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高中数学必修1 知识网络


高一数学必修 1 知识网络
集合
? (1) 元 素 与 集 合 的 关 系 : 属 于 ( ? ) 和 不 属 于 ( ? ) ? ? ? ( 2) 集 合 中 元 素 的 特 性 : 确 定 性 、 互 异 性 、 无 序 性 ? ? 集合与元素 ? ? ( 3) 集 合 的 分 类 : 按 集 合 中 元 素 的 个 数 多 少 分 为 : 有 限 集 、 无 限 集 、 空 集 ? ? ? ( 4) 集 合 的 表 示 方 法 : 列 举 法 、 描 述 法 ( 自 然 语 言 描 述 、 特 征 性 质 描 述 ) 、 图 示 法 、 区 间 法 ? ? ? ? ? 子 集 : 若 x ? A ? x ? B, 则 A ? B , 即 A 是 B 的 子 集 。 ? ? ? ? ?1、 若 集 合 A中 有 n 个 元 素 , 则 集 合 A的 子 集 有 2 n 个 , 真 子 集 有 (2 n -1) 个 。 ? ? ? ? ? ? ? ? 2、 任 何 一 个 集 合 是 它 本 身 的 子 集 , 即 A ? A ? ? 注? ? ? ?关 系 ? ? ? 3、 对 于 集 合 A , B , C , 如 果 A ? B, 且 B ? C , 那 么 A ? C . ? ? ? ? 4、 空 集 是 任 何 集 合 的 ( 真 ) 子 集 。 ? ? ? ? ? ? 真 子 集 : 若 A ? B 且 A ? B 即 至 少 存 在 x ? B 但 x ? A) , 则 A是 B的 真 子 集 。 ? ( 0 0 集合 ? ? ? ? ? ?集 合 相 等 : A ? B且 A ? B ? A ? B ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A且 x ? B ? ?集 合 与 集 合 ? ? ?交 集 ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? ? , A ? B ? B ? A, A ? B ? A , A ? B ? B, A ? B ? A ? B ? A ? ? ? ? ? ? ? ? 定 义 : A ? B ? ? x / x ? A或 x ? B ? ? ? ? ? 并集 ? ? ? ? ? 性 质 : A ? A ? A, A ? ? ? A, A ? B ? B ? A, A ? B ? A, A ? B ? B, A ? B ? A ? B ? B ? ? ? 运算 ? ? ? ? C ard ( A ? B ) ? C ard ( A ) ? C ard ( B ) - C ard ( A ? B ) ? ? ? ? ? 定 义 : C U A ? ? x / x ? U 且 x ? A? ? A ? ? ? ? ? ? 补 集 ? 性 质 :C A ) ? A ? ? ,C A ) ? A ? U , C ( C A ) ? A, C ( A ? B ) ? ( C A ) ? ( C B ), ? ( U ( U U U U U U ? ? ? ? ? CU ( A ? B ) ? (CU A ) ? (CU B ) ? ? ? ? ? ?

函数

? 映 射 定 义 : 设 A, B 是 两 个 非 空 的 集 合 , 如 果 按 某 一 个 确 定 的 对 应 关 系 , 使 对 于 集 合 A中 的 任 意 一 个 元 素 x , 在 集 合 B中 都 有 唯 一 确 定 的 元 素 y 与 之 对 应 , 那 么 就 称 对 应 f :? B 为 从 集 合 A到 集 合 B的 一 个 映 射 ? 传 统 定 义 : 如 果 在 某 变 化 中 有 两 个 变 量 x , y , 并 且 对 于 x在 某 个 范 围 内 的 每 一 个 确 定 的 值 , ? ? 按 照 某 个 对 应 关 系 f , y 都 有 唯 一 确 定 的 值 和 它 对 应 。 那 么 y 就 是 x 的 函 数 。 记 作 y ? f ( x ). ?定 义 ? 近代定义:函数是从一个数集到另一个数集的映射。 ? ? 定义域 ?函 数 及 其 表 示 ?函 数 的 三 要 素 ? 值 域 ? ? ? ?对应 法则 ? ? ?解 析 法 ? ? ?函 数 的 表 示 方 法 ? 列 表 法 ? ? ?图 象 法 ? ? ? 传 统 定 义 : 在 区 间 ? a ,b ?上 , 若 a ? x1 ? x 2 ? b ,如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a ,b ?上 递 增 , a ,b ?是 ? ? ? ? 递 增 区 间 ; 如 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) , 则 f ( x ) 在 ? a , b ?上 递 减 , a ,b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ?单 调 性 ? 导 数 定 义 : 在 区 间 ? a ,b ?上 , 若 f ( x ) ? 0 , 则 f ( x ) 在 ? a , b ?上 递 增 , a ,b ?是 递 增 区 间 ; 如 f ( x ) ? 0 ? ? ? 则 f ( x ) 在 ? a , b ?上 递 减 , a ,b ?是 的 递 减 区 间 。 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 最 大 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 M 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x? I , 都 有 f ( x ) ? M ; 函数 ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? M 。 则 称 M 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 大 值 ?函 数 的 基 本 性 质 ??? 最 值 ?? 最 小 值 : 设 函 数 y ? f ( x ) 的 定 义 域 为 I , 如 果 存 在 实 数 N 满 足 : ( 1) 对 于 任 意 的 x? I , 都 有 f ( x ) ? N ; ? ? ( 2 ) 存 在 x0 ? I, 使 得 f ( x0 ) ? N 。 则 称 N 是 函 数 y ? f ( x ) 的 最 小 值 ? ? ? ? (1 ) f ( ? x ) ? ? f ( x ), x?定 义 域 D, 则 f ( x ) 叫 做 奇 函 数 , 其 图 象 关 于 原 点 对 称 。 ? ? ? 奇 偶 性 ? ( 2 ) f ( ? x ) ? f ( x ), x?定 义 域 D, 则 f ( x ) 叫 做 偶 函 数 , 其 图 象 关 于 y 轴 对 称 。 ? ? ? 奇偶函数的定义域关于原点对称 ? ? 周 期 性 : 在 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 上 恒 有 f ( x ? T ) ? f ( x )( T ? 0 的 常 数 ) 则 f ( x ) 叫 做 周 期 函 数 , T 为 周 期 ; ? ? T的 最 小 正 值 叫 做 f ( x )的 最 小 正 周 期 , 简 称 周 期 ? ? ? ( 1) 描 点 连 线 法 : 列 表 、 描 点 、 连 线 ? ? ? ?向 左 平 移 ? 个 单 位 : y1 ? y , x1 ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) ? ? ? ?向 右 平 移 a 个 单 位 : y ? y , x ? a ? x ? y ? f ( x ? a ) 1 1 ? ?平 移 变 换 ? 向 上 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ?向 下 平 移 b 个 单 位 : x1 ? x , y1 ? b ? y ? y ? b ? f ( x ) ? ? ? 横 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 横 坐 标 x1缩 短 ( 当 w ?1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0 ? w ?1 时 ) ? ? ? ? 到 原 来 的 1 / w 倍 ( 纵 坐 标 不 变 ) , 即 x1 ? w x ? y ? f ( w x ) ? ?伸 缩 变 换 ? 纵 坐 标 变 换 : 把 各 点 的 纵 坐 标 y1伸 长 ( A ?1 ) 或 缩 短 ( 0 ? A ?1 ) 到 原 来 的 A 倍 ? ? ?函 数 图 象 的 画 法 ??? ( 横 坐 标 不 变 ) , 即 y1 ? y / A ? y ? f ( x ) ? ? ? ( 2) 变 换 法 ? ? ? ? ? x ? x11? 2 x00 x11? 2 x00? x ? 关 于 点 ( x 0 , y 0 ) 对 称 :y ? y ? 2 y ? ? y ? 2 y ? y ? 2 y 0 ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ? ? ? ? ? 关 于 直 线 x ? x 0 对 称 :x ? x1 ? 2 x 0 ? x1 ? 2 x 0 ? x ? y ? f ( 2 x 0 ? x ) ? ? ? ? y ? y1 ? y1 ? y ?对 称 变 换 ? ? ? ? ? ?关 于 直 线 y ? y0 对 称 : 1 ? ? xy1??x y ? 2 y0 ? ? xy11?? x2 y0 ? y ? 2 y0 ? y ? f ( x ) ? ? ? ? ? ? ? ? ? x ? x1 ? 1 ( x ) ? ? 关 于 直 线 y ? x 对 称 :y ? y1 ? y ? f ? ? ? ? ? ? ? ? ?

?

附: 一、函数的定义域的常用求法: 1、分式的分母不等于零; 2、偶次方根的被开方数大于等于零; 3、对数的真数大于零; 4、指数函数和对数函数的底数大于零且不等于 1; ? 5、三角函数正切函数 y ? tan x 中 x ? k ? ? ( k ? Z ) ;余切函数 y ? cot x 中;
2

6、 如果函数是由实际意义确定的解析式, 应依据自变量的实际意义确定其取值范围。 二、函数的解析式的常用求法: 1、定义法;2、换元法;3、待定系数法;4、函数方程法;5、参数法;6、配方法 三、函数的值域的常用求法: 1、换元法;2、配方法;3、判别式法;4、几何法;5、不等式法;6、单调性法;7、 直接法 四、函数的最值的常用求法: 1、配方法;2、换元法;3、不等式法;4、几何法;5、单调性法 五、函数单调性的常用结论: 1、若 f ( x ), g ( x ) 均为某区间上的增(减)函数,则 f ( x ) ? g ( x ) 在这个区间上也为 增(减)函数 2、若 f ( x ) 为增(减)函数,则 ? f ( x ) 为减(增)函数 3、若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单调性相同,则 y ? f [ g ( x )] 是增函数;若 f ( x ) 与 g ( x ) 的单 调性不同,则 y ? f [ g ( x )] 是减函数。 4、奇函数在对称区间上的单调性相同,偶函数在对称区间上的单调性相反。 5、常用函数的单调性解答:比较大小、求值域、求最值、解不等式、证不等式、作 函数图象。 六、函数奇偶性的常用结论: 1、如果一个奇函数在 x ? 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ,如果一个函数 y ? f ( x ) 既是 奇函数又是偶函数,则 f ( x ) ? 0 (反之不成立) 2、两个奇(偶)函数之和(差)为奇(偶)函数;之积(商)为偶函数。 3、一个奇函数与一个偶函数的积(商)为奇函数。 4、两个函数 y ? f ( u ) 和 u ? g ( x ) 复合而成的函数,只要其中有一个是偶函数,那 么该复合函数就是偶函数;当两个函数都是奇函数时,该复合函数是奇函数。 5 、 若 函 数 f ( x) 的 定 义 域 关 于 原 点 对 称 , 则 f ( x) 可 以 表 示 为
f (x) ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] ? 1 2 [ f ( x ) ? f ( ? x )] ,该式的特点是:右端为一个奇函数

和一个偶函数的和。

? ? ? 零 点 : 对 于 函 数 y ? f( x), 我 们 把 使 f ( x ) ? 0 的 实 数 x叫 做 函 数 y ? f ( x ) 的 零 点 。 ? ? ?定 理 : 如 果 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 , 并 且 有 f ( a ) ? f ( b ) ? ? ? 零 点 与 根 的 关 系 ? 那 么 , 函 数 y ? f ( x ) 在 区 间 [ a , b ]内 有 零 点 。 即 存 在 c ? ( a , b ), 使 得 f ( c ) ? 0 , 这 个 c 也 是 ? ? ? 程 f ( x ) ? 0的 根 。 ( 反 之 不 成 立 ) ? ? ?关 系 : 方 程 f ( x ) ? 0 有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x ) 有 零 点 ? 函 数 y ? f ( x )的 图 象 与 x 轴 有 交 点 ? ? ? (1 ) 确 定 区 间 [ a , b ], 验 证 f ( a ) ? f ( b ) ? 0 , 给 定 精 确 度 ? ; ?函 数 与 方 程 ? ? ( 2 ) 求 区 间 ( a , b )的 中 点 c ; ? ? 函数的应用 ? ? ( 3 ) 计 算 f ( c ); ?二 分 法 求 方 程 的 近 似 解 ? ① 若 f ( c ) ? 0 , 则 c就 是 函 数 的 零 点 ; ? ? ? c ? ? ② 若 f ( a ) ? f ( c ) ? 0 , 则 令 b ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( a , b )) ; ? ? c ? ③ 若 f ( c ) ? f ( b ) ? 0 , 则 令 a ? ( 此 时 零 点 x 0 ? ( c , b )) ; ? ? ? ( 4 ) 判 断 是 否 达 到 精 确 度 ? : 即 若 a - b ? ? , 则 得 到 零 点 的 近 似 值 a ( 或 b ); 否 则 重 复 2 ? 4 ? ? ? ?几 类 不 同 的 增 长 函 数 模 型 ?函 数 模 型 及 其 应 用 ? 用 已 知 函 数 模 型 解 决 问 题 ? ?建 立 实 际 问 题 的 函 数 模 型 ?

m n ? ? ? 根 式 : a , n为 根 指 数 , a 为 被 开 方 数 ? n m ? ? ? a n ? ? ? a ? ? ? ?分 数 指 数 幂 ? ? ? ? r s r?s ?a a ? a (a ? 0, r , s ? Q ) ? ?指 数 的 运 算 ? ? r s ? ? ? rs 指数函数 ? (a ? 0, r , s ? Q ) ?性 质 ?(a ) ? a ? ? ? r r s ? ? (ab ) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q ) ? ? ? ? ? x ? ? 指 数 函 数 ? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y ? a ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 指 数 函 数 。 ? ? ? ? ?性 质 : 见 表1 ? ? ? ? 对 数 : x ? lo g a N , a 为 底 数 , N 为 真 数 ? ? ? ? ? lo g a ( M ? N ) ? lo g a M ? lo g a N ; ? ? ? 基本初等函数 ? ? ? ? M ? ? lo g ? lo g a M ? lo g a N ; ? ? a ? N ? ?对 数 的 运 算 ? ? ? ? 性 质 ? lo g M n ? n lo g M ; ( a ? 0 , a ? 1, M ? 0 , N ? 0 ) a a ? ?对 数 函 数 ? ? ? ? ? lo g c b ? lo ( a , c ? 0 且 a , c ? 1, b ? 0 ) ? ?换 底 公 式 : g a b ? ? ? lo g c a ? ? ? ? ? ? ? 对 数 函 数 ? 定 义 : 一 般 地 把 函 数 y ? lo g a x ( a ? 0 且 a ? 1)叫 做 对 数 函 数 ? ? ? ? ?性 质 : 见 表1 ? ? ? ? ? ? ? 幂 函 数 定 义 : 一 般 地 , 函 数 y ? x 叫 做 幂 函 数 , x是 自 变 量 , ? 是 常 数 。 ? ? ?性 质 : 见 表 2 ?

表 1 定 义 域 值 域

指数函数

y?a

x

? a ? 0, a ? 1 ?

对数数函数

y ? log a x ? a ? 0, a ? 1 ?
x ? ? 0, ?? ?
y?R

x? R

y ? ? 0, ?? ?

图 象

过定点 (0,1) 减函数 性 质 增函数 减函数

过定点 (1, 0) 增函数

x ? ( ? ? , 0)时 , y ? (1, ? ? ) ( ? ? , 0)时 , y ? (0,1) x ? (0,1)时 , y ? (0, ? ? ) x ? (0,1)时 , y ? ( ? ? , 0) x?
) x x ? (0, ? ? )时 , y ? (0,1) x ? (0, ? ? )时 , y ? (1, ? ? x ? (1, ? ? )时 , y ? ( ? ? , 0)? (1, ? ? )时 , y ? (0, ? ? )

a?b

a?b

a?b

a?b

表2

幂函数 y ? x (? ? R )
p q

?

? ?

? ?0

0 ?? ?1

? ?1

? ?1

p为 奇 数 q为 奇 数

奇函数

p为 奇 数 q为 偶 数

p为 偶 数 q为 奇 数

偶函数

第一象限 性质

减函数

增函数

过定点
( 0, 1)



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