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2017届-上海市虹口区高三数学一模卷


上海市虹口区 2017 届高三一模数学试卷
2016.12.21 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4 分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1. 设集合 A ? {x || x ? 2 |? 1, x ? R} ,集合 B ? Z ,则 A ? B ? 2. 函数 y ? sin(? x ?

?
3

) ( ? ? 0 )的最小正周期是 ? ,则 ? ?

3. 设 i 为虚数单位,在复平面上,复数

3 对应的点到原点的距离为 (2 ? i)2

4. 若函数 f ( x) ? log 2 ( x ? 1) ? a 的反函数的图像经过点 (4,1) ,则实数 a ? 5. 已知 (a ? 3b) n 展开式中,各项系数的和与各项二项式系数的和之比为 64,则 n ? 6. 甲、乙两人从 5 门不同的选修课中各选修 2 门,则甲、乙所选的课程中恰有 1 门相同的 选法有种; 7. 若圆锥的侧面展开图是半径为 2 cm ,圆心角为 270°的扇形,则这个圆锥的体积为

cm3
2 * 8. 若数列 {an } 的所有项都是正数,且 a1 ? a2 ? ??? ? an ? n ? 3n ( n ? N ),则

lim

a 1 a1 a2 ( ? ? ??? ? n ) ? 2 n ?? n 2 3 n ?1
AD ? 5 , AC ? 7 , DC ? 3 ,则 AB 的长为

9. 如图,在 ?ABC 中, ?B ? 45? , D 是 BC 边上的一点,

10. 已知等比数列 {an } 地公比为 q ,前 n 项和为 Sn ,对任意地 n ? N , Sn ? 0 恒成立,则
*

公比 q 地取值范围是

? ? ? ? x ? | sin ? cos | 11. 参数方程 ? 2 2 , ? ? [0, 2? ) 表示的曲线的普通方程是 ? ? y ? 1 ? sin ?
12. 已知函数 f ( x) ? sin ? x ? cos ? x (? ? 0) , x ? R ,若函数 f ( x) 在区间 (??, ? ) 内单 调递增,且函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ? 对称,则 ? 的值为

二. 选择题(本大题共 4 题,每题 5 分,共 20 分) 13. “ x ? 2 ”是“ x ? 4 ”的(
2



A. 充分非必要条件 C. 充要条件

B. 必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件

14. 若无穷等差数列 {an } 的首项 a1 ? 0 ,公差 d ? 0 , {an } 的前 n 项和为 Sn ,则以下结论 中一定正确的是( )

A. Sn 单调递增

B. Sn 单调递减

C. Sn 有最小值

D. Sn 有最大值

3 ? ; ② 直线 x ? ? 是函数 y ? sin x 2 2 图像的一条对称轴;③ y ? cos(cos x) ( x ? R )的值域是 [cos1,1] ;④ 若 ? 、 ? 都是第
15. 给出下列命题: ① 存在实数 ? 使 sin ? ? cos ? ? 一象限角,且 ? ? ? ,则 tan ? ? tan ? ;其中正确命题的题号为( A. ①② B. ②③ C. ③④ D.①④ )

16. 如果对一切实数 x 、 y ,不等式 是( )

y 9 ? cos 2 x ? a sin x ? 恒成立,则实数 a 的取值范围 4 y
C. [?2 2,2 2] D. [?3,3]

A. (??, ]

4 3

B. [3, ??)

三. 解答题(本大题共 5 题,共 14+14+14+16+18=76 分) 17. 如图,已知 AB ? 平面 BCD , BC ? CD , AD 与平面 BCD 所成的角为 30°,且

AB ? BC ? 2 ;
(1)求三棱锥 A ? BCD 的体积; (2)设 M 为 BD 的中点,求异面直线 AD 与 CM 所成角的大小(结果用反三角函数值表示) ;

18. 在 ?ABC 中,a 、b 、c 分别是角 A 、 B 、C 的对边,且 8sin (1)求角 A 的大小; (2)若 a ? 3 , b ? c ? 3 ,求 b 和 c 的值;

2

B?C ? 2 cos 2 A ? 7 ; 2

19. 某地要建造一个边长为 2(单位: km )的正方形市民休闲公园 OABC ,将其中的区域

ODC 开挖成一个池塘,如图建立平面直角坐标系后,点 D 的坐标为 (1, 2) ,曲线 OD 是函
数 y ? ax 图像的一部分,过边 OA 上一点 M 在区域 OABD 内作一次函数 y ? kx ? b
2

( k ? 0 )的图像,与线段 DB 交于点 N (点 N 不与点 D 重合) ,且线段 MN 与曲线 OD 有 且只有一个公共点 P ,四边形 MABN 为绿化风景区; (1)求证: b ? ?

k2 ; 8

(2)设点 P 的横坐标为 t , ① 用 t 表示 M 、 N 两点坐标; ② 将四边形 MABN 的面积 S 表示成关于

t 的函数 S ? S (t ) ,并求 S 的最大值;

18. 已知函数 f ( x) ? log2 (a2 x ? a x ? 2) (a ? 0) ,且 f (1) ? 2 ; (1)求 a 和 f ( x) 地单调区间; (2) f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 ;

19. 一艘轮船在江中向正东方向航行,在点 P 观测到灯塔 A 、 B 在一直线上,并与航线成 角 ? (0 ? ? ? 90 ) , 轮船沿航线前进 b 米到达 C 处, 此时观测到灯塔 A 在北偏西 45 方向,
? ?
?

灯塔 B 在北偏东 ? (0? ? ? ? 90? ) 方向,0? ? ? ? ? ? 90? ,求 CB ; (结果用 ? , ? , b 表示)

20. 已知函数 f ( x) ? 9 ? 2a ? 3 ? 3 ;
x x

(1)若 a ? 1 , x ? [0,1] ,求 f ( x) 的值域; (2)当 x ?[?1,1] 时,求 f ( x) 的最小值 h(a) ; (3) 是否存在实数 m 、n ,同时满足下列条件:① n ? m ? 3 ;②当 h(a) 的定义域为 [m, n]

时,其值域为 [m2 , n2 ] ,若存在,求出 m 、 n 的值,若不存在,请说明理由;

21. 已知无穷数列 {an } 的各项都是正数,其前 n 项和为 Sn ,且满足: a1 ? a ,

rSn ? an an?1 ?1 ,其中 a ? 1 ,常数 r ? N ;
(1)求证: an?2 ? an 是一个定值; (2)若数列 {an } 是一个周期数列(存在正整数 T ,使得对任意 n ? N ,都有 an?T ? an 成
*

立,则称 {an } 为周期数列, T 为它的一个周期) ,求该数列的最小周期; (3)若数列 {an } 是各项均为有理数的等差数列, cn ? 2 ? 3n?1 ( n ? N ) ,问:数列 {cn } 中
*

的所有项是否都是数列 {an } 中的项?若是,请说明理由,若不是,请举出反例;

参考答案
一. 填空题 1. {2} 2. 2 3.

3 5
9.

4. 3

5. 6

6. 60

7.

3 7 ? 8

8. 2

5 6 2

10. ①②

11. 8

12. 13

二. 选择题 13. B 14. C 15. B 16. D

三. 解答题

4 2 3 ; (2) arccos ; 3 6 ? 18.(1) ; (2) b ? 1 , c ? 2 ;或 b ? 2 , c ? 1 ; 3
17.(1) 19.(1) b ? ?

t t 1 1 k2 ; (2)① M ( , 0) , N ( ? , 2) ;② S ? 4 ? (t ? ) ? 4 ? 2 ; 2 2 2t 2t 8

20.(1) [2, 6] ; (2)当 a ?

1 28 2 1 ? a ;当 ? a ? 3 , h(a) ? 3 ? a 2 ; , h( a ) ? 3 9 3 3

当 a ? 3 , h(a) ? 12 ? 6a ; (3)不存在; 21.(1) an? 2 ? an ? r ; (2) T ? 2 ; (3)不是;


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