1 1 则 = = . V2 1 24 ?2h? ?2AD??2AE?sin∠DAE 2

转化思想在立体几何计算中的应用 典例:如图,在直棱柱 ABC—A′B′C′中,底面是边长为 3 的等边三角形,

AA′=4,M 为 AA′的中点,P 是 BC 上一点,且由 P 沿棱柱侧面经过棱 CC′

8

到 M 的最短路线长为 29,设这条最短路线与 CC′的交点为 N,求: (1)该三棱柱的侧面展开图的对角线长; (2)PC 与 NC 的长; (3)三棱锥 C—MNP 的体积. 思维点拨 (1)侧面展开图从哪里剪开展平; (2)MN+NP 最短在展开图上呈现怎样的形式; (3) 三棱锥以谁做底好. 规范解答 解 (1)该三棱柱的侧面展开图为一边长分别为 4 和 9 的矩形,故对角线长为 4 +9 = 97. (2)将该三棱柱的侧面沿棱 BB′展开,如下图,设 PC=x,则 MP =MA +(AC+x) .
2 2 2 2 2

∵MP= 29,MA=2,AC=3, ∴x=2,即 PC=2.

PC NC 2 NC 又 NC∥AM,故 = ,即 = . PA AM 5 2
4 ∴NC= . 5 1 1 4 4 (3)S△PCN= ×CP×CN= ×2× = . 2 2 5 5 在三棱锥 M—PCN 中,M 到面 PCN 的距离, 即 h= 3 3 3 ×3= . 2 2

1 ∴VC—MNP=VM—PCN= ·h·S△PCN 3 1 3 3 4 2 3 = × × = . 3 2 5 5 温馨提醒 (1)解决空间几何体表面上的最值问题的根本思路是“展开”, 即将空间几何体的 “面”展开后铺在一个平面上,将问题转化为平面上的最值问题. (2)如果已知的空间几何体是多面体, 则根据问题的具体情况可以将这个多面体沿多面体中某 条棱或者两个面的交线展开,把不在一个平面上的问题转化到一个平面上. 如果是圆柱、圆锥则可沿母线展开,把曲面上的问题转化为平面上的问题. (3)本题的易错点是,不知道从哪条侧棱剪开展平,不能正确地画出侧面展开图.缺乏空间图 形向平面图形的转化意识.

9

方法与技巧 1.棱柱、棱锥要掌握各部分的结构特征,计算问题往往转化到一个三角形中进行解决.旋转 体要抓住“旋转”特点,弄清底面、侧面及展开图形状. 2.要注意将空间问题转化为平面问题. 3.求几何体的体积,要注意分割与补形.将不规则的几何体通过分割或补形将其转化为规则 的几何体求解. 4.一些几何体表面上的最短距离问题,常常利用几何体的展开图解决. 失误与防范 1.几何体展开、折叠问题,要抓住前后两个图形间的联系,找出其中的量的关系. 2.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和 接点的位置,确定有关元素间的数量关系,并作出合适的截面图,如球内切于正方体,切点 为正方体各个面的中心,正方体的棱长等于球的直径;球外接于正方体,正方体的顶点均在 球面上,正方体的体对角线长等于球的直径.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.下列叙述中正确的个数是________. ①相等的角,在直观图中仍相等; ②长度相等的线段,在直观图中长度仍相等; ③若两条线平行,在直观图中对应的线段仍平行; ④若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直; ⑤全等的三角形的直观图仍全等. 答案 1 解析 由斜二测画法知③正确,其余均错误. 2.五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线,那么一个 五棱柱对角线的条数为________. 答案 10 解析 如图,在五棱柱 ABCDE-A1B1C1D1E1 中,从顶点 A 出发的对角线有两条:

AC1,AD1,同理从 B,C,D,E 点出发的对角线均有两条,共 2×5=10(条).
10

3.(2014·陕西改编)已知底面边长为 1,侧棱长为 2的正四棱柱(底面是正方形的直棱柱) 的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为________. 答案 4π 3

解析 正四棱柱的外接球的球心为上下底面的中心连线的中点, 所以球的半径 r= ? 2 2 2 2 ? +? ? =1, 2 2

4π 3 4π 球的体积 V= r = . 3 3 4.如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F 分别为线段 AA1,B1C 上的点,则三棱锥 D1-EDF 的体积为________. 答案 解析 = 1 6

VD1-EDF=VF-DD1E

1 1 1 1 S ?D1DE · AB= ? ? 1? 1? 1= . 3 3 2 6

5.已知一个圆锥的展开图如图所示, 其中扇形的圆心角为 120°, 底面圆 的半径为 1,则该圆锥的体积为________. 答案 2 2π 3

1 2 解析 因为扇形弧长为 2π ,所以圆锥母线长为 3,高为 2 2,所求体积 V= ×π ×1 ×2 2 3 = 2 2π . 3

6.已知三棱锥 A—BCD 的所有棱长都为 2,则该三棱锥的外接球的表面积为________. 答案 3π 解析 如图,构造正方体 ANDM—FBEC.因为三棱锥 A—BCD 的所有棱长都 为 2,所以正方体 ANDM—FBEC 的棱长为 1.所以该正方体的外接球的半 径为 3 . 2

易知三棱锥 A—BCD 的外接球就是正方体 ANDM—FBEC 的外接球, 所以三棱锥 A—BCD 的外接球 的半径为 3 ? 3?2 .所以三棱锥 A—BCD 的外接球的表面积为 S 球=4π ? ? =3π . 2 ?2?

7.如图所示,E、F 分别为正方体 ABCD—A1B1C1D1 的面 ADD1A1、面 BCC1B1 的中 心, 则四边形 BFD1E 在该正方体的面 DCC1D1 上的投影是________. (填序号)

11

答案 ② 解析 四边形在面 DCC1D1 上的投影为②:B 在面 DCC1D1 上的投影为 C,F、E 在面 DCC1D1 上的投 影应在边 CC1 与 DD1 上,而不在四边形的内部,故①③④错误. 8.如图所示,在边长为 4 的正方形纸片 ABCD 中,AC 与 BD 相交于 O,剪去 △AOB,将剩余部分沿 OC、OD 折叠,使 OA、OB 重合,则以 A、B、C、D、O 为顶点的四面体的体积为________. 答案 8 2 3

解析 折叠后的四面体如图所示.

OA、OC、OD 两两相互垂直,且 OA=OC=OD=2 2,体积 V= S△OCD·OA= ×
8 2 3 ×(2 2) = . 3

1 3

1 1 3 2

9. 已知一个上、 下底面为正三角形且两底面中心连线垂直于底面的三棱台的两底面边长分别 为 30 cm 和 20 cm,且其侧面积等于两底面面积之和,求棱台的高. 解 如图所示,三棱台 ABC—A1B1C1 中,O、O1 分别为两底面中心,D、

D1 分别为 BC 和 B1C1 的中点,则 DD1 为棱台的斜高.
由题意知 A1B1=20,AB=30, 10 3 则 OD=5 3,O1D1= , 3 由 S 侧=S 上+S 下,得 1 3 2 2 ×(20+30)×3DD1= ×(20 +30 ), 2 4 13 解得 DD1= 3, 3 在直角梯形 O1ODD1 中,
2 O1O= DD2 1-?OD-O1D1? =4 3,

所以棱台的高为 4 3 cm.

12

10.如图所示,在边长为 5+ 2的正方形 ABCD 中,以 A 为圆心画一个扇形,以 O 为圆心画一 个圆,M,N,K 为切点,以扇形为圆锥的侧面,以圆 O 为圆锥底面,围成一个圆锥,求圆锥 的表面积与体积. 解 设圆锥的母线长为 l,底面半径为 r,高为 h,

? ?l+r+ 2r=?5+ 2?× 2, 由已知条件?2π r π = , ? 2 ? l
解得 r= 2,l=4 2,S=π rl+π r =10π ,
2

h= l2-r2= 30,V= π r2h=

1 3

2 30 π. 3 B 组 专项能力提升 (时间:30 分钟)

1.表面积为 3π 的圆锥,它的侧面展开图是一个半圆,则该圆锥的底面直径为________. 答案 2 1 2 2 解析 设圆锥的母线为 l,圆锥底面半径为 r.则 π l +π r =3π ,π l=2π r,∴r=1,即 2 圆锥的底面直径为 2. 2.在四棱锥 E—ABCD 中,底面 ABCD 为梯形,AB∥CD,2AB=3CD,M 为 AE 的中点,设 E—ABCD 的体积为 V0,那么三棱锥 M—EBC 的体积为________. 答案 3 V0 10

解析 设点 B 到平面 EMC 的距离为 h1,点 D 到平面 EMC 的距离为 h2. 连结 MD. 因为 M 是 AE 的中点, 1 所以 VM—ABCD= V0. 2 1 所以 VE—MBC= V0-VE—MDC. 2 而 VE—MBC=VB—EMC,VE—MDC=VD—EMC, 所以

VE—MBC VB—EMC h1 = = . VE—MDC VD—EMC h2

h1 3 因为 B,D 到平面 EMC 的距离即为到平面 EAC 的距离,而 AB∥CD,且 2AB=3CD,所以 = . h2 2
3 所以 VE—MBC=VM-EBC= V0. 10

13

1 3.已知圆台的母线长为 4 cm,母线与轴的夹角为 30°,上底面半径是下底面半径的 ,则这 2 个圆台的侧面积是________cm . 答案 24π 解析 如图是将圆台还原为圆锥后的轴截面, 由题意知 AC=4 cm,∠ASO=30°,
2

O1C= OA,设 O1C=r,则 OA=2r,


1 2

O1C OA = =sin 30°, SC SA

∴SC=2r,SA=4r, ∴AC=SA-SC=2r=4 cm,∴r=2 cm. 所以圆台的侧面积为 S=π (r+2r)×4=24π cm . 4.已知正方形 ABCD 的边长为 2 2,将△ABC 沿对角线 AC 折起,使 平面 ABC⊥平面 ACD, 得到如图所示的三棱锥 B-ACD.若 O 为 AC 边的 中点,M,N 分别为线段 DC,BO 上的动点(不包括端点),且 BN=CM. 设 BN=x,则三棱锥 N-AMC 的体积 y=f(x)的最大值为________. 答案 2 3
2

解析 由平面 ABC⊥平面 ACD,且 O 为 AC 的中点可知 BO⊥平面 ACD,易知 BO=2,故三棱锥 N 1 1 -AMC 的高为 ON=2-x, S△AMC= ·MC·AD= 2x, 故三棱锥 N-AMC 的体积为 y=f(x)= ·(2 2 3 -x)· 2x 1 2 = (- 2x +2 2x)(0<x<2) 3 =- 2 2 2 (x-1) + , 3 3 2 . 3

∴x=1 时,ymax=

5.如图,△ABC 内接于圆 O,AB 是圆 O 的直径,四边形 DCBE 为平行四 边形,DC⊥平面 ABC,AB=2,EB= 3. (1)求证:DE⊥平面 ACD; (2)设 AC=x,V(x)表示三棱锥 B-ACE 的体积,求函数 V(x)的解析式及 最大值. (1)证明 ∵四边形 DCBE 为平行四边形, ∴CD∥BE,BC∥DE.
14

∵DC⊥平面 ABC,BC? 平面 ABC,∴DC⊥BC. ∵AB 是圆 O 的直径,∴BC⊥AC,且 DC∩AC=C, ∴BC⊥平面 ADC. ∵DE∥BC,∴DE⊥平面 ADC. (2)解 ∵DC⊥平面 ABC,∴BE⊥平面 ABC. 在 Rt△ABE 中,AB=2,EB= 3. 在 Rt△ABC 中,∵AC=x,BC= 4-x (0<x<2), 1 1 2 ∴S△ABC= AC·BC= x· 4-x 2 2 ∴V(x)=VE-ABC= ∵x (4-x )≤(
2 2 2

3 x· 4-x2(0<x<2). 6 2 ) =4,当且仅当 x =4-x ,即 x= 2时,取等号, 3 . 3
2 2 2

x2+4-x2

∴x= 2时,体积有最大值为

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